第九章正孩稳态电路的分析 、内容提要 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。首先,引入阻抗、导纳的概念 和电路的相量图。其次,通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路的定理的 相量描述和应用,介绍正弦电流电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功 率和复功率,以及最大功率的传输问题。最后,介绍了电路的谐振现象和电路的 频率响应 、典型题解析: 例9.1如图91所示正弦稳态电路,已知I1=2=10A,电阻R上电压的初相位为 零,求相量和Us i109 +1 109 例9.1电路 分析根据U的初相和元件的特征,先求出电流相量1和l2,然后,由KCL, KVL方程求出U和 解:电路中电阻R和电容C并联,且两端电压的初相为0。由电阻和电容傻姑 娘的电压与电流的相位关系可知:电阻电流1与电压U2同相,电容电流l2超前 电压U相角90°,故1=10∠0°A12=10∠90°A 由KCL方程,有I=1+l2=(0+10)A 由KVL方程,有Us=10/+10/1=-100+100+100=100=100∠90V 评注对R,L,C这三个基本元件,不仅要掌握端口电压、电流相量之间的关系,而且 要掌握其有效值,相位之间的关系。电压和电流的相量仍满足基尔霍夫定律 例92如图92所示正弦稳态电路,R1=R2=19
一、内容提要： 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。首先，引入阻抗、导纳的概念 和电路的相量图。其次，通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路的定理的 相量描述和应用，介绍正弦电流电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功 率和复功率，以及最大功率的传输问题。最后，介绍了电路的谐振现象和电路的 频率响应。 二、典型题解析： 例 9.1 如图 9.1 所示正弦稳态电路，已知 I1=I2=10A,电阻 R 上电压的初相位为 零，求相量 • I 和 • US 。 分析 根据 • UR 的初相和元件的特征，先求出电流相量 • 1 I 和 • 2 I ，然后，由 KCL， KVL 方程求出 • US 和 • I 。 解： 电路中电阻 R 和电容 C 并联，且两端电压的初相为 0。由电阻和电容傻姑 娘的电压与电流的相位关系可知：电阻电流 • 1 I 与电压 • UR 同相，电容电流 • 2 I 超前 电压 • UR 相角 90○，故 1 = 100 • I A 2 = 1090 • I A 由 KCL 方程，有 (10 10) 1 2 I = I + I = + j • • • A 由 KVL 方程，有 • • • US = j10 I+10 I 1 = −100 + j100 +100 = j100 = 10090 V [评注] 对 R，L，C 这三个基本元件，不仅要掌握端口电压、电流相量之间的关系，而且 要掌握其有效值，相位之间的关系。电压和电流的相量仍满足基尔霍夫定律。 例 9.2 如图 9.2 所示正弦稳态电路，R1=R2=1Ω
(1)当电源频率为⑥时,X(2=19,理想电压表读数V1=3V,V2=6V,V3=V, 求Is。 (2)电路中电阻、电容和电感的值不变,现将电源的频率提高一倍,即为2f 若想维持V1的读数不变,Is问应变为多少? t U R2l 图9.2例9.2电路 分析(1)设电流i为参考相量,求出各元件上电压、电流的相量。对其取模 可以得到有效值之间的关系。 (2)对RLC1串联支路,电阻R1上的电压有效值不变,则该支路上电流有效值 也不变;根据电容、电感上电压和电流有效值之间的关系,在电流一定的情况下, 电容电压与电流频率成反比,电感电压与频率成正比。 解(1)设参考相量1=1∠0°A由于电阻R1=10上电压 的有效值Um=3V,故I=Uk/R1=3A,所以1=3∠0°A 根据R1,L,C1上电压与电流之间的相位关系,得 =3∠0°VU=6∠90°=jf6 Ua=2∠=90°=-j2 利用KV1,有U=Uk+U1+ 利用KCL,有1s=1+1+la=/+Cj)V R2 3+i43+j 2+j7A 所 ls=√53=7.3A 如果把电源的频率提高一倍,而维持V1的读数不变,即R1上的电压有效值Uε 3V,那么R1上的电流的有效值Ⅰ也不变,此时仍把Ⅰ设置为参考相量,故 I=3∠0°A。由于L和C1上的电流不变,根据电感和电容上电压有效值与频率 的关系,电源的频率提高一倍,电感上电压表的读数增大一倍,而电容上电压表 的读数降为原来的一半,故
（1）当电源频率为 f0 时，XC2=1Ω，理想电压表读数 V1=3V，V2=6V，V3=2V, 求 IS。 （2）电路中电阻、电容和电感的值不变，现将电源的频率提高一倍，即为 2 f0， 若想维持 V1 的读数不变，IS 问应变为多少？ 分析 （1）设电流 • I 为参考相量，求出各元件上电压、电流的相量。对其取模 可以得到有效值之间的关系。 （2）对 R1LC1 串联支路，电阻 R1 上的电压有效值不变，则该支路上电流有效值 也不变；根据电容、电感上电压和电流有效值之间的关系，在电流一定的情况下， 电容电压与电流频率成反比，电感电压与频率成正比。 如果把电源的频率提高一倍，而维持 V1 的读数不变，即 R1 上的电压有效值 UR1 ＝3V，那么 R1 上的电流的有效值 I 也不变，此时仍把 • I 设置为参考相量，故 • I = 30 A。由于 L 和 C1 上的电流 • I 不变，根据电感和电容上电压有效值与频率 的关系，电源的频率提高一倍，电感上电压表的读数增大一倍，而电容上电压表 的读数降为原来的一半，故
Uk=3∠0°VU1=12∠9 U=1∠=90° U=U8+U1+ (3+j11)V 电源的频率提高一倍,Xc也降为原来的一半,即 Xa=0.59 U 1=1+k+le=1+B+ R 3+3+1+3+1=(-16+i17)A 所以 ls=23.35A 评注]电容和电感的阻抗均为频率的函数,电容的阻抗与频率成反比,电感的阻抗与频 率成正比。 例93如图93所示正弦稳态电路,已知I1=10A,I2=20A,R2=59,U=220V 并且总电压U与总电流Ⅰ同相。求电流I和R,X2,Xc的值 。1 + R2 jx 图9.3例9.3电路 分析由于总电压U与总电流I同相,所以并联支路两端的电压U1和总电流 也同相,故并联支路导纳的虚部为零,这样可以得到一个含有待求变量X2,Xc 的方程。再根据两个并联分支电压相等列出第二个含有待求变量X2,Xc的方程, 联立可求出X2,Xc的值。由于l1落后I相角90°,以及Ⅰ=l1+2,因此该三电 流相量构成直角三角形,这样可求出I 解并联支路的导纳Y1=1x+R+j2 Xc R:I X 由述分析,虚部为零,有x。_B+X 由于 jX-11=(R2+iX:)I2 上式取模,有U1=X:1=√R+M12
[评注] 电容和电感的阻抗均为频率的函数，电容的阻抗与频率成反比，电感的阻抗与频 率成正比。 例 9.3 如图 9.3 所示正弦稳态电路，已知 I1＝10A，I2=20A，R2=5Ω，U=220V, 并且总电压 • U 与总电流 • I 同相。求电流 I 和 R，X2，XC的值。 分析 由于总电压 • U 与总电流 • I 同相，所以并联支路两端的电压 • U1 和总电流 • I 也同相，故并联支路导纳的虚部为零，这样可以得到一个含有待求变量 X2，XC 的方程。再根据两个并联分支电压相等列出第二个含有待求变量 X2，XC的方程， 联立可求出 X2，XC 的值。由于 1 • I 落后 • I 相角 90 ，以及 • I = 1 • I + 2 • I ，因此该三电 流相量构成直角三角形，这样可求出 I
将I1=10A,12=20A,R2=50代入,并求解,得 X:=2.8aX=11.5aU1=115y 由前面分析知:三电流相量1,1,1构成直角二角形,即有 -√1-7=√/400-10-10√A 月为L1,【,I三者同相及=R+L1,所以 R L-U115 6,04g 评注]若二端口电路上的电压与电流同相,则该电路的阻抗和导纳的虚部均为零 例9.4如图94所示正弦稳态电路,已知有效值U1=100√2V,U=500√2V, I2=30A,电阻R=109,求电抗X1,X2和X3的值。 jx2 例9.4电路 分析将U2设置为参考相量,从而找出电路中电压和电流之间的相量关系:对 相量关系取模找出有效值之间的关系 解设U2=U2∠0°V,则 2 X j30 A 20A X 所以 j30+120=-10A U1=(R+jX1)h1=(10+jx1)×(-j10) 两边取模,有U1=√102+X×10=100√2 解得 X1=109 U1=(R+jX1)1=(10+j10)×(-j10)
[评注] 若二端口电路上的电压与电流同相，则该电路的阻抗和导纳的虚部均为零。 例 9.4 如图 9.4 所示正弦稳态电路，已知有效值 U1=100 2 V, U=500 2 V， I2=30A，电阻 R=10Ω，求电抗 X1，X2和 X3的值。 分析 将 2 • U 设置为参考相量，从而找出电路中电压和电流之间的相量关系；对 相量关系取模找出有效值之间的关系
由电路可得U=U1+t12=100-jil 两边取模得U=(100+U2)2+1002 已知U=5002V,所以U2=600V,故有x 230 209 30 评注解本题的关键在于找出电压、电流相量之间的关系,对其取模得到有效值之间的 关系 例9 图9.5(a)所示电路,W、(r)=:3√2 v2cns2tA求29电阻j的电压和电压源提供的功率 IH IF is(t) 69 222 g-j0.5 =3v 29 U ls=】A (b) 图9.5例9.5用图 分析因为us(t)和(t)的频率一样,所以采用一个相量模型,在相量模型的基 础上,列方程求解有关相量,再对应写出时间函数,即可求解。 解:相量模型如图9.5(b)所示。设两个节点电压分别为U1和U2,列方程 整理得 (3-j:)-j4(6
[评注] 解本题的关键在于找出电压、电流相量之间的关系，对其取模得到有效值之间的 关系。 分析 因为 us(t)和 is(t)的频率一样，所以采用一个相量模型，在相量模型的基 础上，列方程求解有关相量，再对应写出时间函数，即可求解。 解： 相量模型如图 9.5（b）所示。设两个节点电压分别为 1 • U 和 2 • U ，列方程 整理得
解得 (I)=242cos2, vi 流过(、的电流}(-U1_1 ws(1)提供的功率(电压与电流同相)P=U5=1W 评注]求电源提供得功率时,设流过电压源得电流方向与电压得方向取非关联参考方向, 则功率等于电压乘电流:若取关联参考方向,则等于负的电压乘电流。另外,相量要同时取 有效值相量或最大值相量。不要再同一个问题计算中,有的相量用有效值相量形式,有的用 振幅相量形式 例96计算如图96所示电路的有功功率P,视在功率S和功率因数入 分析要求整个电路的P,S和λ,必须求出电压源流过的电流。因为电路只 有一个独立节点,应用节点法求解比较简单。 l, 2ks jIke 12k Q 10∠0°V 图9.69.6用图 解:设U1,列方程为 10-21 (!(--2l1) 解方程,得 :>ImA 故得 s={};=10(-j5)=50cmVA 电路的平均功率 电路的视在功率 S=0 rvA 功率因数 评注此电路的平均功率并不是R12,因为本电路包含有受控源。若求含受控源支路与 电感支路并联的等效阻抗,它的实部应为-2k9,与2kΩ的相互抵消,P=0 例9.7如图97(a)所示电路,问ZL为何值时可获得最大功率?求此最大功
[评注] 求电源提供得功率时，设流过电压源得电流方向与电压得方向取非关联参考方向， 则功率等于电压乘电流；若取关联参考方向，则等于负的电压乘电流。另外，相量要同时取 有效值相量或最大值相量。不要再同一个问题计算中，有的相量用有效值相量形式，有的用 振幅相量形式。 例 9.6 计算如图 9.6 所示电路的有功功率 P，视在功率 S 和功率因数λ。 分析 要求整个电路的 P，S 和λ，必须求出电压源流过的电流。因为电路只 有一个独立节点，应用节点法求解比较简单。 解： 设 1 • U ，列方程为 则 [评注] 此电路的平均功率并不是 RI1 2，因为本电路包含有受控源。若求含受控源支路与 电感支路并联的等效阻抗，它的实部应为-2kΩ，与 2kΩ的相互抵消，P＝0。 例 9.7 如图 9.7（a）所示电路，问 ZL 为何值时可获得最大功率？求此最大功
率。 209 100g j10092 2∠0°V 0.91 0.9 2091009 20 j1009+ j100g 2∠0v7 图 例9.7 分析解决这类问题通常是先求出负载端的戴维宁等效电路,再利用正弦稳态最 大功率传输定理,即可得到答案。 解:(1)负载断开,求开路电压Uoc,如图9.7(b)所示。 =-2/20=-0.1A U=(100-j100)×0.91=-9+j9=9√2∠135°V (2)求等效阻抗Z0,如图97(c)所示,外设电压、电流参考方向一致。 因U=(100-100)(1-0.91)=(10-j10)) 故得20==(10-10)0 (3)若Z1实部、虚部均可调,则当21=20=(10+10)Q 时,获得最大功率。此最大功率为 (9√2)2 Lmax 4×R04×10 4.05W 评注]注意此电路中的短路线。在图97(b)所示电路中,两部分电路可分开计算,所 以Ⅰ=--5;在图97(c)所示电路中,短路线将209电阻短接,电阻支路上无电流通过。 另外,图9.7(b)与图97(c)中所示的电阻与电容串联支路的电流是不同的,图97(b)
率。 分析 解决这类问题通常是先求出负载端的戴维宁等效电路，再利用正弦稳态最 大功率传输定理，即可得到答案。 解：（1）负载断开，求开路电压 • UOC ，如图 9.7（b）所示。 = − 2 20 = −0.1 • I A （2）求等效阻抗 Z0，如图 9.7（c）所示，外设电压、电流参考方向一致。 （3）若 ZL 实部、虚部均可调，则当 时，获得最大功率。此最大功率为 [评注] 注意此电路中的短路线。在图 9.7（b）所示电路中，两部分电路可分开计算，所 以 2 • • = − U S I ;在图 9.7（c）所示电路中，短路线将 20Ω电阻短接，电阻支路上无电流通过。 另外，图 9.7（b）与图 9.7（c）中所示的电阻与电容串联支路的电流是不同的，图 9.7（b）
所示电路负载端设为开路,串联支路电流为受控源电流;图97(c)所示电路外设有电压与 电流,串联支路电流为两个电流之和。 三、习题 1.如图9.8所示电路,Us=10V,.a=10rad/s,为使电压U与Us 正交(即相位差90°),求电感L.和有效值U提示:先找出UUs的关系,令实 部为零。 图9.8 29 25mF 69 9.8习题1电路 图9.9习题2电路 2.如图9.9所示电路,已知G1=0.5S,导纳Y2呈感性,I=12A 今测得1=4A.I12=10A。求导纳Y2,提示:先求G1两端电压的有效值
所示电路负载端设为开路，串联支路电流为受控源电流；图 9.7（c）所示电路外设有电压与 电流，串联支路电流为两个电流之和。 三、习题
