第四章根轨迹法 81反馈系统的根轨迹 1根轨迹的概念 开环系统某一参数从无穷变化时闭环系统特征方程 式的根在s平面内变化的轨迹称迹 root locus) 例.设有一单位反馈系统所示G(S) 2k S(S+2) 该系统的闭环传函为 R(S) C(s) C(s) 2k S(0.5+1) ①(s)=R(S) 2+2s+2k 系统的特征方程为 s2+2s+2k=0 两闭环极点为s1=1+√1-2k 2 √1-2k
第四章 根轨迹法 § 1 反馈系统的根轨迹 ( ) , 1. 式的根在S平面内变化的轨迹称根轨迹。root locus 开环系统某一参数从零到无穷变化时闭环系统特征方程 根轨迹的概念 R(s) C(s) S(0.5S+1) K s -1 - 1 - 2k :s -1 1 - 2k s 2s 2k 0 s 2s 2 2k ( ) ( ) (s) ( 2) 2 . ( ) 2 1 2 2 = = + + + = + + = = + = 两闭环极点为 系统的特征方程为 该系统的闭环传函为 例 设有一单位反馈系统如图所示 R s k C s s s k G S
下面分析参数从0到无穷变化对系统闭玮点分布的影响 k=0时s1=0s2=-2闭环极点与开环极点相司 01/2时 s12=-1±j2k-1,实部相同 位于垂直与实轴的直线上 k→>∞时沿上述直线趋于无穷远 K→∞ s,=1+√1-2k s2=-1-√1-2k 2 0
k . k 1/2 s -1 j 2k - 1, k 1/2 s -1 0 1 2 s , k 0 s 0 s 2 0 : 1,2 1 2 1 2 1 2 时 沿上述直线趋于无穷远 位于垂直与实轴的直线上 时 实部相同 时 时 均为负实数 时 闭环极点与开环极点相同 下面分析参数 从 到无穷变化对系统闭环极点分布的影响 → = = = = = = = −s k s k - 2 0 K → K → s -1 - 1 - 2k s -1 1 - 2k 21 == +
2根轨迹与系统性能 稳定性:根轨迹若越过虚轴进入右半平面与虚轴交点处的 k即为临界增益 稳态性能:根据坐标原点的根数确定系统的型别同时可以 确定对应的静态误差致数 动态性能:过阻尼00.5
k 0.5 k 0.5 : 0 k 0.5 : , , k : , 2. = 欠阻尼 临界阻尼 动态性能 过阻尼 确定对应的静态误差系数 稳态性能 根据坐标原点的根数确定系统的型别同时可以 即为临界增益 稳定性 根轨迹若越过虚轴进入右半平面 与虚轴交点处的 根轨迹与系统性能 s
3闭环零极点与开环零极点之间的关系 如图所示系统的闭环为R(s) C(s) G(S) Φ(S)= G(S 1+G(S)H(S) 一般开环传函可以写成 HO I(S-21) II( -Z) G(S)=K G H(S=K H I II(S-P) II(s-P i=1 II(S-ZDII(s-Z 则GS)H(S)=K i=1 (S-P)(S=P) =1 n=g+h m=f+I k=kk GH (S-Z;)(S-P1) Φ(S)=Kc l I(S-P1)+K∏(S-21) i=1 j=1
( ) ( ) ( ) ( ) (S) n q h m f l k k k ( ) ( ) ( ) ( ) G(S)H(S) K ( ) ( ) H(S) K ( ) ( ) G(S) K (S) 3. 1 1 1 1 G H 1 1 1 1 11 H 11 G 1 G(S)H(S) G(S) j mj i ni j hj i f i G j h j i qi j l j i f i j hj j l j i qi i f i S P K S Z S Z S P K S P S P S Z S Z S P S Z S P S Z − + − − − = = + = + = − − − − = − − = − − = = = = = = = = = = == == + 则 一般开环传函可以写成 如图所示系统的闭环传函 为 闭环零极点与开环零极点之间的关系 G(s) R(s) C(s) H(s)
结 (1)闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道轨迹 增益;对于单位反馈系统闭环系统根轨迹的增益就等于开 环系统根轨迹的增益 (2)闭环零点由开环前向邂传递函数的零点和通路 传函的极点所组成对于单位反馈系统闭环零点就是开环 零点 3)闭环极点与开环零点开环极点以及根轨迹增益均有关 根轨迹法的基本任务: 如何由已知的开环零橛的分布及根轨迹增益通过图解的 方法找出闭环极点
. , : (3) , ; , (2) . ; , (1) , : 方 法找出闭环极点 如何由已知的开环零极点的分布及根轨迹增益通过图解的 根 轨迹法的基本任务 闭环极点与开环零点开环极点以及根轨迹增益均有关 零 点 传函的极点所组成对于单位反馈系统闭环零点就是开环 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路 环 系统根轨迹的增益 增 益 对于单位反馈系统闭环系统根轨迹的增益就等于开 闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹 结 论
4根轨迹方程 根轨迹是所有闭环极虑的集合 1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)=-1 G(s)H(S) K(s-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) (S-p1)(s-P2)…(-Pn) G(s)H(s)=1 幅值条件 ∠G(s)H(s)=180+i360°(i=0,±1±2,…)相角条件 K|-x; G(SH(S= i=1 I1; I ∠Gs)Hs)=∑∠(s-z)∑∠(s-P)
= = = = = − − = = + = = − − − = + = = n 1 i m 1 i 1 m 1 1 2 1 2 m G(s)H(s) (s - z )- (s - p ) | | K | | | G(s)H(s) | G(s)H(s) 180 360 (i 0, 1, 2, ) | G(s)H(s) | 1 ( )( ) ( ) K(s - z )(s - z ) (s - z ) G(s)H(s) 1 (s)H(s) 0 G(s)H(s) -1 . 4. i i i n i i i n s p s z i s p s p s p G 相角条件 幅值条件 根轨迹是所有闭环极点的集合 根轨迹方程
§2绘制根轨迹的基本规则 180°根轨迹的绘制规则 1.根轨迹分支数 根轨迹的分支数等于脉不极点数或等于特征程的阶数 2.根轨迹的连续性与对称性生 根轨迹是连续的且对称实轴的曲线 3.根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点终止于开环零点或无远点 4.根轨迹的渐近线 ∑P-∑Z 渐近线与实轴的交点= n- 2+1 渐近线与实轴的交角qn=z(=0,1,…,n-m-1
§ 2 绘制根轨迹的基本规则 ( 0,1, , 1) 2 1 : : 4. , 3. 2. 1. .180 a 1 1 a = − − − + = − − = = = l n m n m l n m P Z n i m i i i 渐近线与实轴的交角 渐近线与实轴的交点 根轨迹的渐近线 根轨迹起始于开环极点终止于开环零点或无穷远 点 根轨迹的起点与终点 根轨迹是连续的且对称于实轴的曲线 根轨迹的连续性与对称性 根轨迹的分支数等于闭环极点数或等于特征方程的阶数 根轨迹分支数 一 根轨迹的绘制规则
例设控制系统的开环传函为 G(S) KS+1) S(S+4)(S2+2S+2) 试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据 解:1根轨迹起始于P1=0,P2=-4,P3=1+P4=-1-j 终止于Z,=-1和无穷远 (2)有四条根轨迹且对称轴 (3)n-m=3条根轨迹终止于无穷远其渐近线与实轴的交点为 。0+(-4)+(-1+j)+(-1--(-1)=-167 4-1 与实轴的交角为 ≈(21+12=60°(1=0) (2+1)丌 =3=180°(=1) 4-3-2-1 p=(1+Dx=兀=30(1=2)
: G(S) . ( 4)( 2 2) K(S 1 ) 2 解 试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据 例 设控制系统的开环传函为 + + + + = S S S S 300 ( 2) 180 ( 1) 60 ( 0) 1.67 4 1 0 ( 4) ( 1 ) ( 1 ) ( 1) (3)n - m 3 , (2) Z 1 (1) P 0, P -4, P -1 j, P -1 - j 3 (2 1) 5 a 3 (2 1) 3 a 3 (2 1) 1 a a 1 1 2 3 4 = = = = = = = = = = = = = − − + − + − + + − − − − = = = − = = = + = −+−+−+ ll l j j n m ln m ln m l 与实轴的交角为 条根轨迹终止于无穷远其渐近线与实轴的交点为 有四条根轨迹且对称于实 轴 终止于 和无穷远 根轨迹起始于 - 4 - 3 - 2 - 1
5实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域若其右边开环零极点数之和为奇数 则该区域必是根轨迹 6根轨迹与实轴的交点分离点与会合点 d I(S-P) 0 =0 ds Ii(S-zi ds i=1 S=a k 例已知某负反馈系统开瑞传函为G(S)H(S)= S(S+1)(S+2) 试画出其根轨迹 解 60° 180°,300 出[(+1)(S+2)川。=a=0 3a2+6a+2=0 a1=-0.423 2=-1577(舍)
0 ds dk 0 ds d 6. ( ) , 5. ( ) ( ) 1 1 = = = − − = = S S Z S P i m i i n i 根轨迹与实轴的交点分离点与会合点 则该区域必是根轨迹 实轴上的某一区域若其右边开环零极点个数之和为奇数 实轴上的根轨迹 0.423 1.577( ) 3 6 2 0 [ ( 1)( 2)] 0 : 1 60 , 180 , 300 . ( 1)( 2) . ( ) ( ) 1 2 2 ds d a a 舍 解 试画出其根轨迹 例已知某负反馈系统开环传函为 = − = − + + = + + = = − = + + = = s s s s S S S k G S H S
例已知某负反馈系统开瑞传函为G(S)H(S) S(S+1)(S+2) 试画出其根轨迹 解 qn=60,180°,300° 出[s(S+1)(S+2),=a=0 3a2+6a+2=0 a1=-0.423 1.577( 舍) XX> 2 米0
0.423 1.577( ) 3 6 2 0 [ ( 1)( 2)] 0 : 1 60 , 180 , 300 . ( 1)( 2) . ( ) ( ) 1 2 2 dsda a 舍 解 试画出其根轨迹 例已知某负反馈系统开环传函为 = − = − + + = + + = = − = + + = = s s s s S S S k G S H S - 2 - 1 0
