《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性系统的频域分析

第盈章线性系鏡的频减分析 §1频率响应及其描述 频率特性 R 1频率特性的基本概念 aRC网络 U C 右图所示的RC网络的微分方程为 dt +Uo=u 式中T=RC U(S)=1s+1 设U.=Asmo则 Ao Uo(S) TS+IS+0 +Is+jo s-ja 1 Ao(s+J Ts+I s+0 21-j1o2√1+722e-mcg A A d Ts+1 s+0 (-/o)s=0-2j1+f1o2/1+7o2et jaret To

第五章 线性系统的频域分析 §1 频率响应及其描述 1 1 2 1 2j 1 1 ( ) 1 s 1 d 1 1 2 1 2j 1 1 ( ) - 1 s 1 d s- j d s j d 1 s 1 1 U (S) U Asin t T RC T U U RC 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 2 2 i TS 1 1 U (S) U (S) d t 0 i d U i 0 0                    jarctgT s j jarctgT s j j T j T e A s j A Ts j T j T e A s j A Ts Ts A a Ts + = + − =  +  + = + = − − + =  +  + = + + + + = +  + = = = = + = = − =− + 设 则 式中 右图所示的 网络的微分方程为 R UI C U0 一．频率特性 a.RC网络 1.频率特性的基本概念

2 ao AoT a 2(7S+1) TS+1 S+0 s1+72 t Uo(t=eT+d e o+,el lim U(t=d,e jot +d,elor t→o0 △sn(o- arcola 1+Ta2 这里应用欧拉公式sm=° 2

2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 s 1 a 1     T A T Ts a Ts T s + + = +  + = =− j e t arctgT U t d e d e e d e d e j j t j t j t j t T t 2 e sin sin( ) lim ( ) U (t) j 1 T A 0 1 2 t T 1 2 a 0 2 2           − + − → − − − = = − = + = + + 这里应用欧拉公式

说明 1.网络的稳态输出仍是币玄电压其频率与输入电压相同 幅值是输入电压的(幅频特性,相角比输入电压 滞后- arettA(相频特性 2. Ie jaretgar e +正Ta)- V1+T-O I+iTa I+iaT 它描述了网络在正弦输入作用下稳态输出时电压幅值 和相角随正弦输入电厦率a变化的规律称为网络的频 率特性 3 1 1+ioT TS+1S=ja

          TS 1 S j 1 1 j T 1 1 j T 1 j 1 jT -jarctg T 1 1 T 1 1 1 3. . , , 2. e e - arctgT ( ). ( ), 1. , , : (1 jT ) 1 2 2 2 2 + + = +  + + + = = = + 率特性 和相角随正弦输入电压频 率 变化的规律 称为网络的 频 它描述了网络在正弦输入作用下 稳态输出时电压幅值 滞 后 相频特性 幅值是输入电压的 幅频特性 相角比输入电压 网络的稳态输出仍是正弦电压 其频率与输入电压相同 说 明 T

b.一般系统 Y(s) G(s) X(S) B(S) B(S) G(s)= A(S)(S-S(s-S2).(S-Smn) Y(S B(s) (s-s1)(s-S2)…(s-Sn) X(s) Co X(t=xsinatX(s) 5-+ B(S co Y(S)= (S-S(s-52)-(s-Sn)(s+jo(s-jo) C y(t=d,e- jot +d,e +cest+s M I=Sn STO S S一 对于稳定系统由于极点S1,S2,…,S都有负实部 所以当 时 ys(t)=de +d,!

y ( ) , , , , , y(t) d e d e c e c e ( )( ) ( ) (s j )(s - j ) ( ) Y(S) X(t) xsin t X(s) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Y(s) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G(s) ( ) ( ) G(s) . s s 1 2 1 2 s t n s t 1 j t 2 -j t 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 n j t j t n n n n n n t d e d e t S S S s s c s s c s j d s j d x s s s s s s B s s x X s s s s s s s B s s s s s s s B s A s B s X s Y s b             = + →  = + + + − + + − + − + + = − − − + = + = = − − − = − − − = = = − 所以当 时 对于稳定系统由于极点 都有负实部 一般系统      

di=g(s) X0,(+1os=s、G(ia)x + XO d2=G()-22(s-jo) GGo)X S=jo S+O 2j GGo)=GGo)leip p=∠G(ja) G(jo)=G(io)le j9 p=∠G(jo) IGGo=(jo) GGo)eX X y(t) GOne e e NG(o)lke/(ort) j(0+p) yss(t=Ysi(ot 3 0)

| G(j ) | | G(-j ) | G(-j ) | G(-j ) | e - G(-j ) G(j ) | G(j ) | e G(j ) 2j G(j )X (s - j ) s X d G(s) 2j G(-j )X (s j ) - s X d G(s) -j j 2 2 2 S j 1 2 2 S -j                       = = =  = =  = + = + = + = = = y (t) Ysin( t ) 2 | G(j ) | 2 | G(j ) | e 2 | G(j ) | e y (t) - s s ( ) ( ) -j j s s              = + − = = + + − + − j e e X e j X e j X j t j t j t j t

说明: 1在稳态求出的输出信号输入信号的幅值比是的非 线性函数称为幅频特性YX=Go) 2输出信号与输入信号的泪位差是的非线性函数称 为相频特性它描述在稳态情况古当系统输入不同频率 的谐波信号时其相位产生超前φ>0或滞后<0的 特性 3幅频特性和相频特性总称为频率特性记为 GGo)=G(o)ego 4频率特性的求取Go)=G(s)- 结论:频率特性和传递函数以微分方程一样也 表征了系统的运动规律这就是频率响应能 够从频率特性出发研统的理论依据

, : , 4. G(j ) G(s) G(j ) G(j ) e 3. , . , ( 0) ( 0) . , 2. , , Y/X | G(j ) | 1. : s j j G(j ) 够从频率特性出发研究系统的理论依据。 表征了系统的运动规律这就是频率响应能 结 论 频率特性和传递函数以及微分方程一样也 频率特性的求取 幅频特性和相频特性总称为频率特性记 为 特 性 的谐波信号时其相位产生超前 或滞后 的 为相频特性它描述在稳态情况下当系统输入不同频率 输出信号与输入信号的相位差 是 的非线性函数 称 线性函数 称为幅频特性 在稳态求出的输出信号与输入信号的幅值比是 的 非 说 明            =  = =   =

微分方程 S=p 传递函数 系统 JO=p s=0 频率特性

微分方程 频率特性 传递函数 系统 j = p s = j s = p

§2典型背的频阜响 一控制系统中常见的典鉀节 G(s) K(b sm+bms +.+b,s+ a_sn+a.,sn1+…+a,s+1 h 5(n-1-h) (m-7) =K∏ S i=ITs+1 Ts2+25T+1 (xs+1)(xS+25xS+ 二极坐标图 GGo)=RelGgo)+ ImGGo=U(o)+Vo 当=O1时,(G1)可以用一矢量及其端越标来表示 G(o1)=U(1)+jv(a1) 则|GiO)|=√Uo1)2+(o1) V(o1) m ∠G(O)= actg U(O1) 极坐标图:当从0>∞时,((O)端点的轨迹 Re 即为频率特性的极坐棡或称 Nyquist图,它不仅 表分了实频特性和虛劳性而且也表示幅频特 性和相频特性

§2 典型环节的频率响应 . , , Nyquist , : 0 ,G(j ) ( ) V( ) G(j ) arctg | G(j ) | U( ) ( ) G(j ) U(j ) jV( ) ,G(j ) G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )] U( ) jV( ) . ( 1) ( 2 1) 2 1 1 1 1 s 1 K a s a s a s 1 K(b s b s b s 1) G(s) . 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 1 2 2 ( ) 1 1 v 1 n-1 n-1 n n 1 m-1 m-1 m m 2 1 2 1 性和相频特性 表示了实频特性和虚频特 性 而且也表示幅频特 即为频率特性的极坐标图 或 称 图 它不仅 极坐标图 当 从 时 端点的轨迹 则 当 时 可以用一矢量及其端点坐标来表示 二 极坐标图 一 控制系统中常见的典型环 节                         →   = = + = + = = + = +   +  + + + +  + =  + + + + + + + + = − = = − − = = U V s S S T s T s T s i i i m l j j l j i i i n v h i i h i   Im  =   = 0  =1 Re

三典型环节的极坐标图频率响应 1比例环节 Im G(s)=K GGo)=K GOoK k Re ∠G()=0 m 2积分环节 G(s)=↓G(a)=1 0 R e lG(j)|=∠G(i)=-90° =0|G()=∞∠G(jm)=-90 O=0|Gfo)=0∠G(j)=-90° 3微分环节 O G(s=s GGo)=jo Go)|=a∠Gfj)=90 O=0

( ) | G(j ) | G(j ) 90 G(s) G(j ) 3. | G(j ) | 0 G(j ) 90 0 | G(j ) | G(j ) -90 | G(j ) | G(j ) -90 G(s) G(j ) 2. G(j ) 0 | G(j ) | K G s G(j ) K 1. . 1 j 1 s 1      =  = = = =  =  = − = =   = =  = = =  = = = =                    s j K 微分环节 积分环节 比例环节 三 典型环节的极坐标图及频率响应 0 Re Im  =     = 0 K Re Im

tlm 4惯性环节 G(S)=T+ GGo)=o+1=A() Re G(a)元∠G)= arettA 0=l O=0|G(io)=K∠G()=0 O=}|Go)=2K=0.707K∠G(io)=-45 =00|G()=0∠G(m)=-90 U)=R2w28号)2+如(匀)2 V(o=ImIGGo)=klor (U-2)+V2=(1+F K2T 当0<a<∞时为下半圆∵∠G(ia)与Vo)恒为负 5.一阶微分环节 G(S)=TS+1 Ggo)=1+jaT In U(o)=l V(o)=Ta Q0→0V()0→∞ R

0 V( ) 0 U( ) 1 V( ) T G(S) TS 1 G(j ) 1 j T 5. 0 G(j ) V( ) (U - ) V ( - ) ( ) U( ) Re[(j )] V( ) Im[G(j )] | G(j ) | 0 G(j ) 90 | G(j ) | 0.707 G(j ) 45 0 | G(j ) | G(j ) 0 | G(j ) | G(j ) -arctgT G(S) G(j ) 4. 2 2 K (1 ) 2 K T 2 K 1 T 2 2 K 2 K 1 -KT 1 T K 2 1 2 1 T K 1 (1 ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 →  →  = = = + = +     + = + = = = = = =  =  = − = = =  = − = =  = =  = = = = + + + + + + − + +                                      一阶微分环节 当 时为下半圆 与 恒为负 惯性环节    T T T T K j T j T K TS K K K K Im Re 0 T 1  =  Im Re  → 