第三章自控系统的时域分析 教学目的:通过本课学习,使学生明确对闭环系统的基本要求及系统的时域分析 教学重点:二阶系统的时域分析。 教学难点:二阶系统阶跃响应公式推导 §3-1系统典型环节 闭环控制系统的系统的性能要求 1.系统应该是稳定的:是工作前提。 2.系统要满足暂态品质要求。 3.系统要满足稳态误差要求。 讲法:结合闭环调速系统及轧纲控制系统实例加以分析。 二.简述四种典型输入信号 1.单位阶跃信号2单位斜坡信号3单位抛物线信号4单位脉冲信号 脉冲传递函数 求脉冲响应函数 XIS) Xc(s) Xc(SW(S)Xr(s) Xr(Sza()]=1 w(s) ∴Xc(S)=W(S) (t)=d(1) xc(t)=g(t) Xc(0=L ws=g(o) 图3-1 2.由脉冲响应求传递函数:∠g()=W(s) 四.一阶系统的单位阶跃响应 Urt dt 图3-2 1.系统的数字描述
第三章 自控系统的时域分析 教学目的：通过本课学习，使学生明确对闭环系统的基本要求及系统的时域分析。 教学重点：二阶系统的时域分析。 教学难点：二阶系统阶跃响应公式推导。 §3-1 系统典型环节 一． 闭环控制系统的系统的性能要求 1．系统应该是稳定的：是工作前提。 2．系统要满足暂态品质要求。 3．系统要满足稳态误差要求。 讲法：结合闭环调速系统及轧纲控制系统实例加以分析。 二． 简述四种典型输入信号 1. 单位阶跃信号 2.单位斜坡信号 3.单位抛物线信号 4.单位脉冲信号 三． 脉冲传递函数 1．求脉冲响应函数 Xc(S)=W(S)Xr(S) Xr(S)= [(T)] = 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 Xc t L W S g t Xc S W S = = = − 图 3-1 2．由脉冲响应求传递函数： [g(t)] = W (s) 四．一阶系统的单位阶跃响应 图 3-2 1． 系统的数字描述： W(S) Xr(S) (t)= (t) XC(S) xC(t)=g(t) R Ur(t) C Uc(t)
U,(1)=RC duco (D) 取拉氏变换: U(s) TS+ T=RC一阶系统也称惯性环节, 2.阶跃响应: 一---------------------- 图3-3 Xc(s Xe(t)=∠[X(s)=1-e7 TS+1 s 3.响应曲线 五.二阶系统的阶跃响应 (一)典型二阶系统 1.系统结构图:(位置随动系统) Φr(S) U l/c 1+Tus 图3 K 系统的开环传递函数:Wk(s)= STS+D)
( ) ( ) ( ) U t dt dUc t Ur t = RC + c 取拉氏变换： 1 1 ( ) ( ) + = U s TS U s r c T=RC 一阶系统也称惯性环节。 2． 阶跃响应： 图 3-3 Xc(s)= TS s 1 . 1 1 + Xe(t)= T t c X s e − − [ ( )] = 1− 1 3． 响应曲线： 五．二阶系统的阶跃响应 （一）典型二阶系统 1．系统结构图：（位置随动系统） 图 3-4 系统的开环传递函数：Wk(s)= S(T S +1) K m k 0 t x0 K1 Φr(S) KS T S C M e 1+ 1 W1 ΔΦ UK n ΦC(S) Ud -
Kk=A,K Kk--系统开环放大系数 系统闭环传递函数:W=7++K4 (3-1) 闭环传递函数的标准形式 (3-2) kkS2+25anS+可n 开环传递函数的标准形式:W4(s)= (3-3) S(S+25o, (二)典型传递函数暂态特性 初始为零条件下,输入单位阶跃信号时 x(s) (3-4) S(S2+25aS+n2) 特征方程:S2+2,S+Un2=0 (3-5) 特征方程的根:S2=-5n±on√2 二阶系统响应特性取决于和可n两个参数,在可n不变情况下取决于5。 1.过阻尼(5>1)的情况 X(S) S(S+250n) 图3-5 1)特征根及分布情况 PI P2 2)阶跃响应
Kk= 0 1 C K Ks Kk---------系统开环放大系数. 系统闭环传递函数： m k B T s K K W + + = （3-1） 闭环传递函数的标准形式： 2 2 2 2 1 2 n n n m k m m k B S S T K S T S T K W + + = + + = （3-2） 开环传递函数的标准形式： ( 2 ) ( ) 2 n n k S S W s + = （3-3） （二）典型传递函数暂态特性： 初始为零条件下，输入单位阶跃信号时 ( 2 ) ( ) 2 2 2 n n n c S S S x s + + = (3-4) 特征方程： 2 0 2 2 S + n S + n = （3-5） 特征方程的根： 1 2 S1'2 = − n n − 二阶系统响应特性取决于 和 n 两个参数，在 n 不变情况下取决于 。 1. 过阻尼（ >1）的情况 图 3-5 1）特征根及分布情况 ( ) p 1 wn 2 − 1 = − − − ( ) p 1 wn 2 − 2 = − + − 2）阶跃响应 Xr(S) ( 2 ) 2 n n S S + XC(S) -
x (s) s(s2+25w,5+w2)"s(s+p, Xs+P2) - w x()=L-[x()2=1 3)响应曲线 图3 2.欠阻尼(0<5<1)的情况 1)特征方程根及分布 PI p2 2)阶跃响应 A+-42s+A s +25S+ s s2 ownS+wn x()=1 (3-8) 3)响应曲线
( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 2 2 2 2 s s p s p w s s w s w w X s n n n n c + + = + + = (3-6) ( ) ( ) + − − − − − = = − − + − − − − − 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 w t w t c c n n l l x t L x s 3）响应曲线 图 3-6 2. 欠阻尼 (0 1) 的情况 1) 特征方程根及分布 ( )wn p j 2 − 1 = − − 1− － ( )wn p j 2 2 = − + 1− 2) 阶跃响应 ( ) ( n n ) n n n c s w s w A s A s A s s w s w w x s + + + = + + + = 2 2 2 1 2 3 2 2 2 (3-7) ( ) ( ) − + − = − − x t l w t n w t c n 2 2 sin 1 1 1 1 (3-8) 3) 响应曲线 0 t x0 1
Xc(t) =0.3 图3-7 3.临界阻尼(=1) 1)特征根及分布 P1 2)阶跃响应 3)响应曲线 Xc(t) 图3-8 4.无阻尼(=0)时的情况 1)特征根及分布
图 3-7 3. 临界阻尼 ( =1) 1） 特征根及分布 − p1•2 = −wn 2） 阶跃响应 x (t) l ( w t) n w t c n = − + − 1 1 3） 响应曲线 图 3-8 4. 无阻尼 ( = 0) 时的情况 1）特征根及分布 n − p1•2 = jw t ξ=0.3 ξ=0.5 0 XC(t) 1 0 t XC(t) 1
2)阶跃响应 x((=1-cos wt 3)响应曲线 图3-9 结论:1、不同阻尼比有不同的响应,ξ决定系统的动态性能。 2、实际工程系统0<5<1 二阶系统暂态特性指标 阶闭环系统w)ss+2 的单位阶跃响应是 5 xc 当阻尼比0<5<1时,则系统响应如图 一--
2）阶跃响应 x (t) w t c n =1− cos 3）响应曲线 图 3-9 结论：1、不同阻尼比有不同的响应， 决定系统的动态性能。 2、实际工程系统 0 1 二、二阶系统暂态特性指标 二阶闭环系统 ( ) ( ) n n k s s s w w w 2 2 + = 的单位阶跃响应是： ( ) ( ) + − = − − w t l x t n w t c n sin 1 1 2 当阻尼比 0 1 时，则系统响应如图 0 t XC(t) 1 0 t XC(t) tr tm ts
图3-10 1.上升时间L:在暂态过程中第一次达到稳态值的时间.对于二阶系统,假定 0<5<1情况下,暂态响应: x √1-22t+ 令t=t时则x 经整理得t 最大超调量∂%:暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。 即%= x(∞) (3-10) x(∞) 最大超调量发生在第一个周期中t=Ln时刻,Ln叫峰值时间。 在【=Ln时刻对x()求导,令其等于零。经整理可得 (3-11) 100 (3-12) 3调节时间t输出量x与稳态值x(∞)之间的偏差达到允许范围(2%-5%) 并维持在允许范围内所需要的时间。 3 t(5% 3-h(-52 (3-13) t,(2%) 4--hn (3-14) 振荡次数:在调节时间内x()波动次数。 式中t (3-15) 结论:若使二阶系统具有满意的性能指标,必须选合适的ξ,wn,增大wn可使
图 3-10 1. 上升时间 r t ：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间．对于二阶系统，假定 0 1 情况下，暂态响应： ( ) ( ) − + − = − − w t l x t n w t c n 2 2 sin 1 1 1 令 r t = t 时 则 ( ) = 1 r c t x 经整理得 2 1 − − = n r w t （3-9） ２．最大超调量 % ：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。 即 ( ) () − = x x x % max （3-10） 最大超调量发生在第一个周期中 m t = t 时刻， m t 叫峰值时间。 在 m t = t 时刻对 x (t) c 求导，令其等于零。经整理可得： n m w t 2 1 − = （3-11） % 100% 2 1 = − − wn l （3-12） ３调节时间 s t ：输出量 c x 与稳态值 () c x 之间的偏差达到允许范围（２％－５％） 并维持在允许范围内所需要的时间。 ( ) ( ) n n s w w t 3 ln 1 2 1 3 1 5% 2 = = − − （3-13） ( ) ( ) n n s w w t 4 ln 1 2 1 4 1 2% 2 = = − − （3-14） ４振荡次数：在调节时间内 x (t) c 波动次数。 f s t t = 式中 2 1 2 − = n f w t （3-15） 结论：若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的 ，wn ，增大 wn 可使 s t
下降(快速性),可以提髙开环放大系数k实现,增大阻尼比,可减小振荡。可 通过降低开环放大系数实现。 三、二阶工程最佳参数 二阶工程最佳参数是设计系统的依据,选择参数=1=0707 二阶系统单位阶跃响应暂态性能指标: 最大超调量:6%=1J×100%=43% (3-16) 上升时间: x-6 4.7T (3-17) 调节时间:1、(2%)=8437(用近似公式求为8T) (3-18) t,(5%)=4147(用近似公式求为6T) (3-19) 四、举例 1.有一位置随动系统,其结构图如图所示,其中Kκ=4求该系统(1)自然震 荡角频率;(2)系统阻尼比(3)超调量和调节时间(4)如要求ξ=0.707怎 样改变系统K值。 WB(S)= KK (3-20) +stK 标准形式:Wg(s) (3-21) s-+20s+O K S(S+1) 图3-1 (1)自然震荡角频率:o2=Kk,On=2 (2)阻尼比: 由2On=1得5=0.25
下降（快速性），可以提高开环放大系数 k 实现，增大阻尼比，可减小振荡。可 通过降低开环放大系数实现。 三、二阶工程最佳参数 二阶工程最佳参数是设计系统的依据，选择参数 0.707 2 1 = = 二阶系统单位阶跃响应暂态性能指标： 最大超调量： % 100% 4.3% 2 1 = = − − x l （3-16） 上升时间： T x t n r 4.7 1 2 = − − = （3-17） 调节时间： t s (2%) = 8.43T （用近似公式求为 8T） （3-18） t s (5%) = 4.14T （用近似公式求为６T） （3-19） 四、举例 1. 有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中 KK = 4 求该系统（１）自然震 荡角频率；（２）系统阻尼比（３）超调量和调节时间（４）如要求 = 0.707 怎 样改变系统 KK 值。 K K B s s K K W s + + = 2 ( ) （3-20） 标准形式： 2 2 2 2 ( ) n n n B s s W s + + = （3-21） 图 3-11 （１） 自然震荡角频率： , 2 2 n = KK n = （２） 阻尼比 ： 由 2n =1 得 = 0.25 S(S +1) KK Xr(S) XC(S)
(3)超调量 100%=47 (4)调节时间:t,=3/5on=6s (5)要求5=0.707即25n=1,O,==,这时Kk=o2=0.5 所以渐小K可使阻尼比增大,改善系统动态性能,但是系统静态误差增大 2.为改善系统暂态响应性能,满足单位阶跃输入下,系统超调量小于5%,今 加入微分反馈酉,如图所示求微分时间常数 X2(S) Xc(S) S(S+1) 图3-12 s(s+1 W(s)=-4ss(s+1+4r) (3-22) S(S+1) Wk(s= (3-23) 1+4 1+4r 1) Kκ=,,比没加微分负反馈减小,,倍 (3-24) s2+(1+4r)s+4 为使6%≤5%令5=0.707,由25n=1+4x∵On=2 A=0457K=+414 结论:加微分局部负反馈,相当于增加了系统阻尼比,提高了系统稳定性但同时 降低了开环放大系数,但于上例相比,同样保证5=0.707但K远大于0.5
（３） 超调量： 100% 47% 1 % 2 = − − = （４） 调节时间： t s s = 3 n = 6 （５） 要求 = 0.707 即 , 0.5 2 1 2 1, 2 n = n = 这时KK =n = 所以渐小 KK 可使阻尼比增大，改善系统动态性能，但是系统静态误差增大。 2. 为改善系统暂态响应性能，满足单位阶跃输入下，系统超调量小于５％，今 加入微分反馈 s ，如图所示求微分时间常数。 图 3-12 ( 1 4 ) 4 ( 1) 4 ( 1) 4 ( ) + + = + + = s s s s s s s W s K （3-22） 1) 1 4 1 ( 1 1 4 4 ( ) + + + = s s W s K （3-23） 比没加微分负反馈 1 4 4 + KK = 减小 1 4 1 + 倍 (1 4 ) 4 4 ( ) 2 + + + = s s W s B （3-24） 为使 % 5%,令 = 0.707,由2 n =1+ 4 n = 2 1.414 (1 4 ) 0.457, 4 4 (2 1) = + = − = = n KK 结论：加微分局部负反馈，相当于增加了系统阻尼比，提高了系统稳定性但同时 降低了开环放大系数，但于上例相比，同样保证 = 0.707 但 KK 远大于 0.5， Xr(S) ( 1) 4 S S + XC(S) - S -
提高了稳态精度。 小结:通过本课学习,使学生明确对闭环系统的基本要求及系统的时域分析。尤 其对二阶系统进行时域分析,并掌握二阶系统阶跃响应公式推导。明确描 述系统暂态特性指标的物理意义,并能计算
提高了稳态精度。 小结：通过本课学习，使学生明确对闭环系统的基本要求及系统的时域分析。尤 其对二阶系统进行时域分析，并掌握二阶系统阶跃响应公式推导。明确描 述系统暂态特性指标的物理意义，并能计算