第十章含有耦合电感的电路 、内容提要 耦合电感在工程中有着广泛的应用。本章主要介绍了耦合电感中的磁耦合现 象、互感和耦合因数、耦合电感的同名端和耦合电感的磁通链方程、电压电流关 系;还介绍了含有耦合电感电路的分析计算及空心变压器、理想变压器的初步概 二、典型题解析: 例10.1如图101(a)所示电路,v(t)波形如图61(b)所示电路。求i(t); 并且当t=2s时,L1中的储能。 05H:()k=1 L 6f. 图10.1例10.1月图 分析解含有耦合电感的电路,关键是要正确理解耦合电感两端的伏安关系,即 其一端口电压不仅和流过本端口的电流有关,和另一端口的电流也有关系
一、内容提要： 耦合电感在工程中有着广泛的应用。本章主要介绍了耦合电感中的磁耦合现 象、互感和耦合因数、耦合电感的同名端和耦合电感的磁通链方程、电压电流关 系；还介绍了含有耦合电感电路的分析计算及空心变压器、理想变压器的初步概 念。 二、典型题解析： 例 10.1 如图 10.1（a）所示电路，us（t）波形如图 6.1（b）所示电路。求 i（t）； 并且当 t＝2s 时，L1 中的储能。 分析 解含有耦合电感的电路，关键是要正确理解耦合电感两端的伏安关系，即 其一端口电压不仅和流过本端口的电流有关，和另一端口的电流也有关系
解设L2两端电压、电流分别为u1(1),i(t)则 1(= di dt 0=M dt dt M d di 因为是全耦合,所以 M=√D2L 又 di1 +6 0.5 d d dt dt 0 A t<0 2t A 0≤t (2-4t)A ≤t<3 所以当t=2s时, 10A i1(2)=-i(2)=6AWa L1i=9 评注]此题两个电流是同时从同名端流入的,所以自感电压与互感电压符号一致。虽然 次级线圈没有接电源,但因为耦合关系,它上面的电流不等于零。耦合电感不消耗能量,但 有储存能量的作用。 例10.2如图10.2(a)所示电路,u,()=52coso3tV,R1=500 L1=L2=2HM=HC1=C2=0.5μF.问负载RL为何值时获得最大功率?最大功率为 多少? L 5k2 jIka U jakE jakE 图10 (c) 0.2用图
[评注] 此题两个电流是同时从同名端流入的，所以自感电压与互感电压符号一致。虽然 次级线圈没有接电源，但因为耦合关系，它上面的电流不等于零。耦合电感不消耗能量，但 有储存能量的作用。 例 10.2 如图 10.2（ a） 所示电 路， u (t) t s 3 = 5 2 cos10 V，R1＝500 Ω， L1=L2=2H,M=1H,C1=C2=0.5μF.问负载 RL 为何值时获得最大功率？最大功率为 多少？
分析若想RL为何值时获得最大功率,一是利用初、次级等效电路,二是利用 戴维宁定理求解 解:相量等效模型如图10.2(b)所示 画初级等效电路如图102(c)所示,计算次级到初级的反映阻抗。因为 0.5kQ Z2= 故得反映阻抗 (aM)2 k 要想R1获得最大功率,即Z要获得最大功率,必须 即 R1=2k 它获得的最大功率为 0.5×10 12.5mW 评注]这个电路因为Z1和Z2都为纯电阻,计算初级等效阻抗或次级等效阻抗都较简 单。若RL变化C2也变化,最好采用求RL与C2串联后两端的戴维宁等效电路求解;或者在 开路后,求出L2两端开路电压,并求出Z1在次级的反映阻抗Z2,问题也能得到较好的解 例10.3含理想变压器电路如图10.3(a)所示,求输入阻抗 )当S打开时,Z1的值 当S闭合时,Z2的值 分析当S打开时,29电阻上电流为零,相当于断开;当S闭合时,构成闭合 回路,电阻上电流不为零,须列方程求解 解(1)当S打开时,2电阻相当于开路,所以 当 RL=90 S闭合时,设电压、电流如图9 0(b)所示,则 ,=3 U=3 即 1=-1 根据KV,KCL,列方程 2(1-1)+U 2rU-U 解得
分析 若想 RL 为何值时获得最大功率，一是利用初、次级等效电路，二是利用 戴维宁定理求解。 解： 相量等效模型如图 10.2（b）所示。 画初级等效电路如图 10.2（c）所示，计算次级到初级的反映阻抗。因为 [评注] 这个电路因为 Z11 和 Z22 都为纯电阻，计算初级等效阻抗或次级等效阻抗都较简 单。若 RL 变化 C2 也变化，最好采用求 RL 与 C2 串联后两端的戴维宁等效电路求解；或者在 开路后，求出 L2 两端开路电压，并求出 Z11 在次级的反映阻抗 Zf2，问题也能得到较好的解 决。 例 10.3 含理想变压器电路如图 10.3（a）所示，求输入阻抗： （1）当 S 打开时，Zi1 的值。 （2）当 S 闭合时，Zi2 的值。 分析 当 S 打开时，2Ω电阻上电流为零，相当于断开；当 S 闭合时，构成闭合 回路，电阻上电流不为零，须列方程求解
Q 2 Q 3:1 3:1 z1 RIO (b) 图10.3例10.3用图 评注若同名端同为两电压参考方向的正(或负)极性端,变压关系式取正号:若一同 名端为电压参考方向正极性端,一同名端为电压参考方向负极性端,变压关系式取负号。若 两电流同时从两同名端流入(或流出),变流关系式取负号:若一电流从同名端流入,一电 流从同名端流出,变流关系式取正号。分析含有理想变压器的电路,经常设出初、次级电流 电压:通过列写方程方程求解。 例104如图104(a)所示电路中,u,()=30c05000+45)求电流。 ( 10mH R1=169 凸j5919 J102 J5Q nR,=40 图10.4例10.4用图 分析因为是求初级线圈上的电流,所以只要将电路从后向前逐级等效,即可求 出 解:根据理想变压器的变阻抗特性,得到等效电路如图10.4(b)所示,再画 出耦合电感的初级等效电路如图104(c)所示。由图中所示,可列方程 ∠1=(5+10) (aM)22 5-j5=5(1-j)n j7.5=2√2A 所以 i(t)=2√2cos10tA
[评注] 若同名端同为两电压参考方向的正（或负）极性端，变压关系式取正号；若一同 名端为电压参考方向正极性端，一同名端为电压参考方向负极性端，变压关系式取负号。若 两电流同时从两同名端流入（或流出），变流关系式取负号；若一电流从同名端流入，一电 流从同名端流出，变流关系式取正号。分析含有理想变压器的电路，经常设出初、次级电流 电压；通过列写方程方程求解。 例 10.4 如图 10.4（a）所示电路中， ( ) ( ) us t = 30cos 1000t + 45 。求电流 i 。 分析 因为是求初级线圈上的电流，所以只要将电路从后向前逐级等效，即可求 出。 解： 根据理想变压器的变阻抗特性，得到等效电路如图 10.4（b）所示，再画 出耦合电感的初级等效电路如图 10.4（c）所示。由图中所示，可列方程
评注]初、次级等效电路也是由列方程推导出来的,所以再相量模型图10.4(b)所示 中,列两个回路方程,同样可解出初级电流或次级电流。另外,注意本题用的是最大值相量 在整个计算过程中要保持一致 例10.5如图10.5所示电路中,求电源两端电压U,输入阻抗Zin和电阻吸收 的功率。 2:1 l=1∠0 22 图10.5例10.5用图 分析通常理想变压器包含在电路里,只能利用它的变压、变流关系及KCL KVL列方程联立求解。但因为本题初级电流已知,就使问题简单化了 解设12,C1和U2如图所示,电流源电流为初级电流,根据 变流关系 l2=ms=2∠0°A U1=2(3-1 =n(U2-U1)+U1=10V Zn==100 两个电阻消耗的功率分别为P1=U/2=2W U2/2=8W 评注]理想变压器不消耗功率,也不储存能量,电路的耗能元件只有两个电阻。若把电 流源换成电压源,电压源电压不直接加在初级端,就需要列方程联立求解。 例10.6如图106所示电路中,原电路已处于稳态,当t=0时,开关S闭合。 求t>0时的电压u(t) 222:1 12V 12V 1(0.) IA (a) 图10.6例10.6用图 (b) 分析 这 是一阶动态电流在直流激励下的电路,虽然包含理想变压器,但求解方 法与一阶动态电路一样,用三要素公式即可 解:将次级19电阻等效到初级,当t<0时,S断开时,已处于直流稳态,电 感短路,即
[评注] 初、次级等效电路也是由列方程推导出来的，所以再相量模型图 10.4（b）所示 中，列两个回路方程，同样可解出初级电流或次级电流。另外，注意本题用的是最大值相量， 在整个计算过程中要保持一致。 例 10.5 如图 10.5 所示电路中，求电源两端电压 • U ，输入阻抗 Zin 和电阻吸收 的功率。 分析 通常理想变压器包含在电路里，只能利用它的变压、变流关系及 KCL、 KVL 列方程联立求解。但因为本题初级电流已知，就使问题简单化了。 [评注] 理想变压器不消耗功率，也不储存能量，电路的耗能元件只有两个电阻。若把电 流源换成电压源，电压源电压不直接加在初级端，就需要列方程联立求解。 例 10.6 如图 10.6 所示电路中，原电路已处于稳态，当 t＝0 时，开关 S 闭合。 求 t＞0 时的电压 u（t）。 分析 这是一阶动态电流在直流激励下的电路，虽然包含理想变压器，但求解方 法与一阶动态电路一样，用三要素公式即可。 解： 将次级 1Ω电阻等效到初级，当 t＜0 时，S 断开时，已处于直流稳态，电 感短路，即
(0.) 3+6∥66+ i(0)=it(0)=1A 当S闭合时,0.等效电路如图10.6(b)所示,由叠加定理得 4 V 当(→∞时,电路趋于直流稳态,这时电感短路,即 l1(∞)=0 电路时常数 r=L/R=6/(6∥ 所以 (t)=4e-V 根据理想变压器关系得 u()=2n() 评注若动态电路中含有理想变压器或耦合电感元件,则可以首先进行理想变压器得 初、次级等效或耦合电感的去耦等效 习题 1.如图10.7所示,乞路参数已知欲仲i=问电源角焕奉为多少 l R, C 图10.7题1电路 2.电路如图10.8所示,各参数如图中所标。求U U=2.5V 209j109 j59 59 I=0.5A j102 109 109 10.8习题2电路
根据理想变压器关系得 ( ) ( ) t u t u t e 3 1 1 2 2 1 − = = V t≥0 [评注] 若动态电路中含有理想变压器或耦合电感元件，则可以首先进行理想变压器得 初、次级等效或耦合电感的去耦等效。 三、习题
3.电路如图10.9所示,h=2∠0°A。求: (1)当Z=10Ω时,的值,Z1吸收的功率P的值 (2)若Z可变,则Z为多少时,获得最大功率?求P1m、的值 109 千n1 习题3电路 4.如图10.10所示含理想变压器电路…-12c082V,电路原已处 干稳态,当1-0,开关S闭合。求:0时的a(t) 129 69 0.25F )a(t) 图10.10习题4叫挤 5.如图10.11所示电路原已处于稳态,当;=0时开关S打开。求零 输入响应4(t),元工啊应s(t)。 109 M=DIIT 10 02H 0.4II 10Q a24() 图10.11习题5电路