第七章三阶电路 、内容提要 本章在一阶电路的基础上,用经典分析二阶电路的过渡过程。通过简单的实 例,阐明二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲击响 应等基本概念。 二、典型题解析: 例7.1电路如图7.1(a)所示。已知i(0+)=1A,xc(0+)=2V,求t≥0时的(n)。 解:设各支路电流的参考方向如图7.1b)所示。 (1)列写微分方程 由KVL,得a2+c+ug=0 39R 由于i du dir IL=ICFR- di,L auc+LC d"uc dr r dr R12 R +R, C F 把和m2代入式①,并整理得 d R2c L dr LC R2 把元件参数代入上式,得d2 auct dr
一、内容提要： 本章在一阶电路的基础上，用经典分析二阶电路的过渡过程。通过简单的实 例，阐明二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲击响 应等基本概念。 二、典型题解析：
(2)求 微分方程式③的特征方程为p2+4p+4=0 特征根 PI 故 (B1+B2)e 由初始条件和式④得(0+)=B2=2 由初始条件和式②得=40.)-21(0)=(-2 C R2 C 由式④得 d Bt+B2)x(-2)e2=(B1-2B2)=-1 求解 B1-2B2=-1 得 B1=3,B2=2 故 l(t)=(31+2)e (t≥0) 例72如图2(2所示电路,已知U=100V,R=109,C=2pF,L=2mH,原来开 关K是团合的,电路已达稳态,求K打开后c的过渡过程 200t/gs) 图7.2 解:将解答分解成稳态分量uC和暂态分量,即 I+ 因是直流电源,可直接得到稳态分量:=U=100V 暂态分量则取决于特征方程的根:p2=-± 2L V4L2 LC =(-10°±j3×10°)s 这是一对共轭复根,可知电路暂态分量为 u C =e(A, cos o1+ A, sin ' t)V= e 0" [A, cos(3x10'1)+A, sin(3x10DIv 故 c=u+n2=10y+-04cos(3×101)+A2si(3×10)y
由初始条件确定常数A1、A2,设开关K打开瞬间为t=0,在此瞬间uc和i不发生突变: (0+)=i(0) U i= C d R 故 i(0,) 5×10 C 所以有100+A1=0 (-10)A1+(3×104)A2=5×10° 解出 A1=-100 A2=133 则有 A=√A2+A2=16 6= actg =-36.9 A 2 最后得到当t≥0时的解为ac=100+167e10'sin(3×10t-369°V 将t=0和口→∞代入上式进行校验与已知的初始值和稳态分量均相符。 Hc变化曲线如图72(b)所示。 例7.3试求图73a2所示电路中的冲激响应,已知G<2vcL。 1,(1) L 解:(1)电路.,37a)的微分方程为,cd2 C,2+LG+1=8()① Hc(0-)=0,2(0 (2)求t=0时的初始值 对式①求积分得 ra中d+Cotd+- 由式①可知一、i不是冲激函数,否则式①不成立。故式③可写成 CL2dr=0)d④ 由上式可得: di d t CL
由于一不是冲激函数,故i不能跃变,即2(04)=i2(0.)=0⑤ (3)求t>0时的响应 t>0时冲激电流源δ()=0已无作用,电路如图7.3(c)所示。为求解此电路的零输入响 应,可列出t>0时的电路方程,即 diL +LG-+L2=0 结合初始条件式④和式⑤可求解这一微分方程。 由于G<2√C/L,电路为欠阻尼情况,可解得i的冲激响应为 e.sin( @d n).E() 2C 例,如图4()所示电路,=0时开关K闭合,求零状态响应 K 12V ⊥0 图7.4 解:开关闭 合,设电流、t的参考方向如图 列写微分方程 (b)所示 由KCL得 IR+Ic+i=0 由于 00Q2i+L d 0g·C+LC dai iR=Cs 400g·i+L di 2009 200g 代入式①,并整理得 d i C+4009·C+ L di dr 20092dr 2009 、参数并化简得7+5×10 6×10°(r)=12×10°③ (2)求方程的齐次解 特征方程为p2+5×104p+6×10=0 特征根 P 3×104
故,齐次解()=B1e-20+B2e0A(t≥0)式中B1和B2为待定常数 3)求特解(0 由于激励为直流电压源,故特解为常数,设()=l 代入式③得l 2×10=2×102A 故 ()=2×102A i()即为稳态时的电流n)(即为稳态响应) (4)求B1、B2 零状态响应(通解)i0)为()=(Bc20+B2e+2×10-2)A 初始条件为i(0+)=0,ac(0+)=0 由式②可知 d =[20,)-40090(0,)=0 故由式④得()=B1+B2+2×102=0 drl="B -3x10'B2 =0 解得 B1=-0.06,B2=0.04 i()=(-0.06e3×0+0.0430+2×102)A(1≥0) 习题 1.在图7.5所示电路中,已知U=40V,R=R2=102,L=2mH,C=20uF 换路前电路处于稳态。求换路后的电容电压uc。 Us 题 2.如图7.6所示电路,已知U=300V,R=25092 L=0.25H,C=25μF,原来开关K是闭合的,电路已达 稳态,=0时将K打开,求K打开后电容和电感上的电 压、电流的变化规律。 图7. 3.图7.7含受控源电路处于零初始状态,已知=10(1),试用经典法求各支路电流
三、习题
209 R310g2 R2309109 05H H 图7.7
