科学出版社：《自动控制理论》课程教材（第四版）教学资源（PPT讲课件稿）第五章 线性系统的频域分析法 5-4 典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图

5-4典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图 对数坐标图 极坐标图上的奈氏曲线,不能明显表示时间常数等 参数变化对系统性能的影响,当各典型环节串接时,幅频 特性是各典型环节幅频特性的乘积,给计算和作图带来不 便,这是两大缺点,为此引出工程上常用的对数坐标图 设系统的开环频率特性表达式为: KI(Tjo+1) Gogo)= (jo'TItjo+lijo)+25 Jo+1] k=1

5-4 典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图 一﹑ 对数坐标图 极坐标图上的奈氏曲线, 不能明显表示时间常数等 参数变化对系统性能的影响, 当各典型环节串接时, 幅频 特性是各典型环节幅频特性的乘积, 给计算和作图带来不 便, 这是两大缺点, 为此引出工程上常用的对数坐标图. 设系统的开环频率特性表达式为:     = = = + + + + = r k k k k u j j v m i i O j T j T j T j K j G j 1 2 1 1 ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( 1) ( )        

其幅频特性和相频特性表达式分别为: K ∏I√xo)2+ A()= m)∏I√o)+1√(-7o)+(25a) k=1 q()=∑gzO -∑gT-∑(,2,) 为把A(O)中各环节的乘除运算化为加减运算,对4(D) 两边取以10为底的常用对数,变成 log A(@)=logK+>logv(@)+1-logo ∑og(To)2+1-∑logV-72)2+(257) 上式称为对数幅频特性表达式,单位为贝尔

其幅频特性和相频特性表达式分别为: 为把    = = = + − + + = r k k k k u j j m i i v T T T K A 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 1 (1 ) (2 ) ( ) 1 ( )           − =  −  − − = = − − = − u j r k k k k j m i i T T tg v tg T tg 1 1 2 2 1 1 1 1 ) 1 2 ( 2 ( )          A() 中各环节的乘除运算化为加减运算, 对 A() 两边取以10为底的常用对数, 变成:    = = = − + − − + = + + − r k k k k u j j v m i i T T T A K 1 2 2 2 2 1 2 1 2 log ( ) 1 log (1 ) (2 ) log ( ) log log ( ) 1 log         上式称为对数幅频特性表达式, 单位为贝尔

但贝尔的单位太大,所以取分贝为单位,一个贝尔等于 20分贝,则上式就为: L(o)=20log A(@)=20logK+220log(I@)2+1-20logo ∑20log√0)+1-∑20og√(-72o)+(25x) 上式的单位为分贝,用db表示,由于q()已为加减运 算,就不再取对数.一个对数坐标图分两部分,一部分 是以L(O)为纵轴,单位为db,线性刻度,以O为横轴, 对数刻度,构成对数幅频特性图另一部分以(m0)为 纵轴,单位为度或弧度,线性刻度,以为横轴,也以对 对数刻度,构成对数相频特性图,而这两部分就构成对数 坐标图,也叫伯德(Bode)图

但贝尔的单位太大, 所以取分贝为单位, 一个贝尔等于 20分贝, 则上式就为:    = = = − + − − + = = + + − r k k k k u j j v m i i T T T L A K 1 2 2 2 2 1 2 1 2 20log ( ) 1 20log (1 ) (2 ) ( ) 20log ( ) 20log 20log ( ) 1 20log          上式的单位为分贝, 用db表示. 由于 () 已为加减运 算, 就不再取对数. 一个对数坐标图分两部分, 一部分 是以 L() 为纵轴, 单位为db, 线性刻度, 以  为横轴, 对数刻度, 构成对数幅频特性图. 另一部分以 () 为 纵轴, 单位为度或弧度, 线性刻度, 以  为横轴, 也以对 对数刻度, 构成对数相频特性图, 而这两部分就构成对数 坐标图, 也叫伯德 (Bode)图

以对数刻度的横轴的画法请见教材P174图56及表5-1 O横轴虽以对数刻度,但横轴上仍标以对ω取以10为底 的对数前的值.将O值以对数刻度的好处在于,能把 个较宽频率范围的图形较紧凑地表示在一张尺寸适当 的图纸上,其次,对数刻度后,把O的低频段图线适当 展开,使频率特性低频段的变化情况表示的更清楚.而频 率特性低、中频段变化情况反映了系统输出时域响应曲线 的稳态部分和过渡部分,而工程上对这两部分比较感兴趣. 典型环节的伯德图 1.比例环节 G(S)=k,G(jo)=k,L()=20lgK,q()=0 其伯德图如下所示: L(tdb P(@tdeg 20logK(K> 20 logK(K<D)

以对数刻度的  横轴的画法请见教材P.174图5-6及表5-1.  横轴虽以对数刻度, 但横轴上仍标以对  取以10为底 的对数前的  值. 将  值以对数刻度的好处在于, 能把 一个较宽频率范围的图形较紧凑地表示在一张尺寸适当 的图纸上, 其次, 对数刻度后, 把  的低频段图线适当 展开, 使频率特性低频段的变化情况表示的更清楚. 而频 率特性低﹑中频段变化情况反映了系统输出时域响应曲线 的稳态部分和过渡部分, 而工程上对这两部分比较感兴趣. 二﹑典型环节的伯德图 1. 比例环节 G(s) = K, G( j) = K, L() = 20logK,() = 0 其伯德图如下所示:  L() db 0 20logK(K 1)  () deg  0 20logK(K 1)

2.惯性环节 LS Ts+l G(o) To41,I(0)=-20log√To2+1,0()=-To 惯性环节对数幅频曲线的近似画法: a)当T>1即>1/7,则 10-L()≈-20 log Ta,此式表明 当O增大到原来的10倍时,L(OD) -20 " 20ib/de减少20分贝,即 L(107)=-20log107c=-20log1-20n 因此,L(O)是一条斜率为-20db/dec的直线,如上图所示 c)当To=即=1/T,则L(O)≈-20 log Ta=0

2. 惯性环节 惯性环节对数幅频曲线的近似画法:        L T tg T jT G j T s G s 2 2 1 , ( ) 20log 1, ( ) 1 1 , ( ) 1 1 ( ) − = − + = − + = + = a) 当 T 1 即  1/T , 则 L()  −20log1= 0 为一条通过零分贝点的水平直线, 如下图,  L() db 0  =1/T b)当 T 1 即  1/T , 则 L()  −20logT , 此式表明 当  增大到原来的10倍时, L() 减少20分贝, 即 L T T T n n n (10 ) = −20log10  = −20log  − 20 因此, L() 是一条斜率为− 20db/ dec 的直线, 如上图所示 1 10 − 20 − 20db/ dec c)当 T =1 即  =1/T , 则 L()  −20logT = 0

由上面分析可知,在0<0<1/7范围内(O)是一条通过零 分贝点的斜率为0b/dec的水平直线,在17<o<范围内, ()db=1/TL(o)是一条斜率为-20b/lec.直 Odb/dec o线,这两条直线在O=17处相交 称O=/为惯性环节的转折频率 20bde当时间常数T发生变化时,曲线形 状不变,只是作水平的左右移动 由两条直线组成的折线代替L(o)的精确曲线必有误差, 设误差为M(o),折线用L()表示,且△L(O)=l(o)-L(o) 由计算可得最大误差发生在O=1/7,约为-3b,见下图 L() db,illa两条直线分别是精确曲线当a→0 误差曲线请见教材P181图5-16 3db… 和→∞时的渐近线.工程上将 精确曲线形状制成模板以方便作图

由上面分析可知, 在 0  1/T 范围内, L() 是一条通过零 分贝点的斜率为 0db/ dec 的水平直线,  L() db 0  =1/T 0db/ dec 在 1/T    范围内, L() 是一条斜率为− 20db/ dec 的直 线, 这两条直线在  =1/T 处相交. − 20db/ dec 称  =1/T 为惯性环节的转折频率. 当时间常数T发生变化时, 曲线形 状不变, 只是作水平的左右移动. 由两条直线组成的折线代替 L() 的精确曲线必有误差, 设误差为 L() ,折线用 () L a 表示, 且 () () () L = L − L a 由计算可得最大误差发生在  =1/T , 约为 − 3db , 见下图.  L() db 0  =1/T − 3db 误差曲线请见教材P.181图5-16. 两条直线分别是精确曲线当  →0 和  → 时的渐近线. 工程上将 精确曲线形状制成模板以方便作图

惯性环节对数相频曲线的近似画法: 因o(0)=0°,0(1/)=-45°,0(∞)=-90°,0()的近似曲线可由下 图所示的三段直线组成的折线表示叭()的精确曲线如图 P(ofdeg 中绿线所示,对转折频 =01/o=1/=10/率=1T斜对称 45 90° 3.一阶微分环节 G(s)=Ts+1, G(jo)=jTo+1,L(O)=20log VTo+l,(o)=tg Ta 其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线如下图所示 L(ot db P(otdeg Odb/dec .20lb/de90 O三 45 :O=1/T -20db/dec 45-… 90°…

惯性环节对数相频曲线的近似画法: 因 (0) 0 ,(1/ ) 45 ,( ) 90 ,()    = T = −  = − 的近似曲线可由下 图所示的三段直线组成的折线表示.  () deg  0  − 45 −90  = 0.1/T  =1/T  =10/T () 的精确曲线如图 中绿线所示, 对转折频 率  =1/T 斜对称. 3. 一阶微分环节 G s Ts G j jT L  T    tg T 2 2 1 ( ) 1, ( ) 1, ( ) 20log 1, ( ) − = + = + = + =  L() db 0 其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线如下图所示. − 20db/ dec  =1/T 20db/ dec 0db/ dec  () deg  0  − 45 −90 45 90  =1/T

4.积分环节 G(s)=1/7S,G(0)=1jo,L()=-20 log Ta,0()=-90 其对数幅频特性曲线如下图所示.通过纵轴上的0分贝 L()d20b/dec点的水平线叫0分贝线,由于 通 的0分 d∠0=1VD轴也叫0分贝线积分坏节穿 越0分贝线的频率=1/T叫穿 20dbde越频率曲线在o∈[∞)范围内 是一条斜率为-20b/lec的直线.若有n个积分环节串 接,即其传递函数为G(s)=1/(73),则其对数幅频特性曲 线为一条斜率为-20ndb/dec的直线积分环节的相频特 性曲线如下图所示,是一条与频率无关的90度水平线 P(of deg 5微分环节 G(s)=Ts,G(o)=,L()=20log7o,(o)=90 O其对数幅频特性曲线见上图蓝线 其对数相频特性曲线见左图蓝线

4. 积分环节 其对数幅频特性曲线如下图所示.  G(s) =1/Ts, G( j) =1/ jT, L() = −20logT,() = −90  L() db 0 − 20db/ dec  =1/T  通过纵轴上的0分贝 点的水平线叫0分贝线, 由于 轴通过纵轴上的0分贝点, 故  轴也叫0分贝线.积分环节穿 越0分贝线的频率  =1/T 叫穿 越频率. 曲线在  0,) 范围内 是一条斜率为− 20db/ dec 的直线. 若有n个积分环节串 接, 即其传递函数为 n G(s) =1/(Ts) ,则其对数幅频特性曲 线为一条斜率为 − 20ndb/ dec 的直线.积分环节的相频特 性曲线如下图所示,  () deg  0  −90 90 是一条与频率无关的-90度水平线. 5. 微分环节  G(s) =Ts, G( j) = jT, L() = 20logT,() = 90 其对数幅频特性曲线见上图蓝线. 20db/ dec 其对数相频特性曲线见左图蓝线

6.二阶振荡环节 G(s)=1/(T2s2+2Ts+1)=o2(s2+25o.+o2) G()=1/o)2+j2o+]=1/o/o,)2+j25o/on+1] 25 A(O)=1/1(1-2)2+(25 O、2 q()=-g L()=-20log,/(1② )2+(2) 二阶振荡环节对数幅频曲线的近似画法: 当/mn<1,即O<On时,(O)≈-20log1=0,为一条 通过零分贝点的 L(o)tdb=o 水平直线,如右图

6. 二阶振荡环节 二阶振荡环节对数幅频曲线的近似画法: ( ) 1/( 2 1) /( 2 ) 2 2 2 2 2 n n n G s = T s + Ts + = s +  s + ( ) 1/( ) 2 1 1/( / ) 2 / 1 2 2 G j = jT + j T + = j  n + j   n + 2 2 2 2 ( ) 1/ (1 ) (2 ) n n A       = − + 2 2 1 1 2 ( ) n n tg        − = − − 2 2 2 2 ( ) 20log (1 ) (2 ) n n L       = − − + a)当 / 1   n , 即   n 时, L()  −20log1= 0 ,为一条 通过零分贝点的 水平直线, 如右图,  L() db 0  = n

条斜率为-40db/dlec的直线,如下图所示,两条B学 b)当0/0,>>1,即>>时,(o)≈-=20log(O/ go L(o)dbo=0,在0=0,=1T处相交,O,为转折 010 频率.由两条直线组成的折线是 阶振荡环节对数幅频的近似曲 40}-…… 线,与5值无关.但由L(O)的表 -40db/dec 达式可知,二阶振荡环节对数幅频的精确曲线与5值有关 当0<5<1时,二阶振荡环节对数幅频精确曲线有一簇,请 见教材P.180图5-13.精确曲线与近似曲线的误差曲线请见 教材P182图5-17.二阶振荡环节相频表达式为: C当0≤o≤On时,-90°≤0(0)≤0,当 0()=-g1-2O<0<∞时,由于 20(o)=[180-g(25o/o)(o3/ 所以-180≤0(0)<-90

b)当  / n 1 ,即   n 时, L    n   n ( ) 20log( / ) 40log / 2  − = − 一条斜率为− 40db/ dec 的直线, 如下图所示,  L() db 0  = n 1 10 − 40 − 40db/ dec 两条直线 在  = n =1/T 处相交,  n 为转折 频率. 由两条直线组成的折线是 二阶振荡环节对数幅频的近似曲 线, 与  值无关. 但由 L() 的表 达式可知, 二阶振荡环节对数幅频的精确曲线与  值有关 当 0  1 时, 二阶振荡环节对数幅频精确曲线有一簇, 请 见教材P.180图5-13. 精确曲线与近似曲线的误差曲线请见 教材P.182图5-17. 二阶振荡环节相频表达式为: 2 2 1 1 2 ( ) n n tg        − = − − 当   n 0 时,   −90 ()  0 , 当  n    时, 由于 ( ) 180 (2 / )/( / 1) 1 2 2 = − − − − n n   tg      所以   −180 ()  −90