第五章频率特性法 学习目的及要求 1、掌握频率特性的基本概念,频率特性与传递函数的关系 2、掌握频率特性的表达方法; 3、熟练掌握 Nyquist图和Bode图的一般绘制方法 4、熟练运用 Nyquist判据判断系统的稳定性 5、熟练运用Bode图分析系统性能 6、掌握闭环频率特性的概念 7、掌握频域中的性能指标; 8、掌握稳定裕度的概念。 本章内容提要: 本章介绍频率特性的基本概念,典型环节和系统的频率特 性,频率特性的几种表达方式,奈图和波特图的绘制, Nyquist稳定判据及系统的相对稳定 性,系统性能的频域分析方法 本章重点、难点: 1重点:频率特性的表达方法,基本概念, 频率特性的绘制 系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量 2难点:闭环频率特性的求法, 开环幅相频率特性图的画法, 频率特性和时间响应的关系 本章学习方法 联系传递函数,微分方程等数学模型,将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较,理解 和掌握古典控制系统的完整体系
第五章 频率特性法 学习目的及要求: 1 、掌握频率特性的基本概念，频率特性与传递函数的关系； 2 、掌握频率特性的表达方法； 3 、熟练掌握 Nyquist 图和 Bode 图的一般绘制方法； 4 、熟练运用 Nyquist 判据判断系统的稳定性； 5 、熟练运用 Bode 图分析系统性能； 6 、掌握闭环频率特性的概念； 7 、掌握频域中的性能指标； 8 、掌握稳定裕度的概念。 本章内容提要: 本章介绍频率特性的基本概念，典型环节和系统的频率特 性，频率特性的几种表达方式，奈图和波特图的绘制， Nyquist 稳定判据及系统的相对稳定 性，系统性能的频域分析方法。 本章重点、难点: 1 重点：频率特性的表达方法，基本概念， 频率特性的绘制 系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量 2 难点：闭环频率特性的求法， 开环幅相频率特性图的画法， 频率特性和时间响应的关系。 本章学习方法 联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解 和掌握古典控制系统的完整体系
§5-1频率特性的基本概念 本节重点:掌握频率特性的基本概念; 正确理解频率特性的物理意义、数学本质及定义 定义 在正弦输入信号作用下,环节或系统的输出稳态分量(或称频域响应)与正弦函数的复 数比,称为环节或系统的频域特性。 传递函数与频率特性的关系 用虚数“jω”代换环节或系统的传递函数中的复数“S”,所得到的表达式称为环 节或系统的频率特性。 ()=w(s)儿 引例: u,=uIm sm ot 24()=4n Rc 系统传递函数:22= 系统频率响应(稳态响应) lim u2(t) n( ot +o) 2(s)=-1 sn(on+∠ ∴l2(s)=L[u2(s)] I+JOr U.TO sin( at +o) 1+o2 式中q=-tgoz 以上分析表明:当电路的输入为正弦信号时,其输出的稳态响应结论:1.输入、输出正弦 函数也是一个正弦信号,频率和输出信号的频率相同,但幅值和相角发生了变化
§5-1 频率特性的基本概念 本节重点：掌握频率特性的基本概念； 正确理解频率特性的物理意义、数学本质及定义 一、 定义 在正弦输入信号作用下，环节或系统的输出稳态分量（或称频域响应）与正弦函数的复 数比，称为环节或系统的频域特性。 二、传递函数与频率特性的关系 用虚数 “jω” 代换环节或系统的传递函数中的复数 “S” ，所得到的表达式称为环 节或系统的频率特性。 三.引例： 系统频率响应（稳态响应） 以上分析表明：当电路的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应结论：1. 输入、输出正弦 函数也是一个正弦信号，频率和输出信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化。 w(s)|s jω w j = = ( ) R U 1 I1 U 2 1 1 ( ) ( ) ( ) sin 1 2 2 2 1 1 1 1 + = + = = u s s u s s u u s u u t m m 系统传递函数： = Rc ) 1 1 sin( 1 1 sin( ) 1 ( ) 1 2 2 1 lim 2 j t j U t U u t m m t + + + = + + = = 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 tg sin( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) − − − − + + + + = = + + = 式中 ＝ t U e U u s L u s s U s u s m t m m
2.A(o)和φ(ω)只与系统参数及输入正弦函数的频率有关, 对一般系统:输入x()=Xsm(or+g,) →∞时:输出y()=Ysm(am+o, Y 幅值比:A=,记A()幅频特性 相角差:q=-g,g()相频特性 本节小结介绍了频率特性的概念 是控制系统数学模型的另一种形式 §5-2频率特性表达方法 本节重点:掌握频率特性的表达方式及特点 幅相频率特性 、代数形式 w(o=P(@)+joo 2.指数形式 由v(jo)=A()e(m 3.幅相特性表示法 极坐标图形式 jQ(o) iQ(a) P(wi) ) (6) 图5-2幅相特性表示法 二、对数频率特性 (o)=A()e A()=√P2(o)+Q2( (O)=1g
2. A（ ω）和φ（ω）只与系统参数及输入正弦函数的频率有关， 本节小结 介绍了频率特性的概念 是控制系统数学模型的另一种形式 §5-2 频率特性表达方法 本节重点：掌握频率特性的表达方式及特点 一、幅相频率特性 1、代数形式 2. 指数形式 3.幅相特性表示法 极坐标图形式 二、对数频率特性 ( ) sin( ) ( ) sin( ) y x t y t Y t x t X t → = + = + 时：输出 对一般系统：输入 相角差： ＝ ， （ ）相频特性 幅值比： 记 幅频特性 y x A , A( ) − = X Y w( j) = P() + jQ() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ( ) P Q tg A P Q w j A e j − = = + = ( ) ( ) ( ) j 由w j = A e
由v(o)=A(O)e 两边取对数 20Igw(o)=201g A(@)+jp(a)201ge =20gA(O)+jp()×0.434 习惯上将0.434略去,只差一个常系数 20lgw(@)=201g A(@)+jo(o) 对数幅频特性绘在以10为底的半对数坐标中,幅值的对数值用分贝(dB)表示 L()=20gA(O) ACo Coy 10 加 L增加20dB 20 增加十倍 1001000a(1s 23loga(卜倍頻程 个十倍频程 图5-3对数坐标 小结:频率特性的表示方法,理解幅相频率特性图及BODE图的表达方式
对数幅频特性绘在以 10 为底的半对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示 小结 ：频率特性的表示方法，理解幅相频率特性图及 BODE 图的表达方式。 20lg ( ) 20lg ( ) ( ) 0.434 20lg ( ) ( ) 0.434 20lg ( ) 20lg ( ) ( )20lg ( ) ( ) ( ) w j A j A j w j A j e w j A e j = + = + = + = 习惯上将 略去，只差一个常系数 两边取对数 由 L() = 20lg A()
§5-3典型环节的频率特性 本节重点:熟记典型环节频率特性的解析式、曲线形状及特征点、特征量; 比例环节 传递函数 w(s) X(s) K 频率特性(o)=K I w(o)=P(o+jo(o=K+j0 2、w(o)=K∠0=p(o)e 3、乃图是一个点与o无关,q(o)=0, 输入与输出同相位。 Bode图 L(o)=20logw(jo)=20 log A(@)=20log K qp()=0° 对数幅频特性为平行于横轴的一条直线 相频特性ρ(ω)=0°,相当于横轴。 iQ(e)l (o)0 图5-4比例环节的幅相频率特性 图55比例环节的对数频率特性 二、惯性环节 传递函数
§5-3 典型环节的频率特性 本节重点：熟记典型环节频率特性的解析式、曲线形状及特征点、特征量； 一、比例环节 传递函数 二、惯性环节 传递函数: 相频特性 （ ）＝ ，相当于横轴。 对数幅频特性为平行于横轴的一条直线 、 图 输入与输出同相位。 、乃图是一个点与 无关， （ ）＝ ， 、 、 频率特性 = = = = = = = + = + = = = 0 ( ) 0 ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log 4 3 0 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L w j A K Bode w j K w j e w j P jQ K j w j K K X s X s w s j r c
1代数w(m)=P()+jQ(o)=1+T1+o27 2指数()= T ∠-18T=A(O)l 3.乃图 由0无穷大时,A)在极坐标上轨迹 A(o) P(o=-arctgoT iQ(o) P(a) P(o) 1/2 0{a-T1a=0 q() T b 图5-6惯性环节幅相频率特性 4.波特图Bode L(O=20 lg A(@)20 log 3+072=201+7 画图时,以O=(oT=1)为界,分段处理
3. 乃图 由0~无穷大时,A(ù)在极坐标上轨迹 4. 波特图 Bode 1 ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 1 1 2. ( ) 1 1 1 1. ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) j j t g T A e T e T w j T T j T w j P j Q j T w j Ts w s − = + = + = + − + = + = + = + = 指数 − 代数 arctg T T A = − + = ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( T 1) , . T 1 , 20lg 1 1 1 ( ) 20lg ( )20log 2 2 2 2 画图时 以 = = 为界 分段处理 = − + + = T T L A
L() 20dB/十倍频② (c) 图5-7惯性环节对数频率特性 积分环节 传递函数 (s) 代数式:w(o)=1=0-1 指数式:w(o) iQ(a)1 PCa 图5-8积分环节的幅相频率特性
三、积分环节 传递函数: 2 1 90 1 1 : ( ) 1 0 1 : ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) j e j w j j j w j j j w j s w s − = = − = = = − = = − = 指数式 代数式
L(o) 20 P(o)l 45 “中 90° 积分环节的对数频率特性 四、微分环节 (S)=S 代数式v(o)=jo=0+jo 指数式w(ja)=jo=o∠90° (a) d=0 图5-10理想微分环节的幅相频率特性
积分环节的对数频率特性 四、微分环节 = = = = + = = ( ) 90 ( ) 0 ( ) ( ) w j j w j j j w j j w s s 指数式 代数式
e0 d B g() 理想微分环节的副相频率特性 五、振荡环节(0<§<1) 72S2+25TS+1S2+25oS+o 时间常数 5-阻尼比 o-自然振荡角频率 w(o 1+1257-72o2N4(o)eo O=0,A(O)=1,q(O)=0° →∞,0,0()=-180° ,A() 2:,9(o)=-90° 幅频特性:A(O)= V(-72o2)+(2ao 相频特性:()=-ar(g(1=702) 1-c2T2 代数w/o)a-7)+42072-/(-072+407 O272)2+(2o2T) 1-2T
理想微分环节的副相频率特性 五、振荡环节(0<§<1) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) n n n T S TS S S w s + + = + + = T T 1 n n = − − − 自然振荡角频率 阻尼比 时间常数 ( ) 2 2 ( ) 1 2 1 ( ) j A e j T T w j = + − = ( ) ) 1 2 ( (1 ) (2 ) 1 ( ) (1 ) 4 2 (1 ) 4 1 : ( ) ) 1 2 : ( ) ( 1 (2 ) 1 : ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T T t g T T w j T T T j T T T w j T T arctg T T A − − − + = − + − − + − = − = − − + = − 代数 相频特性 幅频特性 → = = − → = − = = = , ( ) 90 2 1 , ( ) 1 ,0, ( ) 180 0, ( ) 1, ( ) 0 A T A
o)=0 P(o) 图5-14振荡环节的幅相频率特性 工(a) 2=b1 10 02 渐近线一 1.0 10 0,10,2 0。40。6081 z468边如 y(∞) 上=10 0.2 0.1 180 图5-15振荡环节对数频率特性