第六章一阶电路 、内容提要 本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路,主要是RC电路和RL电路,介 绍一阶电路的经典法,以及一阶电路的时间常数的概念。还介绍了零输入响应、 零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量、阶跃响应、冲击响应等重要概念。 二、典型题解析: 例6.1如图61(a)所示电路,R1=29,R2=49,当t<0时,开关S断开, 电路已处于稳态;当t=0时,开关S闭合。求初始值uR(0+),iR(0+),ic(0+) 和uL(0+) R IA IA 0.2H) (0)0 (b) 0,)↑ I1A a0→) H2(0) f4(0) 图6.1例6.1电路 分析当t<0时,开关S断开,电路已处于稳态,此时电容开路,电感短路,计 算出t=0时电路的状态变量uc(0.)和i(0.);由换路定律有uc(0+)=uc(0.) 和i(0+)≡i(0.);然后画出0等效电路,计算出所求的初始值 解当t=0时,电路处于直流稳态,画出如图61b)所示等 效电路由该电路求出 i1(0-)=1Ac(0)=R2it(0.)=4×1=4V 由换路定律有
一、内容提要： 本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路，主要是 RC 电路和 RL 电路，介 绍一阶电路的经典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介绍了零输入响应、 零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量、阶跃响应、冲击响应等重要概念。 二、典型题解析： 例 6.1 如图 6.1（a）所示电路，R1＝2Ω，R2＝4Ω，当 t<0 时，开关 S 断开， 电路已处于稳态；当 t＝0 时，开关 S 闭合。求初始值 uR2（0+），iR1（0+），iC（0+） 和 uL（0+）。 分析 当 t<0 时，开关 S 断开，电路已处于稳态，此时电容开路，电感短路，计 算出 t＝0-时电路的状态变量 uC（0-）和 iL（0-）；由换路定律有 uC（0+）＝uC（0-） 和 iL（0+）＝iL（0-）；然后画出 0+等效电路，计算出所求的初始值
uc(04)=uc(0.)=4Vi:(0-)=i(0)=1A 当t=04时,开关闭合,将电容用电压值为uc(0+)=4V的 电压源替代,将电感用电流值为i(0,)=1A的电流源替代,得到 如图1(c)所示的04等效电路。对电阻R2,由欧姆定律得 ug2(04)=R2i1(04)=4×1=4V 对R2LC回路,列KVL方程,有 l2(0,)+ac(0)=-4+4=0 对电阻R1,由欧姆定律得 k(0.)=tc(04) R 对节点a,利用KCL,有 评注]求解动态电路的初始值时,应注意换路前后开关的动作和电容、电感的状态变化 例62如图62(a)所示电路,Rl=R2=59,R3=109,L=4H,当t<0时 开关S是闭合的,电路已处于稳态,当t=0时,开关S断开。求t≥0时的i(t) 和u(t) 分析该电路是直流激励下的一阶电路,用三要素公式求解全响应。 解首先由S断开前t=0时的电路计算i2(0)。由于此时 电路处于直流稳态,电感短路,所以电阻R1和R2上电压相等,即 R1[3-i1(0.)]=R[i1(0.)-1] 解得 i1(0)= 3R1+R 2 A R,+R 由换路定律有 it(04)=i1(0)=2A 为求初始值a(0),画出0等效电路,如图02(b)所示,由 KVL和欧姆定律可得 a2(04)=R1[3-i(0-)]+R2[1-i(0)] R3it(04)=-20V 当t=∞时,电路又处于直流稳态,电感短路,(∞)=0,其 等效电路如图6.4(c)所示,列出KVL方程为 R:(∞)+R2[(∞)-1]+R1i1(∞)-3]=0 解得 +3R (∞)=R,+R2+R=1A
[评注] 求解动态电路的初始值时，应注意换路前后开关的动作和电容、电感的状态变化。 例 6.2 如图 6.2（a）所示电路，R1＝R2＝5Ω，R3＝10Ω，L＝4H，当 t<0 时 开关 S 是闭合的，电路已处于稳态，当 t＝0 时，开关 S 断开。求 t≥0 时的 iL（t） 和 uL（t）。 分析 该电路是直流激励下的一阶电路，用三要素公式求解全响应
计算时常数r,对于RL.电路,=,其中R为换路后从动态 元件两端看进去的戴维南等效电阻,所以R=R1+R2+R= 20,从而 4 将以上3个要素代入三要素公式得 (1)=(1+e)At≥0 (t)=(-20e)Vt≥0 3A+u R a 2(+) i(0)R 3A i(∞)R R (b) (c) 例.2电路 评注]对该题中的电感电压uL(t)也可通过电感的伏安关系由iL(t)求得,这样可避 免画0+等效电路 例6.3如图6.3(a)所示电路,C=F,当t<时开关S是闭合的,电路已处于 稳态。当t=0时,开关S断开。求t≥0时的uc(t) Is 2A lF 192 (b) 图6.3例63电路 分析由于电路中包含受控源,计算起来一般比较复杂,所以尽可能利用等效的 手段进行简化。 解:首先根据换路前的电路求出(0-)。由于当t=0-时电路达直流稳态,开 关S闭合,所以,电容视为开路,而i=0,故受控电压源3i1=0视为短路,因 此可求得
[评注] 对该题中的电感电压 uL（t）也可通过电感的伏安关系由 iL（t）求得，这样可避 免画 0+等效电路。 例 6.3 如图 6.3（a）所示电路，C=1F, 当 t<0 时开关 S 是闭合的，电路已处于 稳态。当 t＝0 时，开关 S 断开。求 t≥0 时的 uC（t）。 分析 由于电路中包含受控源，计算起来一般比较复杂，所以尽可能利用等效的 手段进行简化。 解： 首先根据换路前的电路求出 uC（0-）。由于当 t＝0-时电路达直流稳态，开 关 S 闭合，所以，电容视为开路，而 i1＝0，故受控电压源 3i1＝0 视为短路，因 此可求得
uc(0-)=3ls1=3V 由换路定律有 uC(0+)=lC(0-)=3v 换路后电路中含有受控源,并且所求的响应为电容上的电压。所以,可将除电容 外的其余部分用其戴维宁等效电路替代,从而得到换路后的等效电路如图6.3(b) 所示。其中的Uc和Req通过计算可得到 Uoc=-3V Rea=1 Q 因此 uc(∞)=Uoc=-3V t =Reg c=ls 代入三要素公式得 ()=(-3+6e)V 评注]对于包含受控源的一阶电路求响应仍利用三要素公式求解,只是注意尽可能用等 效进行化简 例64如图64(a)所示电路,C=1F,以u(t)为输出。 (1)求阶跃响应。 (2)若输入信号ws(t)如图64(b)所示,求的零状态响应uc(t) 322 ①a6n3 图6.4例6.4电路及其输入波形 分析阶跃响应是将输入看做在t=0时刻接入的直流单位电源的零状态响应。 求解一阶电路阶跃响应仍可用三要素公式。当输出为图示矩形信号时,可将其用 阶跃函数表示,然后利用线性时不变特性求出相应的零状态响应。 解(1)用三要素法求解一阶电路的阶跃响应 由于初始状态为零,故有u(0}+)=0。电路达直流稳态时,电容开路,所以有 1 6 R1+R2 3+63 时间常数 R.R 3×6 R1+R23+6 故 g(o=uc(t)==(1-es)e(t) V (2)由图64(b)所示可将输入信号用阶跃函数表示,即 ls(t)=3e(t-1)-e(t-3)]V 利用电路的线性时不变特性,得uC(t)的零状态响应 Lg(t-1)-g(t-3) ={2[1-east1le(t-1)-2[1-e3m3je(t-3)}V
uC（0-）＝3IS1＝3V 由换路定律有 uC（0+）＝uC（0-）＝3V 换路后电路中含有受控源，并且所求的响应为电容上的电压。所以，可将除电容 外的其余部分用其戴维宁等效电路替代，从而得到换路后的等效电路如图 6.3（b） 所示。其中的 Uoc 和 Req 通过计算可得到 Uoc＝-3V Req=1Ω 因此 uC（∞）＝Uoc＝-3V τ＝Req C=1s 代入三要素公式得 ( ) ( ) t c u t e − = − 3 + 6 V t≥0 [评注] 对于包含受控源的一阶电路求响应仍利用三要素公式求解，只是注意尽可能用等 效进行化简。 例 6.4 如图 6.4（a）所示电路，C=1F, 以 u（t）为输出。 （1）求阶跃响应。 （2）若输入信号 us（t）如图 6.4（b）所示，求的零状态响应 uC（t）。 分析 阶跃响应是将输入看做在 t＝0 时刻接入的直流单位电源的零状态响应。 求解一阶电路阶跃响应仍可用三要素公式。当输出为图示矩形信号时，可将其用 阶跃函数表示，然后利用线性时不变特性求出相应的零状态响应。 解 (1)用三要素法求解一阶电路的阶跃响应。 由于初始状态为零，故有 uC（0+）＝0。电路达直流稳态时，电容开路，所以有 时间常数 故 (2)由图 6.4（b）所示可将输入信号用阶跃函数表示，即 利用电路的线性时不变特性，得 uC（t）的零状态响应
评注]对线性时不变电路,其零状态响应满足线性性质和时不变特性。零状态线性是指 零状态响应与激励呈线性关系。时不变特性是指若输入延迟1o,则其零状态响应也相应延迟 例65如图6.5所示电路,U=5V,l5=2AR1=1 R2=R3=4Q,C=0.5F。当t2s时,开关S闭合至“3”,由换路定律有 c(2)=c(2)=1.47V 此时电路的稳态值 C(∞) R2R, R2+R3 时常数 R-R R2+RC=2×0.5=1s 代入三要素公式得uc(1)=4-2.53e2Vt>2s i评注当t=2s进行第二次换路时,换路时刻o=2s。一般情况,当换路时刻l不 为零时,三要素公式应修改为
[评注] 对线性时不变电路，其零状态响应满足线性性质和时不变特性。零状态线性是指 零状态响应与激励呈线性关系。时不变特性是指若输入延迟 to，则其零状态响应也相应延迟 to。 分析 这是一个具有多次换路的直流激励下的一阶电路，有两次换路，不同的 时间段电路所处的工作状态不同。可利用三要素公式分时段进行计算。 解： 首先求出 uC（0-）。 当 t＝0-时，开关 S 位于“1”，电路处于直流稳态，此时电容开路，所以利用电 阻的串联分压公式得 然后，分阶段用三要素求解。 [评注] 当 t＝2s 进行第二次换路时，换路时刻 t0＝2s。一般情况，当换路时刻 t0 不 为零时，三要素公式应修改为
y (∞)+[y(t,)-y(∞0)]e 例6.6电路如图6.6(a)所示,试求a(的冲激响应和阶跃响应。 IF=C 图6.6例6.6电路 解:设各元件编号和各支路电流参考方向如图6.6(b)所示。 (1)列写微分方程: 由于 ic=c- 由KVL,得 MRIHU=U n:=R1i=R(c+12)=RC+Ra=3+1n R2 m代入式①,并整理得d1=1a.② (2)求冲激响应h() 当=0)时,0的冲激响应M0满足0+1M0=160③ 特征根 P=-12 故冲激响应 h(r)=Be-E(n 式中B为待定系数。MO的一阶导数为h()=-1Beme(n)+B 把h()和h()代入式③,得 1Be-2s()+B8()+1Be-2(O)=1b() 即 B6()=6( 解得 B=1/3V 将B代入④得h( ( (3)求阶跃响应s(t): -/2g(t)V 习题
Be (t) B (t) Be (t) (t) t t 3 1 2 1 2 1 2 2 − + + = − − 即 B (t) (t) 3 1 = 解得 B＝1/3V 将 B 代入④得 h(t) e (t) t 2 3 1 − = V （3）求阶跃响应 s（t）： s(t) h( )d e d ( e ) (t) t t t t 2 0 2 0 1 3 2 3 1 − − = = = − V 三、习题
1.如图6.7所示电路,当t<0时,开关S1断开,S2闭合,电路处于 隐态。当t=0时,开关S1闭合,S2断开,求t≥0时的电压c(t)与(1)零输 入响应和零状态响应。 2 42 2 2A IV 图6.7习题1.电路 2.如图68)所示电路·当t=0时激励源接入,初始状态tc(0+) 一定。已知当Us=2V,15=0A时,()=(1+e2)V, t≥ (1)求电阻R1和R2的值; (2)求当Us=0V,ls 2A时,电压tc(t),t≥0的 R 0.25F 值 图6.8习题2.电路
