第二章自动控制系统的数学模型 §2-1动态微分方程 教学目的:建立动态模拟的概念,能编写系统的微分方程 教学重点:编写电路电力系统微分方程。 教学难点:举典型系统,说明编写微分方程的方法。 无论什么系统,输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律,来反映该系统 的特征 为了使系统满足暂态性要求,必须对系统暂态过程进行分析,掌握其内在规 律,数学模型可以描述这一规律 基本概念 1.系统的数学模型:描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达 1)动态模型:描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式,他 般是时间函数。如:微分方程,传递函数,状态方程等。 2)静态模型:描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间 函数 2.建立动态模型的方法 1)机理分析法:用定律定理建立动态模型。 2)实验法:运用实验数据提供的信息,采用辨识方法建模。 3.建立动态模型的意义:找出系统输入输出变量之间的相互关系,以便分析设 计系统,使系统控制效果最优。 二、编号系统或元件微分方程的步骤 1.根据实际情况,确定系统的输入输出变量。 2.从系统输入端开始,按信号传递顺序,以此写出组成系统的个元件微分方程。 3.消去中间变量,写出输入输出变量的微分方程。 三、举例 例1编号RC电路微分方程 u2受控于u1 七「 (1)确定输入量和输出量。输入量u1 输出量 (2)列微分方程 图2-1 (3)消去中间变量1=C
第二章 自动控制系统的数学模型 §２－１动态微分方程 教学目的：建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 教学重点：编写电路电力系统微分方程。 教学难点：举典型系统，说明编写微分方程的方法。 无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统 的特征。 为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规 律，数学模型可以描述这一规律。 一、基本概念 1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达 式。 １） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他 一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。 ２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间 函数 2. 建立动态模型的方法 １） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。 ２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。 3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设 计系统，使系统控制效果最优。 二、编号系统或元件微分方程的步骤： 1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。 2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的个元件微分方程。 3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。 三、举例 例 1 编号 RC 电路微分方程 u 2 受控于 u 1 (1) 确定输入量和输出量。输入量 u 1 输出量 u 2 （2） 列微分方程 图 2-1 (3)消去中间变量 I=C dt du2 R i u 2 u 1
u,=iR+u du u1=RC=,+u2 例2编号电枢控制的他激直流电动机的微分方程。 (1)确定输入输出量, 输入量u。设un=ra 输出量n设n=x。 (2)列微分方程 电枢回路等效电路如图2-3所示 ^。 图2-2 电枢回路的微分方程:u=inR。+Ld=,+ L=C n C.为电势常数 l=+l-+ln(2--2) 电动机机械运动方程 R u 图2-3 GD-dn 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时:m-m-mm=375d 其中mnan=fw=f 若考虑m=GDa (2-3) 375dt
u 1 =iR+ u 2 u 1 =RC dt du2 + u 2 例２ 编号电枢控制的他激直流电动机的微分方程。 （１） 确定输入输出量， 输入量 u a 设 u a = r a 输出量 n 设 n = x c （２）列微分方程 电枢回路等效电路如图２-３所示 图 2-2 电枢回路的微分方程：u d =i a R a +Ld t d d di +l a l d = Cen Ce 为电势常数 l n dt di u i r l c d d = d d + d + （2——2） 电动机机械运动方程 图 2-3 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时： dt GD dn m mnian mfu 375 2 − − = 其中 dt dq m f w f nian = . = 若考虑 dt GD dn m 375 2 = （2—3） Rd Ld d l d u n m u d id
电动机电磁转距与电枢电流成正比 (2-4) (3)消去中间变量: 将(2-3)带入(2--4)得-375cnd d i d 江(2-5),(2-6)带入(2-2)得 ld.8d2R4n+8n如 +n= (2-7) Rd 375 cm ce dr- 375cmc 令: 电动机电磁时间常数 gd rd 机电 375c c din dn 得 I 'm dt (2-8) 若以为输入,电动机转角O为输出 30d6 (2-9) dn 30d-0 (2-10) d-n 30d 8 (2-11) 将(2-9)(210)(2—11)带入(2-8)得 d 0 d20 de TT 0.105 (2-12) 例3具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统,编号()为输入量x,位移为 输出量x的系统运动微分方程
电动机电磁转距与电枢电流成正比 m = cm id （2—4） （3）消去中间变量： 将（2—3）带入（2——4）得 c dt gd dn i m d 375 2 = （2—5） 2 2 2 375 dt d n c gd dt di m d = • （2—6） 江（2—5），（2—6）带入（2—2）得 e d m e m e c u n dt dn c c gd rd dt d n c c gd Rd Rd Ld • + + = 375 375 2 2 2 2 （2—7） 令： d d d t r l = ——电动机电磁时间常数 m e m t c c gd rd = 375 2 机电 得 e d d m m c u n dt dn t dt d n t t + + = 2 （2—8） 若以 ud 为输入，电动机转角 为输出 dt d w = w go n = 2 dt d n 30 = （2—9） 2 2 30 dt d dt dn = （2—10） 3 3 2 2 30 dt d dt d n = （2—11） 将（2—9）（2—10）（2—11）带入（2—8）得 e d D m m c u dt d dt d T dt d T T 0.105 2 2 3 3 + + = （2—12） 例 3 具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统，编号 f(t)为输入量 r x ，位移为 输出量 c x 的系统运动微分方程
f(t) 图24 (1)确定输入输出量f(t)=x X= x (2)列微分方程,根据牛顿第二定律 f(t)-f,(1)-f4()=m d-x(o (2-13) f,(n)=kx() (3)消去中间变量 ()=ba( 系统运动微分方程 2+kx(1)+b dx(o) =f(1) (2-14) dt R12 Ro R R02I2 R3 图2-5 图2-5为闭环调速控制系统,编号控制系统微分方程。 (1)确定系统输入输出量 输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速 (2)编号各环节的微分方程。 1)比例放大环节 I1+I2-=0URol-UfR2-Uk/R12=0假定Ro=Ro2 Uk=Rl2(Ug Rol-Uf/Ro2FUg-UfRI2/Rol=KI Ug-Uf)
图 2-4 （1）确定输入输出量 r f (t) = x c x = x （2）列微分方程，根据牛顿第二定律 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dt d x t f t − f s t − f d t = m （2—13） （3）消去中间变量 dt dx t f t b f t kx t d s ( ) ( ) ( ) ( ) = = 系统运动微分方程： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f t dt dx t kx t b dt d x t m + + = （2—14） 图 2-5 图 2-5 为闭环调速控制系统，编号控制系统微分方程。 (1)确定系统输入输出量： 输入量为给定电压 Ug=Xr,输出量为电动机转速 n=Xc. (2)编号各环节的微分方程。 1）比例放大环节 I1+I2-I3=0 Ug/Ro1-Uf/Ro2-Uk/R12=0 假定 Ro1=Ro2 Uk=R12(Ug/Ro1-Uf/Ro2)=(Ug-Uf)R12/Ro1=K1(Ug-Uf) f(t) K B Ud R3 R4 K0 D CF - + R1 R2 - + Ug U1 I1 R01 R02 I2 I3 R12 UK n
(2-15) 2)可控硅整流功率放大环节 Ud=KUk:Ks--电压放大系数 (2-16) 3)直流电动机 TdTmd2n/dt2+Tmdn/dt+n=Ua/Ce 其中Tm=GD2R/375CeCm Td=(LS+LdR R是电动机回路和可控硅整流电路总电 阻 4)反馈环节 UenKsf;Ksf比例系数 (3)消去中间变量 将式(2-15)(2-16)代入(2-17)经整理得: TdTm/(1+Ksf Ks K/Ce)d2n/dt 2+Tm/(1+KsfKs K/Ce)dn/dt+n KsfKs Ki/Ce(1+Ksf Ks KI/Ce) (2-18) 令KsK1=K 正向通道放大系数, Ksf Ks K1/Ce=Kk 开环放大系数 得闭环系统的微分方程式: TdTm/(1+Kk)d2n/dt2+ Tm/(1+Kk) dn/dt+n= KgUy(1+Kk) 系统算子方程为 (TaTm/(1+Kk) P2+ Tm/(1+ Kk) p+1)n= KgU(1+Kk) 系统的静态方程式:当系统稳定时dndt2,dndt为零 所以,稳定时的转速为 n=kgUg/Ce (1+Kk) (2-21) 小结:本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型,介绍了系统的动态以及静 态数学模型,描述了系统的动态微分方程,并通过几个典型实例给出了求 自动控制系统动态微分方程的步骤
(2-15) 2) 可控硅整流功率放大环节 Ud=KsUk ； Ks---电压放大系数 (2-16) 3) 直流电动机 TdTmd 2n/dt2+Tmdn/dt+n=Ud/Ce 其中 Tm=GD2R/375CeCm (2-17) Td=(Ls+Ld)/R R 是电动机回路和可控硅整流电路总电 阻。 4）反馈环节 Uf=nKsf ； Ksf 比例系数 (3)消去中间变量 将式（2-15）（2-16）代入（2-17）经整理得： TdTm/（1+Ksf Ks K1/Ce）d 2n/dt2+ Tm/（1+Ksf Ks Kk/Ce）dn/dt+n= Ksf Ks K1 /Ce（1+Ksf Ks K1/Ce） (2-18) 令 Ks K1=Kg 正向通道放大系数，Ksf Ks K1/Ce=Kk 开环放大系数。 得闭环系统的微分方程式： TdTm/（1+Kk）d 2n/dt2+ Tm/（1+ Kk）dn/dt+n= KgUg（/ 1+Kk） (2-19) 系统算子方程为： (TdTm/（1+Kk）P 2+ Tm/（1+ Kk）P+1)n= KgUg/（1+Kk） (2-20) 系统的静态方程式：当系统稳定时 d 2n/dt2 ，dn/dt 为零 所以，稳定时 的转速为： n=KgUg/Ce（1+Kk） (2-21) 小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静 态数学模型，描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求 自动控制系统动态微分方程的步骤
§2-2传递函数 教学目的:掌握传递函数的概念及求法。 教学重点:求电路系统传递函数。 教学难点:求高阶系统响应 求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因 此对系统的设计分析不便所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的 代数运算可是问题分析大大简化 递函数的概念及意义: 1.传递函数的定义: 线性系统在零初始条件下,输出信号的拉氏变换,与输入拉氏变换之比 线性定长系统微分方程的一般表达式 do ahan d c+axDo dt b x为系统输出量,x为系统输入量。 在初始情况为零时,两端取拉氏变换: a3s"x(s)+a;s"-x(s)+…+anx(s)=bs"x,(s)+…+bnx,(s)(2-23) X(s)X(s)=bosm+blsm-+……+bh-1stbm/(aosn+as-1+……+an1stan) (2-24) X(s)输出量的拉氏变换 X(s)输入量的拉氏变换 Ws)系统或环节的传递系数。 2.传递函数的两种表达形式: 1)W(s=X(s)Xf(s)=bos+ bi sm-+……+ bm-1 s+bm/(aos+as1+…+anls+an) =K(S+Z1)S+Z2)……(S+Zm)/{(S+P1)(S+P2)…(S+Pn)} =Kgm1=1(S+Z)/∏=1(S+P) 2)W(s X(s)Xr(sbm(dosm+dI Sm-1+.+1/an(co sn+cI S-I++D)) =K(TS+1)2S+1)…(ImS+1y/{(T1S+1)T2S+1)…(T3S+1)} -Kgm=1(TiS+1)/n=I(TS+ (2-26) 其中,Z,-系统的零点;P}-系统极点 3.关于传递函数的几点说明: 1)传递函数的概念只适应于线性定常系统。 2)传递函数只与系统本身的特性参数有关,与输入量怎样变化无关 3)传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律 传递函数分子多项式阶次低于至多等于分母多项式的阶次 4.传递函数求法:
§2—2 传递函数 教学目的：掌握传递函数的概念及求法。 教学重点：求电路系统传递函数。 教学难点：求高阶系统响应。 求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因 此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的 代数运算,可是问题分析大大简化. 一.递函数的概念及意义： 1. 传递函数的定义： 线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换,与输入拉氏变换之比. 线性定长系统微分方程的一般表达式: a a a a x b m bm xr r m n c c n n c n n c n dt d x dt dx dt d x dt d x + + + + = + + − − − 1 1 0 1 0 1 xc 为系统输出量， xr 为系统输入量。 在初始情况为零时，两端取拉氏变换： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 a s x s a s x s a x s b s x s b x s r m r m c n c n c n + + + = + + − （2—23） Xc(s)/Xr(s)=b0 s m+b1 s m-1+……+bm-1 s+bm/(a0 s n+a 1s n-1+……+an-1 s+an) =W(s) (2-24) Xc(s)输出量的拉氏变换 Xr(s)输入量的 拉氏变换 W(s) 系统或环节的传递系数。 2. 传递函数的两种表达形式： 1） W(s)= Xc(s)/Xr(s)=b0 s m+b1 s m-1+……+bm-1 s+bm/(a0 s n+a 1s n-1+……+an-1 s+an) = Kg(S+Z1)(S+Z2)……(S+Zm)/{(S+P1)(S+P2)……(S+Pn)} =Kg mI=1 (S+Zi) / n j=1 (S+Pj) (2-25) 2）W(s)= Xc(s)/Xr(s)=bm(d0s m+d1 sm-1+……+1)/{an(c0 s n+c1 s n-1+……+1)} =K(T1 S+1)(T2 S+1)……(Tm S+1)/{(T’1 S+1)(T ‘ 2S+1)……(T ‘ 3S+1)} =KgmI=1 (TiS+1) /n j=1 (TjS+1) (2-26) 其中，Zi, - 系统的零点；Pj-系统极点 3. 关于传递函数的几点说明： 1）传递函数的概念只适应于线性定常系统。 2）传递函数只与系统本身的特性参数有关，与输入量怎样变化无关。 3）传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 传递函数分子多项式阶次低于至多等于分母多项式的阶次。 4. 传递函数求法：
图2-6 输入量Xr=u,输出量Xc=i。列回路电压方程: =Ri (2-27) dt Ep Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) (2-28) 经整理得:Xc=1R (2-29) Xr(s) TIs+I 其中T=二,RL一电路的时间常数 二、典型环节的传递函数及暂态特性 无论身漠阳的系统都是由各环节构成,知道了各典型环节的传递函数就不难 求出系统的传递函数,从而对系统进行分析。 1.比例环节(无惯性环节) 图2-7 1)传递函数Xc=kXr k一环节放大系数 两边取拉氏变换,得环节传递函数。 W(s- Xc(s) (2-30) Xr(s) 2)输入输出变化曲线
图 2-6 输入量 Xr=u ，输出量 Xc=i。列回路电压方程： u=Ri+L dt di （2—27） 即 Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28） 经整理得： ( ) ( ) Xr s Xc s = 1 1/ Tls + R （2—29） 其中 Tl= R L ,RL—电路的时间常数。 二、典型环节的传递函数及暂态特性 无论身漠阳的系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难 求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。 1. 比例环节（无惯性环节） 图 2-7 1）传递函数 Xc=kXr k—环节放大系数 两边取拉氏变换，得环节传递函数。 W(s)= ( ) ( ) Xr s Xc s =k (2-30) 2)输入输出变化曲线 R i u L Xr Xc
图2-8 3)方框图 (s) K 图 2.惯性环节 (1)传递函数:w(s)=Xe(s)X(s=K(IS+1) (2-31) 特点:只含一个储能元件。如RC电路(举例) 单位阶响应:XC(S=(K/S+1)S)=(KmD(S(S+1/m) (2-32) XCsFAo/S+A1/S+lT) Ao=(K/T/S/(S+l/T)s-0=K Al=(K/T(S+1/(s(S+1/S)s-I/T=-K 所以Xc(S)=KSK/S+1/D 拉氏变换得:XC(T=K(1-L) (2-33) (2)变化曲线(K=1) 2-10
图 2-8 3）方框图 图 2-9 2．惯性环节： （１）传递函数：ｗ（ｓ）＝Xc（s）/Xr(s)=K/(TS+1) ( 2—31) 特点：只含一个储能元件。如 RC 电路(举例) 单位阶响应：XC(S)=(K/TS+1)(!/S)=(K/T)/(S(S+1/T)) (2—32) XC(S)=A0/S+A1/(S+1/T) A0=(K/T)/(S/(S+1/T))|S=0=K A1=(K/T)(S+1/T)/(S(S+1/S))|S=1/T=-K 所以 XC(S)=K/S—K/(S+1/T) 拉氏变换得：XC(T)=K(1-L -T/L) (2—33) (2) 变化曲线（K=1） 图 2-10 0 t x0 K Xr(s) Xc(s) Xr Xc t 0
(3)方框图 XH(S) Xd(S) 图2-11 3.积分环节 图 (1)传递函数: 例:伺服机由直流电动机通过减速器与输出轴相连 输入量UR,输出量φε略去电磁惯性和机械惯性 u=KUgo‘=K2OG=KKU 又ω=d中c/dt= K,K2UR KK2比例常数 初始为零时拉氏变换:中c(S)=KK2(1/S)U(S)=(K/S)U(S) 所以传递函数W(S)=中c(S)/Uk(S)=K/S 当输入U为阶跃函数时,则输出Φc(T)=KTU2 (2)输入输出变化曲线 图2-13
(3) 方框图 图 2-11 3．积分环节 图 2-12 (1)传递函数： 例：伺服机由直流电动机通过减速器与输出轴相连。 输入量 UR ，输出量 φC.略去电磁惯性和机械惯性 ω=K1UR ω , =K2ω ω , =K1K2UR 又 ω , =dφc/dt=K1K2UR K1K2比例常数 初始为零时拉氏变换：φC(S)= K1K2(1/S)UR(S)=(K/S)UR(S) 所以 传递函数 W(S)=φC(S)/UR(S)=K/S 当输入 UR为阶跃函数时，则输出 φC(T)=KTUR (2) 输入输出变化曲线 图 2-13 ω‘ φc ω ur t Ur c 0 1 1 TS + Xr(S) XC(S)
(3)方框图 UR(S) K 图2-14 4.微分环节 UrS) Ucs) R (1)传递函数 Ur(SR/(R+1/SC)=Uc(S) W(S)=Uc(S)/Ur(S)=S/(1+TcS)(实用)(2-36) 其中Tc=RC 时间常数 若RC则(理想 (2)变化曲线 X(理想) 图2-15 (3)方框图 US) UrS) UCs) TCS 图2-16 图2-17
（3）方框图 图 2-14 4．微分环节 （1）传递函数 Ur(s)R/(R+1/SC)=Uc(S) W(S)=Uc(S)/Ur(S)= S/(1+TcS) （实用） （2-36） 其中 Tc=RC ---- 时间常数 若 RC 则 （理想） （2）变化曲线 图 2-15 （3）方框图 图 2-16 图 2-17 T S T S C C 1+ TCS Ur(S) UC(S) Xc(理想) Xr Xc(实际) S K c U (S) R(S) TCS Ur(S) UC(S) SC 1 Ur(S) UC(S) i R