第五章线性系统的频域分析法 5-2频率特性 以如下R-C线性电路为例,说明线性系统或环节的 频率特性定义和频率特性表达式的求法 R 设输入电压1= A sin ot,由电工基础 C+中分析正弦电路的结论可知,稳态时 输出un仍为同频率的正弦电压,只是 幅值和初相位与4不同,l可表示为l=Asn(ot+g) 利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得: 1/jOC R+1 √m, C u 1+RCO I+iTa 上式表明,与之比是输入正弦电压的频率O的 函数,用G(o)表示,则:
第五章 线性系统的频域分析法 5-2 频率特性 以如下R-C线性电路为例, 说明线性系统或环节的 频率特性定义和频率特性表达式的求法. C R i u o u 设输入电压 u A t i = i sin , 由电工基础 中分析正弦电路的结论可知, 稳态时 输出 o u 仍为同频率的正弦电压, 只是 幅值和初相位与 ui 不同, o u 可表示为 sin( ) u0 = A o t + 利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得: u jRC jT u u R j C j C u i o o i + = + = + = 1 1 1 1 , 1/ 1/ 上式表明, o u 与 i u 之比是输入正弦电压 i u 的频率 的 函数, 用 G( j) 表示, 则:
G(o) 4, 1+10 由此可得频率特性定义如下:频率特性是指线性系统或 环节在正弦信号作用下,稳态输出与输入之比对频率的 关系特性 G(jO)是关于jc的复变函数,可用指数形式也称极坐标 形式表示,即G(O)=4(O)e(),式中 A()=(G(jo),对于上例的RC电路,A(O)=1/1+(To) 是关于O的实函数,称A(O)为RC电路的幅频特性,表示 稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随 O而变化的特性9()∠((m),对于上例的RC电路, q(O)=-g7o是关于的实函数称()为RC电路的 相频特性,表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦 信号的初相位之差随频率而变化的特性
环节在正弦信号作用下, 稳态输出与输入之比对频率的 关系特性. 由此可得频率特性定义如下: 频率特性是指线性系统或 u jT u G j i o + = = 1 1 ( ) G( j) 是关于 j 的复变函数, 可用指数形式也称极坐标 形式表示, 即 ( ) ( ) ( ) j G j = A e , 式中 A() = G( j) , 对于上例的R—C电路, 2 A() =1/ 1+ (T) 是关于 的实函数, 称 A() 为R—C电路的幅频特性, 表示 稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随 而变化的特性. () = G( j) , 对于上例的R—C电路, tg T 1 ( ) − = − 是关于 的实函数, 称 () 为R—C电路的 相频特性, 表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦 信号的初相位之差随频率而变化的特性
而G(o)这一表达式,既包含了稳态输出的正弦信号的幅 值与输入正弦信号的幅值比,也包含了稳态输出的正弦信 号与输入正弦信号的相位差,故称其为幅相频率特性表达 式.下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特 性表达式?先考察上例的R_C电路. R 用算子阻抗法可得此RC电路的传递 .函数为G(s) U,(s) 1+RCs 1+Ts 将上式与RC电路的频率特性表达式G(0)=1+m 相比较,即可知,对于RC电路G()=G(s) 上述结论具有一般性,可证明如下
而 G( j) 这一表达式, 既包含了稳态输出的正弦信号的幅 值与输入正弦信号的幅值比, 也包含了稳态输出的正弦信 号与输入正弦信号的相位差, 故称其为幅相频率特性表达 式. 下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特 性表达式? 先考察上例的R—C电路. C R i u o u 用算子阻抗法可得此R—C电路的传递 U s RCs T s U s G s i + = + = = 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 函数为 0 : 将上式与R—C电路的频率特性表达式 u jT u G j i o + = = 1 1 ( ) 相比较, 即可知, 对于R—C电路 s j G j G s = ( ) = ( ) 上述结论具有一般性, 可证明如下
设某一线性系统或环节的如下图所示: R(s)-[()C(s R 设r(t)= Rsin ot,R(s) s-+ C(s)=G(S)O(s) O(S) R(s) P(s)(S+P(s+p,).(S+P) 并设系统稳定,为讨论问题方便起见,设系统的所有极点 均为实数极点且各不相同,即一P1<0,=1,2,…,n,则有 C(s) O(s) R (S+n1)(S+P2)…(S+pn)s2+ b StO S-a c(t)=ae on +aero+bel c(t)=ae on +aelor
设某一线性系统或环节的如下图所示: 设 R(s) G(s) C(s) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin , ( ) 1 2 2 2 pn s p s p s Q s P s Q s G s R s C s s R r t R t R s + + + = = = + = = 并设系统稳定, 为讨论问题方便起见, 设系统的所有极点 均为实数极点且各不相同, 即− pi 0,i =1,2, ,n , 则有 j t j t s s n i p t i j t j t n i i i n c t a e a e be c t a e a e s p b s j a s j a s R s p s p s p Q s C s i = + + = + + + − + + = + + + + = − = − − = ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2
上式中:a=G(s) Ro RGGjo) RG(o) S+10 S+O Ro G( (s-jO REGo) s+a S=0 2 所以c(t) RGGo-jiot RG(o)iot e+ e 2 由于G()与G(j)为共轭复数,所以它们的模4(O) 相等而相角()相差一个负号,即 G(o=A(@)e9(), G(o)=A( ojo(o) 从而cn() R4(O) jo(o) R4() e p(o) iot+o(o) o-jot+p(o)] e RA(a RA(@)sin[ot+P(o)] sin lat +o(o
上式中: 所以 j R G j s j s R a G s j R G j j R G j s j s R a G s s j s j 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 − = + = = − − + = − + = = =− j t j t s s e j RG j e j RG j c t 2 ( ) 2 ( ) ( ) = − + − 由于 G( j) 与 G( j) 为共轭复数, 所以它们的模 A() 相等而相角 () 相差一个负号, 即 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) j j G j A e G j A e − = = 从而 sin ( ) ( )sin ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + − = = − + − + − − C t R A t j e e R A e e j R A e e j R A c t j t j t j j t j j t s s
对上式分析可知,输出的稳态分量c(t)仍为与输入r() 同频率的正弦信号,只幅值和初相位不同,均为频率的函 数,即:Dn=A()=G(jo) cn()的初相位-r(1)的初相位0(0)-0=/G(ja 结论:(1)系统的频率特性G()与传递函数和微分方程 对应,它从频率的角度描述系统的特性 (2)当系统或环节的输入信号是正弦信号时,其稳 态输出仍为与输入同频率的正弦信号. (3)此同频率的正弦输出信号的幅值与输入正弦信 号的幅值之比等于幅频特性A(O)=G(jm) (4)稳态同频率的正弦输出信号的初相角与输入正 弦信号的初相角之差为相频特性(m)=/G(o (5)由G()=G(s),在理论上可将频率特性的 概念推广到不稳定系统
对上式分析可知, 输出的稳态分量 c ss (t) 仍为与输入 r(t) 同频率的正弦信号, 只幅值和初相位不同, 均为频率的函 数, 即: A() G( j) R C = = c (t) ss 的初相位− r(t) 的初相位 () − 0 = G( j) 结论: (1) 系统的频率特性 G( j) 与传递函数和微分方程 一一对应, 它从频率的角度描述系统的特性. (2) 当系统或环节的输入信号是正弦信号时, 其稳 态输出仍为与输入同频率的正弦信号. (3) 此同频率的正弦输出信号的幅值与输入正弦信 号的幅值之比等于幅频特性 A() = G( j) (4) 稳态同频率的正弦输出信号的初相角与输入正 弦信号的初相角之差为相频特性 () = G( j) (5) 由 s j G j G s = ( ) = ( ) ,在理论上可将频率特性的 概念推广到不稳定系统
5-3典型环节和开环系统频率特性的极坐标图 G(o)是个复变函数,当O为某一确定值时,G(jo) 在复平面上相应地表示为一条确定的矢量,由G()在 确定的值下的幅值和相角值确定.当O取不同值时, G(jo)矢量的终端在复平面上画出的轨迹,叫极坐标图. O作为参变量,在复平面上并不出现.极坐标图也叫幅 相曲线图.以下仅介绍极坐标曲线的概略画法,即确定 G(jo)当取几个特殊值时幅值和相角值,然后根据 G(j)矢量随o值的变化而变化的趋势画出极坐标曲线的 大概形状.从理论上O∈(-∞,+∞)但由于G(jo)与G(-j) 互为共轭复数,其曲线在复平面上关于实轴成镜像对称, 因此极坐标曲线往往只画O∈[0,+∞)这一部分
5-3 典型环节和开环系统频率特性的极坐标图 G( j) 是个复变函数, 当 为某一确定值时, G( j) 在复平面上相应地表示为一条确定的矢量, 由 G( j) 在 确定的 值下的幅值和相角值确定. 当 取不同值时, G( j) 矢量的终端在复平面上画出的轨迹, 叫极坐标图. 作为参变量, 在复平面上并不出现. 极坐标图也叫幅 相曲线图. 以下仅介绍极坐标曲线的概略画法, 即确定 G( j) 当 取几个特殊值时幅值和相角值, 然后根据 G( j) 矢量随 值的变化而变化的趋势画出极坐标曲线的 大概形状. 从理论上 (−,+) 但由于 G( j) 与 G(− j) 互为共轭复数, 其曲线在复平面上关于实轴成镜像对称, 因此极坐标曲线往往只画 [0,+) 这一部分
典型环节的极坐标图 惯性环节 惯性环节的传递函数为G(s)=K/(TS+1) 其频率特性表达式为G(j)=K(/To+1) 则幅频特性表达式为A(O)=K/√(To)2+1 相频特性表达式为0(O)=-7 当O=0时A(O)=K,(O)=0 当=∞时A(∞)=0,(∞)=-/2 当=1/7时4(1/T)=K/√2,0(1/7)=-z/4 且由A(O)和()的表达式可见,随ω的增加,幅值 A(o)单调减小,而相角()向负角度方向增加,据此 可画出惯性环节的概略极坐标曲线如下图所示: ImG(o) ∞[G(jo) 曲线上箭头的方向表示随 45 k0=o)的增加,曲线上的点移 动的方向 K/√2,O=1/T
一﹑ 典型环节的极坐标图 1. 惯性环节 惯性环节的传递函数为 G(s) = K /(Ts +1) 其频率特性表达式为 G( j) = K /( jT +1) 则幅频特性表达式为 ( ) / ( ) 1 2 A = K T + 相频特性表达式为 tg T 1 ( ) − = − 当 = 0 时 A(0) = K,(0) = 0 当 = 时 A() = 0,() = − / 2 当 =1/T 时 A(1/T) = K / 2,(1/T) = − / 4 且由 A() 和 () 的表达式可见, 随 的增加, 幅值 A() 单调减小, 而相角 () 向负角度方向增加,据此 可画出惯性环节的概略极坐标曲线如下图所示: ImG( j) G( j) ReG( j) 0 K, = 0 = 曲线上箭头的方向表示随 的增加, 曲线上的点移 动的方向. K / 2, =1/T 45
由前图可见,随O的增大,A(o)→>0,即在低频范围内, 输入信号通过惯性环节后幅值衰减少,在高频范围内,幅 幅值衰减大,因此把惯性环节称为低通滤波器.当 O从0→>∞时q(o)从0→-x/2,即输出信号的初相位总 比输入信号的初相位滞后一个角度,而最大的滞后相角 为兀/2,故惯性环节也叫相位滞后环节. 2.积分环节 积分环节的传递函数为G(s)=l/7 其频率特性表达式为G(j)=1/To 则幅频特性表达式为A(O)=1/T 相频特性表达式为()=-n/2,O∈[0,∞] 其概略极坐标曲线如下图所示: ImG(o G(joI 可见,积分环节也是相位 ReG(o) O→∞,A(∞)→0,0(∞)=-/2 滞后环节,相位总是滞后 丌/2,且低通特性好,是 0→0.40)→80=-x/2一个低通滤波器
由前图可见, 随 的增大, A() →0, 即在低频范围内, 输入信号通过惯性环节后幅值衰减少,在高频范围内,幅 幅值衰减大, 因此把惯性环节称为低通滤波器. 当 从 0→ 时 () 从 0→− / 2 ,即输出信号的初相位总 比输入信号的初相位滞后一个角度, 而最大的滞后相角 为 / 2 , 故惯性环节也叫相位滞后环节. 2.积分环节 积分环节的传递函数为 G(s) =1/Ts 其频率特性表达式为 G( j) =1/ jT 则幅频特性表达式为 A() =1/T 相频特性表达式为 () − / 2, 0, 其概略极坐标曲线如下图所示: ImG( j) G( j) ReG( j) 0 →0, A(0) →,(0) = − / 2 →, A() →0,() = − / 2 可见, 积分环节也是相位 滞后环节, 相位总是滞后 / 2, 且低通特性好, 是 一个低通滤波器
3微分环节 微分环节的传递函数为G(s)=TS 其频率特性表达式为G(O)=jo 则幅频特性表达式为A(O)=T 相频特性表达式为()=x/2,O∈[o,o] 其概略极坐标曲线如下图所示: Img(o) G(oI 可见微分环节也叫相位超前环节, 0→,4()→)=z2相位总是超前x/2,且高通特性 好,是一个高通滤波器 O=0,4(0)=0,(0)=x/2 4.二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数为 G(s)=1/(T22+2s+1)=o2(s2+2o,s+o2) 其频率特性表达式为 G(o)=1/(o)2+n2o+]=o2/[jo)2+n25oo+o2]
3.微分环节 微分环节的传递函数为 G(s) = Ts 其频率特性表达式为 G( j) = jT 则幅频特性表达式为 A() =T 相频特性表达式为 () / 2, 0, 其概略极坐标曲线如下图所示: ImG( j) G( j) ReG( j) 0 = 0, A(0) = 0,(0) = / 2 →, A() →,() = / 2 可见,微分环节也叫相位超前环节, 相位总是超前 / 2, 且高通特性 好, 是一个高通滤波器. 4.二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数为 ( ) 1/( 2 1) /( 2 ) 2 2 2 2 2 n n n G s = T s + Ts + = s + s + 其频率特性表达式为 2 2 2 2 ( ) 1/ ( ) 2 1 n / ( ) 2 n n G j = jT + j T + = j + j +
