目录 第一章状态方程 ……………………………1 第一节基本概念……1 第二节化高阶微分方程为状态方程 第三节由传递函数求状态方程 "甲F:p4.甲甲q甲pp甲上甲,甲,曲由甲 16 第四节由状态方程求传递函数…………………………:30 第五节状态变量图 36 第六节离散系统的状态方程 4·1甲1,非4.p.141.甲4非甲●非41曲+14面 第七节多输入多输出系统的状态方程 习题 49 第二章转移矩阵… Pp4..t甲i.d..#.甲甲‘p 甲,,4,d,甲 第一节线性定常齐次状态方程的解…………g………:51 第二节矩阵指数………………1160 第三节非齐次状态方程的解 96 第四节状态转移矩阵… 第五节线性时变系统状态方程的解 106 第六节线性离散系统状态方程的解 …1 习题………………………………………29 箄三章能控性与能观测性……………………133 第一节线性代数方程组 ………33 第二节线性定常离散系统的能控性…… ……………4 第三节线性定常连续系统的能控性 155 第四节线性定常系统的能观测性:…………163 第五节能控性条件与能观测性条件的另一形式:::7 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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第六节能控性、能观测性与传递函数的关系…………………184 第七节对偶原理………………………………………19 第八节能控标准形与能观测标准形 ……197 习题………………………………………205 筧四章变分法与最优控制………20 第…节引沦 第二节变分法中的三类问题 ,,+d,,,寺,“,,.甲P, …213 第三节泛函的变分………… …∷216 第四节欧拉方程 2:6 第五节含多个未知函数的泛函…………………………24 第六节条件极值的变分问题……………………………24 第七节应用举例 习题 1中中4 P PIDD4a111d4p4;t …272 第五章最大值原理 q中·p学d·...甲··省中d"一中看p·中中与p是ppy1 275 第一节一个例子……………………………………………276 第二节最大值原理………………………………………………283 第三节状态变量右端受限的憤况…… 305 第四节终时刻不固定的情况………18 第五节最大值原理与古典变分法 习题…13 第六章动态规划………………………………………33 第一节概述…………………………………………33 第二节.离散动态规划……11 第三节逵续动态规划 甲矿·非 350 第四节变分方法、最大值原理与动态规划…………365 习题…7 第七章线性最优控制系统 376 第一节二次型性能指标的最优控制问题……………………378 第二节最蘧控制涿统 399 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第三节燃料控制系统…………………………………24 习题 ……………………"133 第八章基本估计理论………………………………4 第一节最小二乘估计……………………………………437 第二节线性最小方差估计 甲,.、平,4,p+、 ……………“47 第二节最小方差估计………………………………455 第四节推最小二乘估计 ………461 习题…………67 算九章卡尔曼滤波………… 、,..,?中甲由由 472 第一节准备知识 …………………472 第二节离散系统卡尔曼滤波…………………………48 第三节几个例子……………… 489 第四节一般线性离散系统的滤波 甲 第五节连续系统的卡尔曼滤波…501 习题 +,p甲‘·,+1.:甲甲pp4甲+甲,b4a 518 附录一矩阵微分法………………………………………522 第一节相对于数量变量的微分法…… ·.;ds·斗.4.甲.甲甲pq 522 第二节相对于向量的徹分法 525 第三节相对于矩阵的微分法 ……………538 第四节复合函数微分法…………………………546 习题 ·.F,·"·,"F,,,d,,F+.,;.+.+,!." PPPPE中 雨录二矩阵恒等式 习害案…… ……56 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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第一章状态方程 第一节基本概念 在六十年代以前,研究自动控制系统的传统方法主要是使 用传递函数,研究对象主要是单输入单输出的定常系统。这样 建立起来的理论就是现在所谓的古典控制理论,随着宇航技术 和生产的发展,以及电子计算机的出现,控制系统日渐复杂, 而传统的研究方法也就愈难适应形势发展的需要。因此,从五 十年代后期开始,贝尔曼( Bellman)等人提议使用状态变量 法。时至今日,这种方法已经成为现代控制理论的基础 状态变量法究其实质无非是将系绕的运动方程写成一阶微 分方程组的方法,在力学和电工上早已使用,并非什么新方 法,但用来研究控制系统时它具有如下的优点 (1)适用于多输入多輪出、时变、非线性、随机、采样 等各式各样的系统; (2)可以将一阶微分方程组写成向量矩阵方糙,因而简 化数学符号,方便运算; (3)在对控制系统进行分析时可以把系统的初始条件包 括进去; (4)有助于采用现代化的控制方法 上述优点使状态变量法在现代控制理论中获得广泛的应 用。下面我们就来给出有关这方面概念的定义 状态系统的状态就是指系统过去、现在和将来的状况, 设想有一个质点作直线运动,这个系统的状况就是它每一 时刻的位置和速度 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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状态变量系统的状态变量是确定系统状态的最小一组变 量:x1()、x2(1)…、x,(t),满足下列两个条件: (1)在任何时刻=,这组状态变量的值,∷()、 x2(4)…、x,()都表示系统在该时刻的状态; (2)当系统在扌≥右的输入和上述初始状态确定的时 候,状态变量应完全能表征系统在将来的行为 例如,一质点在外力作用下作直线运动,要描述该质点的 全过程运动状况,只需知道质点的位置函数S(t)就够了,但 是,要想说明质点在某一时刻的状态,只知道质点在该时刻的 位置$()就不够了,还必须知道质点在该时刻的速度.因为 位置相同,速度不同,代表的运动状况不一样.这时,所论系统 的状态就是指质点的位置和速度。在任一时刻右的状态就是指 时刻的位置和速度。所论的状态变量就是质总的位置函数 S()和速度函数(f),需要指出,选择不同的坐标,位置函 数和速度函数就会不同。换句话说,描述一个系统的状态变量 可以有各式各样的选择方式,究竟选那一组变量作为一个系统 的状态变量,得视实际情况而定, 状态向量设一个系统有z个状态变量:x(4),x(1),…, x(),用这葬个状态变量作为分量所构成的向量X()就叫做 该系统的状态向量 状态空间状态向量的所有可能值的集合称为状态空间 或者说,由X轴,x2轴,…,父,轴所组成的维空间就称为 状态空间.系统在任一时刻的状态都可用状态空间中的一点来 表示 状态方程描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶 微分方程组称为状态方程 例1设有弹簧质量系统,如图1~1所示,试确定它的 状态变量和状态方程 解应用牛顿定律,对于此系统可得 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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ks=f 式 m一质量(克) 5一—质量m离开平衡位置的位移(厘米) f——外力(达因) 更一弹簧刚度(达因/厘米) 选速度函数()与位置函数()作为系统的状态变量,可 将方程(1-1)化为两个一阶徽分方程 dt dv m Ef-t 这就是系统的状态方程.知道系统 在时刻与的状态(4)、(及t 的外力,系统的运动状态就唯 确定了。根据微分方程理论我们知 图1-1 道,对于一个二阶方程,它的初始 条件5()、()以及强迫函数f(4)一旦确定,它的解就完全确 定了 例2试确定图1—2的LC直流电路的状态变量与状态 方程 解根据克氏定律可得 R L C二 t:· DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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L+r C (1-2) 现在选i(x)和g(4)=()d作为状态变量,则由(1 2)可得 di R LC L 这就是系统的状态方程.在此例中,如果选i()和e= Cf:0)d作为状态变量,则系统的状态方程为 R 如果我们选(Li+Rt2)和id作为状态变量,并分别简记 为x1和x2,则我们得状态方程 六二# R 从上例可以看出,状态变量的选择不是唯一的,但对一个 具体系统而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的 第二节化高阶微分方程为状态方程 在上节我们讲了两个例题,说明状态方程的求法,可以看 出,写状态方程的一般步骤是:根据实际系统的机理写出它的 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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运动方程;选择适当的状态变量,把运动方程化为关于状态变 量的一阶微分方程組,这个一阶微分方程组就是系统的状态方 程 现在考虑一个单变量的线性定常系统,它的运动方程是 个z阶的常系数线性微分方程 y"+41y-”+…+a,-1夕+a,y =bxm+bxm+…+bn-山+b 2-1) 其中代表输入函数,且≤,对于常见的实际物理系统,不 会有m>8的情况,因为当m>靠时,系统在阶跃函数的输入下 产生的输出将是单位脉冲函数,甚至是它的导数,而对于常见 的实际系统来说,这是不可能的 21输入函数不含有导数项的情况 这时系统的运动方程为 x)+41 1÷…+4,-1多+4,”= (2-2) 根据微分方程理论,如y(0),升(0),…,y(0)及珍0 时的输入2()已知,则系统未来的运动状态完全确定,这启 发我们能够取y(),(1),…,y"(1)这靠个变量作为系统的 一组状态变量,将这些变量相应记为 (2-3) M=y-1 由此看出,各个状态变量依次是变量y的各阶导数,满足此条 件的变量常称为相变量,现在我们采用相变量作为状态变量, 方程(2-2)可以写为 DF文件使用" pdfFactory"试用版本创建w, fineprint,com,cn
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这就是系统的状态方程。现在把它改写成矩阵形式,采用矩阵 符号,记 则可将方程(2-4)写成矩阵微分方程 X=AX+B 其中矩阵A称为系统矩阵或系数矩阵,矩阵B称为控制矩阵。 在所论情况下,状态方程(2-6)中的系数矩阵A和控制矩 阵B取(2-5)的形式,代表一种标准形,称为相变量正则 形式,其中的矩阵A称为友矩阵。友矩阵的特点是,正好在主 对角线上方的元一律为1,在最下面一行的元可以取任意值, 其余的元都为0.这种形式的状态方程在控制理论中经常遇 到,举例说明如下, 例1设系统的方程为 +”+14+8”=3 (3-7) 试求系统的状态方程, 解选取状态变量 21=y DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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从方程(2-7)中解出最窩次导数项f,然后将y=为, 彡=x2,=x代入方程(2-7),并根据状态变量之间的 关系就可写出下列方程组 义1=x =-8x1-14x2-了x3+3 用矩阵表示为 (010)(x) 001x:1+01#(2-8 8-14-7x 或简写成 X= AX +. By 式中 x1 X A 以上的讨论并未涉及系统的输出.一般地说,系统的输出往往 是系统状态变量的某种组合.下面我们将把系统的状态方程与 输出方程结合起来研究,并着重论述以下的两种标准形式 1.能控标准形 设系统的运动方程为 y"+a1y-"+ (2-9) 式中4(t)为输入,而y()为输出.已经知道,采用相变量 (2一3)作为状态变量时,系统的状态方程可以写成相变量 正则形式(2-6),现在把输出y()通过状态变量表达出 来,并写成矩阵形式 y=CX (2-10) 式中Cr=(10…0)是一个1×n矩阵,这种把系统的输出与状态 变量联系起来的矩阵称为输出矩阵。系统的输出方程往往是一 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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