笫十三章拉普拉斯变换 内容提要: 本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。主要内容有:拉普拉斯 变换的第一,拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质,求拉普拉斯反变换 的部分分式法(分解定理),还介绍了KCL和KL的运算形式,运算阻抗,运算 导纳及运算电路,并通过实例说明它们在电路分析中的应用 典型题解析 例3.1(1)试用图形表示下列函数,该函数为周期2x延展。 sint 0≤t≤兀 f()= 0 兀≤t≤2T (2)试求L(t)。 解:(1)图形如图13.1所示。 (2)对于周期为7(>0)的时间函数f,可以证明其拉氏变换式F(s)为 E(s-e→fe"dr (证明路)40 根据上式,由于本题中F(的周期T=2x,故有 Lf()= 一2 f()e“dr= sin te dr 图13.1 (-s sin f-cos 1) s2+1 (1-e-)s2+1) 例132已知一函数的拉氏变换式为F(x3+20-2+25+40 (s2+4)(s2+2s+5) 试求其原函数R0 解:F(s) 5x3+202+25s+4055 (s2+4Xs2+2s+5)s2+4s2+2+5-5x5 +5 s2+2 (s+1) 所以f(t)=L[F(s)]=5c021+5e'sin2t 例13.3已知象函数F(x)= (2+1)2 ,试求其原函数f(r)
一、内容提要： 本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。主要内容有：拉普拉斯 变换的第一，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换 的部分分式法（分解定理），还介绍了 KCL 和 KVL 的运算形式，运算阻抗，运算 导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。 二、典型题解析：
解:因为 +1)2(5-)2(s+j)2 很明显P1=j及P2=-j为二重共轭复根,所以可以展开为 F(s)=:+1x+ s-j (s-D- 5+j(s+ 其中 k1=(s-)2F(s) (s+j)2 k12=[(s-)2F(s) (s+)2-2(s+j 0 dsl(s+D) (5+j (s+ 由于p1和P2为共轭复根,故有 所以 f()=LF()l=…jte"+jt sIn f 2(2j (t≥0) 例134在图13.4(a)电路中u(0)=0,求K合后的u(O、),并画出它们的波 形(用拉普拉斯变换法求解) 109 09U 05U() ⊥ s2 -Uc(s) 10 (a) 图13 解:作运算电路如图13.4(b)所示,据此列节点方程为 l10 (s)-0.5U1(s)=① 及控制量方程 U1(s)=Uc(5)-10 由式①、②解出U4)=-2v=(5-5y (s+04) ss+0.4
计算 (5)= 590()+0.5U)/05-5 5s+04 所以 lc(r)=L- IUc(s)=5-5e.V (t≥0) i()=L-(s)]=0.5-1.5e04A (r≥0) c()、i(n)的波形分别如图13.4(c)、(d)所示。 例135试用拉氏变换法求图13.5(a)所示电路中的电流i i2(0)=2A I H (s) ()39205F Hc(0-)=3V 392 图13. 解:此题为二阶电路在冲激电源作用下的全响应问题。用复频域法(拉普拉斯变换法) 解比经典法容易,无需分析在6(1)作用下c或i的跃变问题。作出运算电路如图13.5() 所示,其中电压源&n的象函数为L[6(0)}=1 2+1 由弥尔曼定理得出U(s)= 2.358∠-50.5° V+2358450.5° s32 3-1374 j1.374 所以AB=LU4B(5)1=4.716e3cos(1.3741-50.5°)V(≥0,) =34n=1.572043741-505)A 例136图13.6(0所示的电路,元件值为:R=10显2,R2=309,L=10H,C=25F (1)今以e3为输入,c为响应,试求冲激响应。 (2)当输入e为单位阶跃时,试求全响应。电路的初始状态为:i(0)=2A,c(0)=lV l2() (0.)↑ E,( Uc(s) E(( Ue(s) 13.6
解:(1)先求冲激响应:此时e=6(r)V,i2(0)=0,ac(0)=0,运算电路如图13.6() 所示,其中 E(s)=L[(t)]=1 按分压公式有 0.0136 Uds)= V==00136 250s2+760x+405+2.9864+00536 则电路的冲激响应为c()=L[Uc(s)]=(0.0136e036-0.0136e29364)V(t≥0) (2)求全响应:此时,e=E(V,i(0.)=2A,u(0)=1V,作出运算电路如图13.6c) 所示,其中E、(s)=Lel=Le(1)=1/sV 按照弥尔曼定理,求出Uc(5) 2+95s+1 v=(0250228 1.023 V +76s+4) 3s+2.9864s+0.0536 全响应为uc(t)=LUc(5)]=(0.25-0.2728e-2.9864+1.023c0536)V(t≥0) 习题 1.已知一个RL串联电路中的电流为i,且满足如下方程:、d+4=0。试表 dt 示出其s域中的电流I(s)。 2.已知象函数F()= (s2+D),试求其原函数f( 如图13.7所示电路原已达稳态,在t=0时合上开关K,求流过开关的电流i0)。 La i(n 15V 192 4.求图13.8电路中电阻R2两端的电压u()给定:R1=R2=292,L=H,C=F (r)=E(t)v(单位阶跃电压)。初始条件:uc(0)=-2V,i2(0)=1A en
三、习题 1. 已知一个 RL 串联电路中的电流为 i ，且满足如下方程： 2 + 4i = 0 dt di 。试表 示出其 s 域中的电流 I（s）
