第二章电阻电路的等效变换 、内容提要: 本章介绍电路的等效变换的概念。内容包括:电阻和电源的串、并联,电源 的等效变换、一端口输入电阻的计算。 二、典型题解析: 例2.1图21(a)所示电路,求电流I 6 1Q|12 12Q 6av03 21V Q 图2.1例2.1用图 分析设电流I,Il,I2参考方向如图中所标。对求上述各电流,将短路线压缩 图2.(a)等效为图2.1(b),各电阻的串、并联关系一目了然。由图21(b所示电 路求得I,I1,1I2,即是图2.1(a)所示电路中的I,I1,I2。再由图21(a)所示电 路应用KCL可求得所求的电流Iab。 解由图2.1(b)所示电路得 6∥12+6∥3+1=3A 12 I=2A l:-6+3X=1A 再由图21a)所示电路,应用KCL,得 lb=l1-l2=2-1=1A 评注]应用电路等效求解电路时,一定要紧盯住电路等效的对象。读者常犯的错误是把 等效对象搞错,“张冠李戴”。例如对本问题,许多学生误以为图2.1(b)中所示a,b点间电 流“l”即是所求的l,导致结果错误。图2.1(b)中所示的“l”是电流I。这类电阻串 并联等效的简单问题,熟练之后,亦可不画图2.1(b),直接列写算式术解。 例22图2.2(a)所示电路,求b点电位Vb
一、内容提要: 本章介绍电路的等效变换的概念。内容包括：电阻和电源的串、并联，电源 的等效变换、一端口输入电阻的计算。 二、典型题解析： 例 2.1 图 2.1（a）所示电路，求电流 Iab。 分析 设电流 I，I1，I2 参考方向如图中所标。对求上述各电流，将短路线压缩， 图 2.1 (a)等效为图 2．1(b)，各电阻的串、并联关系一目了然。由图 2.1(b)所示电 路求得 I，I1，I2，即是图 2.1(a)所示电路中的 I，I1，I2 。再由图 2.1(a)所示电 路应用 KCL 可求得所求的电流 Iab。 解 由图 2.1（b）所示电路得 [评注] 应用电路等效求解电路时，—定要紧盯住电路等效的对象。读者常犯的错误是把 等效对象搞错，“张冠李戴”。例如对本问题，许多学生误以为图 2.1(b)中所示 a，b 点间电 流“Iab”即是所求的 Iab，导致结果错误。图 2.1(b)中所示的“Iab”是电流 I。这类电阻串， 并联等效的简单问题，熟练之后，亦可不画图 2.1(b)，直接列写算式术解。 例 2.2 图 2.2（a）所示电路，求 b 点电位 Vb
分析本电路有两处接“地”,可以将这两处的“地”用短路线相连,如图2.2(a) 中虚线所示。应用电阻并联等效、电压源互换为电流源等效,将图2.2(a)等效 为图2.2(b):再应用电阻并联等效与电流源并联等效,将图2.2(b)等效为图2.2(c) 由图图22(c)即可简便地求得Vb 10kQ akA SmAl kna+ )200v (a) I kQ kQ b 20mA 15mAl 5ko 图22例2.2用图 解设l1参考方向如图2.5(c)中所标。由分流公式,得 4+1×15=7.5mA 应用OL,得 Vb=4l1=4×7.5=30V 评注]本题电路看似复杂,若概念正确、等效方法运用得当,可很快算出结果。有的问 题甚至心算就可给出答案。 例23图23a)所示电路。求(a,b看做输入端时的输入电阻R;(2),d看做 输出端时的输出电阻R。。 U 6 6Q 39 U 图23例2.3用图 分析对含有受控源,电阻的二端电路求等效电阻,不能不“理睬”受控源简单
分析 本电路有两处接“地”，可以将这两处的“地”用短路线相连，如图 2.2（a） 中虚线所示。应用电阻并联等效、电压源互换为电流源等效，将图 2.2（a）等效 为图 2.2 (b)；再应用电阻并联等效与电流源并联等效，将图 2.2 (b)等效为图 2.2(c) 由图图 2.2(c)即可简便地求得 Vb。 [评注] 本题电路看似复杂，若概念正确、等效方法运用得当，可很快算出结果。有的问 题甚至心算就可给出答案。 例 2.3 图 2.3(a)所示电路。求(1)a，b 看做输入端时的输入电阻 Ri；(2)c，d 看做 输出端时的输出电阻 Ro 。 分析 对含有受控源，电阻的二端电路求等效电阻，不能不“理睬”受控源简单
地用电阻串、并联等效的方法求。这是初学者易犯错误之处。常用的方法有:伏 安法和外加电源法。采用外加电压源u,求端子上“电流”i;采用外加电流源i, 求端于上电压n当m,参考方向对二端电路关联时,Rn=% 解(1)采用伏安法求从ab端看的等效电阻R,设各有关电 流电压参考方向如图2.6(a)中所标因cd端是开路的,电流 U1-6U U1-6×÷U1 所以 l1=12+1,=U1+ 故得 R 30 (2)采用外加电源法求从cd端看的等效电阻R。。根据本电路 的结构特点,在cd端加电压源U求解较简便。设有关电流及电压 参考方向如图2.6(b)中所标。显然 ab端开路,由KVL,得 U-60 2+6 而将U=-21代入上式,得 解得 所以 1=l4+1= 故得 =129 评注]由本问题的计算可以看出:士①输入电阻、输出电阻都是对两个端子的等效电阻, 对一个确定的电路来说,从不问端子看的等效电阻一股是不相同的;②对含有受控源的电阻 二瑞电路,其二端子间的等效电阻可以是负值,如R=309:亦可以是正值,如R=129。 例24图24所示电路为线性时不变二端电路。已知端口ⅤAR为u=Ri+U
地用电阻串、并联等效的方法求。这是初学者易犯错误之处。常用的方法有：伏 安法和外加电源法。采用外加电压源 u，求端子上“电流”i；采用外加电流源 i， 求端于上电压 u。当 u，I 参考方向对二端电路关联时， i R u eq = 。 所以 U U U I I I 12 1 4 1 3 4 5 = = + = + − 故得 = = 12 I U RO [评注] 由本问题的计算可以看出：士①输入电阻、输出电阻都是对两个端子的等效电阻， 对一个确定的电路来说，从不问端子看的等效电阻一股是不相同的；②对含有受控源的电阻 二瑞电路，其二端子间的等效电阻可以是负值，如 Ri=-30Ω；亦可以是正值，如 Ri=12Ω。 例 2.4 图 2.4 所示电路为线性时不变二端电路。已知端口 VAR 为 0 U0 u = R i +
式中,R0=8092,U0=700V。试求图中R与电流i的值 分析图示电路端口的ⅵAR已给出,只须由电路根据KCL,KVL写出用未知电 阻、未知电流源表示的VAR,令二者相等求出R与i i1009100。 例2.4用图 解由电路写VAR +2i1=3(i+is) 1007+100i1+Ri 1001-100(i+is)+R3(i+is)= (200+3R)i+(100+3R)i 令式(2.4)与式(2.3)相等,有 200+3R=R=800 (100+3R)is=U=700 联立以上二式解得 R 评注绐出的式u=R1+U0就是一个电压源的端口AR。如果本问题中的二端电路与 这个电压源是等效的,为满足等效条件,二者就应具有相同的VAR 例2.5图25(a)所示电路为实际中的电电压测量电路。 dOOR, 600R1 4009LR2 400U0 图2.5例2.5用图 (1)若用内阻为12009的电压表测量,求电正表读数。 (2)若用内阻为36009的电压表测量,求这时电压表的读数 (3)若用理想电压表即内阻力无限大的电压表测量,再求这时电压表的读数。 分析这是联系实际问题的简单圳例题,目的是讨论实际电压表内阻对测试电路 的影响
式中， R0 = 800，U0 = 700 V。试求图中 R 与电流 is 的值。 分析 图示电路端口的 VAR 已给出，只须由电路根据 KCL，KVL 写出用未知电 阻、未知电流源表示的 VAR，令二者相等求出 R 与 is。 [评注] 绐出的式 0 U0 u = R i + 就是一个电压源的端口 VAR。如果本问题中的二端电路与 这个电压源是等效的，为满足等效条件，二者就应具有相同的 VAR。 例 2.5 图 2.5（a）所示电路为实际中的电电压测量电路。 (1)若用内阻为 1 200Ω的电压表测量，求电正表读数。 (2)若用内阻为 3 600Ω的电压表测量，求这时电压表的读数。 (3)若用理想电压表即内阻力无限大的电压表测量，再求这时电压表的读数。 分析 这是联系实际问题的简单圳例题，目的是讨论实际电压表内阻对测试电路 的影响
解(1)将电压表视为一个电阻R、,将图2.8(a)改画为图 2.8(b)。当R=Rv=12000时。 Rn=R∥R3=404120-30 根据电阻串联分压公式,得 RR 600+30018=6V (2)当R=R1=36000时, R:∥R 100×3600 400+3600 360Q 则 tv=R+R-×18 600+360×18=6.75V (3)当Rv=Rw=∞时, Rn=R:∥R 所 ,+RX R R1+R2 600+400×18=7.2V(精确值) 评注]由此例具体的计算可得出结论:实际电压表的内阻越大,对测试电路的影响越小。 理论上讲,若电压表内阻无穷大{理想的电压表},则对测试电路无影响,由此例还可以联想 到,测量电流时是将电流表串联接入电路,实际电流表的内阻越小,对测试电路的影响越小 理想电流表(内阻为零)对测试电路无影响。 例2.6图26(a)所示电路,求电流is 8 24V 24V 894叶 80 42 2Q 2 29 (a) 图2.6例2.6用图 分析这个问题用电阻串、并联等效即可求解。将短路线压缩为一点,如图26 (b)所示。各电阻之间的串、并联关系很容易看出,但应注意:所要求的电流 i5在图26(b)中见不到了。图26(b)对求电流i,i,i,i,i与图26(a) 是等效的。从图26(b)所示电路中求得各等效电流.然后回到图26(a)所示 电路巾求出i
则 [评注] 由此例具体的计算可得出结论：实际电压表的内阻越大，对测试电路的影响越小。 理论上讲，若电压表内阻无穷大{理想的电压表}，则对测试电路无影响，由此例还可以联想 到，测量电流时是将电流表串联接入电路，实际电流表的内阻越小，对测试电路的影响越小。 理想电流表(内阻为零)对测试电路无影响。 例 2.6 图 2.6（a）所示电路，求电流 i5。 分析 这个问题用电阻串、并联等效即可求解。将短路线压缩为一点，如图 2.6 （b）所示。各电阻之间的串、并联关系很容易看出，但应注意：所要求的电流 i5 在图 2.6（b）中见不到了。图 2.6（b）对求电流 i，i1，i2，i3，i4 与图 2.6（a） 是等效的。从图 2.6（b）所示电路中求得各等效电流．然后回到图 2.6（a）所示 电路巾求出 i5
解电流 8∥8+2]∥[4∥4+212. 10A 应用分流公式,得 a=8∥8+21+(4∥4+21 Xi=4A 由KCL,得 10-4=6A 再应用分流公式,得 2A i4 4+442=3A 回到图2.9(a)所示电路,应用KCL,得 i=i-i-i4=10-2-3=5A 评注]若串、并联等效应用熟练,可不画图26(b)直接列写算式计算即可,过程同上。 例27图27(a)所示电路,已知电流源Is产生功率为6mW,求Is。 分析这个问题也属于“逆”问题,不过这里已知的不是某个响应(电压或电流) 而是某个功率,求未知元件数值或某电源数值。这类“逆”问题有时会得到两个 有意义解。应用电源互换及电阻并联等效将图2.7(a逐步等效为图27b)、(c) 由图2.7c)所示单回路电路,求出lb,再联系已知条件求得Is 解图27(c)所示电路中的电流即是Is。所以a,b点电位分别为 则电压
[评注] 若串、并联等效应用熟练，可不画图 2.6（b）直接列写算式计算即可，过程同上。 例 2.7 图 2.7（a）所示电路，已知电流源 IS 产生功率为 6mW，求 IS。 分析 这个问题也属于“逆”问题，不过这里已知的不是某个响应(电压或电流) 而是某个功率，求未知元件数值或某电源数值。这类“逆”问题有时会得到两个 有意义解。应用电源互换及电阻并联等效将图 2.7 (a)逐步等效为图 2.7(b)、(c)。 由图 2.7(c)所示单回路电路，求出 uab，再联系已知条件求得 IS。 解 图 2.7(c)所示电路中的电流即是 IS。所以 a，b 点电位分别为
考虑a,ls对电流源Is两端属参考方向非关联,所以它产生的功 率为 P 2)ls=6 解得 mA I,=-04 mA ① +12v ① 6k9 16mA 6k96kQ 0.5mA 3V( 6k2 niko 6kQ 9v 例2.7用图 评注 本题解得的两个解都是有意义解,当l=1s=2mA时,B =7. 5 Ix1-12-3V, Ps=u Is=6 mW: Is= Is=-0 4 mA Bf,u,h: =7.51s-12=7.5×(-0.4)-12=-15V,Ps=a,ls=6mW 例2.8图28所示电路,已知I2=1A,求电压源Us产生的功率Ps 49 622 129 Us 6Q 39 图2.8例2.8用图 分析本题可看做是与例2.1相对应的“逆”问题。例2.1算是“顺”问题(或称 “正”问题)。所谓“顺”问题,就是已知电路的结构、元件值求电路的响应或 功率类型的问题。“顺”问题与“逆”问题在求解中所用到的概念与求解过程是 类同的,但人们感觉“逆”问题的难度大于“顺”问题。这是因为在“逆”问题 的求解过程中间,某些结果要用含有待求量的代数式表示,不像“顺”问题的求 解过程中间某些结果可以直接表示成数。这就增加了“逆”问题求解过程的复杂
[评注] 例 2.8 图 2.8 所示电路，已知 Iab＝1A，求电压源 US 产生的功率 PS。 分析 本题可看做是与例 2.1 相对应的“逆”问题。例 2.1 算是“顺”问题(或称 “正”问题)。所谓“顺”问题，就是已知电路的结构、元件值求电路的响应或 功率类型的问题。“顺”问题与“逆”问题在求解中所用到的概念与求解过程是 类同的，但人们感觉“逆”问题的难度大于“顺”问题。这是因为在“逆”问题 的求解过程中间，某些结果要用含有待求量的代数式表示，不像“顺”问题的求 解过程中间某些结果可以直接表示成数。这就增加了“逆”问题求解过程的复杂
度。本例题仍用电阻串、并联等效,以及KCL和KVL先计算出Us,然后由功 率概念计算出Ps。 解设有关电流、电压参考方向如图中所标。由电阻串、并联等效和分流关 系以及KCL,KVL得 +6∥12+6∥310 12 6+12 又 山=1-12=U Us Us=l 所以 Us=30 V 将Us数值代入1的表达式,得 考虑1,Us对电压源两端属参考方向非关联,故得Us电压源产生 功率 评注]求解本问题首先想到求出Us数值,而找出Iab与Us之关系是关键步骤 例2.9图29(a)所示电路,求电流i。 9VL491 9v 图29例2.9用图 分析将受控电流源等效互换为受控电压源,如图2.9(b)所示;再将图2.9b)所示 受控电压源等效互换为受控电流源,如图2.9(c)图所示;将49//29等效为 一个439电阻,再将图29(c)所示受控电流源等效互换为受控电压源如图29(d) 所示。于是,由KVL便可求得i 解:列写图29(d所示回路KVL方程,有
度。本例题仍用电阻串、并联等效，以及 KCL 和 KVL 先计算出 US，然后由功 率概念计算出 PS。 解 设有关电流、电压参考方向如图中所标。由电阻串、并联等效和分流关 系以及 KCL, KVL 得 [评注] 求解本问题首先想到求出 US 数值，而找出 Iab 与 US 之关系是关键步骤。 例 2.9 图 2.9（a）所示电路，求电流 i 。 分析 将受控电流源等效互换为受控电压源，如图 2.9(b)所示；再将图 2.9(b)所示 受控电压源等效互换为受控电流源，如图 2.9(c)图所示；将 4 Ω／／2Ω等效为 一个 4/3Ω电阻，再将图 2.9(c)所示受控电流源等效互换为受控电压源，如图 2.9(d) 所示。于是，由 KVL 便可求得 i。 解： 列写图 2.9(d)所示回路 KVL 方程，有
解得 3A 评注]在用各种电路等效方法求解含有受控源的电路时,注意,不要把控制量所在支路 变化掉。本问题中,不要把控制量i所在支路即2Ω串联9Ⅴ电压源支路互换等效为电流源。 例210在图210(a)所示电路中,I1=1A,在图2.10(b)所示电路中,1= 6A。求电阻R。 30Q Us 30QR U 30Q (a) (b) 图210例2.10用图 分析设图210(a)、(b)所示电路中从ab端向右看的等效电阻分别为:Rn, R2°因两电路中电压源Us是相同的,而图2106)中所示1等于图210(a)中 所示I的6倍。据此判断R1=6R。然后,由两电路分别应用电阻串、并联等 效写出Ru,Rn用R表示的关系式,从中解出 解在图2.10(a)所示电路中 30[30+30∥R]20R+300 30+30∥R]+30 在图2.13(b)所示电路中: (30+30) 20R R。=R+30(30+30)=R+20 令R1=6Ra,有 20R+300=6×20R R+20 解上式得 R=32 评注】联系从ab端向右看的输入电阻,是求解本问题的关键 例211图211a所示的调压电路,端子a处为开路。若以地为参考点,当调 变电阻R2(R2=2R1)的活动点时,求a点电位va的变化范围。 分析+24Ⅴ端相当接24Ⅴ电源正极,它的负极接地;-12V端相当接12ⅴ电源 负极,它的正极接地。应用电源互换等效、电阻并联等效,将图2.11a)分别等效 为图2.11b)和图2.11(c),进而求得va的变化范围 解:在图2.(c)所示电路中设电流I,由KVL得 12+6 186 R1,R1 +R2 3R1R1
9 3 1 3 4 2i + i − i = 解得 i = 3 A [评注] 在用各种电路等效方法求解含有受控源的电路时，注意，不要把控制量所在支路 变化掉。本问题中，不要把控制量 i 所在支路即 2Ω串联 9V 电压源支路互换等效为电流源。 例 2.10 在图 2.10（a）所示电路中，I1=1A，在图 2.10（b）所示电路中， ' 1 I ＝ 6A。求电阻 R。 分析 设图 2.10（a）、（b）所示电路中从 a b 端向右看的等效电阻分别为：Ri1， Ri2。因两电路中电压源 US 是相同的，而图 2.10(b)中所示 ' 1 I 等于图 2.10（a）中 所示 I1 的 6 倍。据此判断 Ri1＝6 Ri2。然后，由两电路分别应用电阻串、并联等 效写出 Ri1， Ri2 用 R 表示的关系式，从中解出 R。 解 在图 2.10（a）所示电路中： [评注] 联系从 ab 端向右看的输入电阻，是求解本问题的关键。 例 2.11 图 2.11(a)所示的调压电路，端子 a 处为开路。若以地为参考点，当调 变电阻 R2(R2＝2 R1)的活动点时，求 a 点电位 va 的变化范围。 分析 +24V 端相当接 24 V 电源正极，它的负极接地；-12 V 端相当接 12 V 电源 负极，它的正极接地。应用电源互换等效、电阻并联等效，将图 2.11(a)分别等效 为图 2.11(b)和图 2.11(c)，进而求得 va 的变化范围。 解：在图 2.11(c)所示电路中设电流 I，由 KVL 得 1 1 2 1 1 6 3 18 2 2 12 6 R R R R R I = = + + + =
当端子a调至R2最右端,即c点时, 6 R Ⅰ=-6+ R16 2 R 当端子a调至R2最左端,即b点时 R R16 Va的范围为-3V~9V R2 R R, 12 a R R- 图2.11例2.11用图 评注]识别电位表示电路的含义,正确运用电源互换等效是求解该例的关键步骤。 例212图212(a)所示电路,已知U=3V,求电阻R。 Q U 10V Q RIU U 6V (b) 例2.12用图
当端子 a 调至 R2 最右端，即 c 点时， vamin＝ 3 6 2 6 2 6 1 1 1 − + = − + • = − R R I R V 当端子 a 调至 R2 最左端，即 b 点时， vamin＝ 12 9 6 2 12 2 1 1 1 − + = − • + = R R I R V va 的范围为-3V～9V。 [评注] 识别电位表示电路的含义，正确运用电源互换等效是求解该例的关键步骤。 例 2.12 图 2.12(a)所示电路，已知 U=3V，求电阻 R
