第三章线性系统的时域分析法 35线性系统的稳定性分析 线性系统稳定的定义及充分必要条件 定义:若线性控制系统在初始扰动δ()的作用下,其输出 k(t)随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则该系 统为渐近稳定,简称稳定;反之,称该系统不稳定 上述定义可用数学语言表示为:imnk"(t)=0(n=01,2,…) t→)0 M(S) 吗0DO币h6+(+250+ M(S) I(+:)(+5+10-2)s+5a-1o√1-52)
第三章 线性系统的时域分析法 3-5 线性系统的稳定性分析 一﹑ 线性系统稳定的定义及充分必要条件 定义: 若线性控制系统在初始扰动 (t) 的作用下, 其输出 k(t) 随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系 统为渐近稳定, 简称稳定; 反之, 称该系统不稳定. 上述定义可用数学语言表示为: lim ( ) 0 ( 0,1,2, ) ( ) = = → k t n n t = = = = + + + − + − − = + + + = = q j r i j i i i i i i i i q j r i j i i i s s s j s j M s s s s s M s D s M s s 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( 1 )( 1 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
上式中,S为特征方程D)=0的实数根,-5m±0y1-5 为特征方程D(s)=0的共轭复数根,q+2r=nm为特征多项 式D(s)中S的最高次方,即系统的阶数将系统的传递函数 dp(s)进行部分分式,得: d(s)=∑—+∑ S+s, i=Is+50 +1-5-+2+50-104 上式中 M(S) (S+s,) ′D(s) M(S ai D(s) (S+5o+jovI M(S) (s+5a1-jo√1 D(S) s=-501+j;√1-5
上式中,− sj 为特征方程 D(s) = 0 的实数根, 2 1 i i i i − j − 为特征方程 D(s) = 0 的共轭复数根, q + 2r = n, n 为特征多项 式 D(s) 中S的最高次方, 即系统的阶数. 将系统的传递函数 (s) 进行部分分式, 得: = = = + − − + + + − + + = r i r i i i i i i i i i i i q j j j s s s j s j A s 1 1 2 2 1 1 1 ( ) 上式中 2 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i j s j i i i i i s j i i i i i s s j j s j D s M s s j D s M s s s D s M s A =− + − =− − − =− = + − − = + + − = +
因为S为复数所以C1与1也是复数又因为S为共轭复数 所以a1与O,也是共轭复数,把上式中后两项合并,得: 0()=4+(+)+(a+a)kp=-=am j=1 StS, i +250,s+O 令B=a+a,C1=(x1+a)50-1(01-a,)O√1-2均为实数,则 Bs+c Φ(s)=∑ +∑ ∑ B(s+50)+C-B50 =s+s, s+25@ S+Of =s+s (S+50)+O (1-5) =1S+S B(s+5o) C1-B5 1(s+c0,)+ 2(+50)2+0(1-52)
因为 s 为复数,所以 i 与 i 也是复数,又因为 s 为共轭复数, 所以 i 与 i 也是共轭复数, 把上式中后两项合并, 得: = = + + + + + − − − + + = r i i i i i i i i i i i i i i q j j j s s s j s s A s 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 令 2 , ( ) ( ) 1 i i i i i i i i i i i i B = + C = + − j − − 均为实数,则 = = = = = = + + − − − − + + + − + + + = + + − + + − + + = + + + + + = r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i q j j j r i i i i i i i i i i i i q j j j r i i i i i i q j j j s C B s B s s s A s B s C B s s A s s B s C s s A s 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1 ( ) ( ) (1 ) ( ) 2 ( )
因为系统的单位脉冲响应函数k()=C[(s),故对上式进 行拉氏反变换得: k()=∑Ae +∑e( Bcoso√1-221+ C-Bsa 2 系统稳定的充分必要条件是:系统特征方程的所有根都 具有负实部,或者说,系统传递函数的极点均在根平面的左 半S复数开平面上(不包括虚轴 需指出的是,系统的稳定与否,仅与系统本身的结构和 参数有关,而与输入信号的形式和大小无关 线性系统稳定性的初步签定
因为系统的单位脉冲响应函数 ( ) ( ) ,故对上式进 1 k t = L s − 行拉氏反变换得: = − = − − − − + − + = r i i i i i i i i i i i i t q j s t i t C B e B t k t Ae i i j 1 2 2 2 1 sin 1 ) 1 ( cos 1 ( ) 系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程的所有根都 具有负实部, 或者说, 系统传递函数的极点均在根平面的左 半 S 复数开平面上(不包括虚轴). 需指出的是, 系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和 参数有关, 而与输入信号的形式和大小无关. 二﹑ 线性系统稳定性的初步签定
线性系统特征方程的一般形式可表为: D(s)=a0"+a1"+…+an1S+a 0(s+s1)(s+S2)…(S+S)…(S+sn1)(S+Sn)=0 由上两式可见,只有当 0.Vi.i=1.2. 即所有极点P==S均在极点平面的左半平面上,将上面 第二个等式展开后,第一个等式S各次方前的系数必都为 大于零的正数.由此可得系统稳定的必要条件为:系统特 征多项式D()所有系数ao2…,a2…an均大于零. 必要条件只起否定作用,也即只要不满足必要条件,系 统必不稳定,必要条件不起保证作用,也即满足必要条件, 系统不一定稳定. 赫尔维茨稳定判据 m阶系统的特征方程为 D(s=dos"+a,"+.+a,s+a,=0
线性系统特征方程的一般形式可表为: 由上两式可见, 只有当 ( )( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) 0 1 2 1 1 1 0 1 = + + + + + = = + + + + − − − i n n n n n n a s s s s s s s s s s D s a s a s a s a si 0, i, i =1,2, ,n 即所有极点 pi = −si 均在极点平面的左半平面上, 将上面 第二个等式展开后, 第一个等式S各次方前的系数必都为 大于零的正数. 由此可得系统稳定的必要条件为: 系统特 征多项式 D(s) 的所有系数 a ai a n , , , 0 均大于零. 必要条件只起否定作用, 也即只要不满足必要条件, 系 统必不稳定, 必要条件不起保证作用, 也即满足必要条件, 系统不一定稳定. 三﹑ 赫尔维茨稳定判据 n阶系统的特征方程为: ( ) 1 0 1 = 0 + 1 + + − + = − n n n n D s a s a s a s a
构造D(s)的系数主行列式 0丨赫尔维茨稳定判据的内容为: C m阶特征方程的根全部具有负 SsBRRSERSERE 0 实部的充要条件是,特征方程 的各项系数为正,且D()的系 4:a6 数行列式的各阶主子式均大于 零,即△>0,Vi2i=1,2,…,n 00000 而△ 0 教材P.11给出了n<=4时,赫尔维茨稳定判据的简单表示形 式
构造 D(s) 的系数主行列式: n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 6 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 = 赫尔维茨稳定判据的内容为: n阶特征方程的根全部具有负 实部的充要条件是, 特征方程 的各项系数为正, 且 D(s) 的系 数行列式的各阶主子式均大于 零, 即 i 0, i, i =1,2, ,n 而 , 1 = a1 , 0 2 1 3 2 a a a a = , 0 1 3 0 2 4 1 3 5 3 a a a a a a a a = , 0 0 0 2 4 1 3 5 0 2 4 6 1 3 5 7 4 a a a a a a a a a a a a a a = 教材P.112给出了n<=4时, 赫尔维茨稳定判据的简单表示形 式
例:设闭环系统的特征方程为: D(s)=s4+2s3+Ks2+s+2=0 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解:构造特征方程的系数行列式 2100△1=2>0,△2 2K-1>0.K>0.5 1K20 K K21 01K△2=1K2=2 =2K-9>0 2 K>45△4=2△>0∴K>45时系统稳定 四、劳思稳定判据 n阶系统的特征方程为: D(s)=a"+a1"+…+an1S+an=0 式中a0>0,构造如下劳思行列表:
例:设闭环系统的特征方程为: 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解:构造特征方程的系数行列式. ( ) 2 2 0 4 3 2 D s = s + s + Ks + s + = 0 1 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1 0 0 4 K K = 2 1 0, 0.5 1 2 1 2 0, 1 = 2 = = K − K K 2 9 0 2 1 1 0 2 1 2 2 0 2 1 1 2 2 1 0 3 = = − = K − K K 4.5, 2 0 4.5 K 4 = 3 K 时系统稳定. 四﹑ 劳思稳定判据 n阶系统的特征方程为: ( ) 1 0 1 = 0 + 1 + + − + = − n n n n D s a s a s a s a 式中 a0 0 , 构造如下劳思行列表:
表中,最左边一列和最上 面两行构成劳思行列表的 表头,表中其它各行各列 S 43 的元素值按如下公式计算: 3 14 24 34 44 a, a3 a, a2-aoa3 25 35 45 1,n+12n+13,n+14,n+/·· a,d a,a 13 C133-1C 14
表中, 最左边一列和最上 面两行构成劳思行列表的 表头, 表中其它各行各列 的元素值按如下公式计算: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 0 1 5 2 5 3 5 4 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 2 1 3 5 7 1 0 2 4 6 + + + + − − − − n n n n n n n n n s c c c c s c c c c s c c c c s c c c c s a a a a s a a a a 1 1 2 0 3 1 1 3 0 2 1 3 a a a a a a a a a a c − = − = 1 1 4 0 5 1 1 5 0 4 2 3 a a a a a a a a a a c − = − = , 1 1 6 0 7 1 1 7 0 6 3 3 a a a a a a a a a a c − = − = 13 13 3 1 23 13 13 23 1 3 14 c c a a c c c c a a c − = − =
13C3 C12C-1C2 13 13 S 43 3 14 24 34 44 13 C13-a1C43 34 25 35 45 13 以下各行各列的元素值可依上 几式的规律依次算得. 1,n+12,n+13,n+1-4,n+1 则线性系统稳定的充要条件是 劳思表中第一列各值均大于零.如劳思表第一列中出现小于零 的数值,系统就不稳定,且第一列各数值符号的改变次数,就 是系统特征方程的正实部根的数目,即系统在极点平面的右半 平面上的极点个数
以下各行各列的元素值可依上 几式的规律依次算得. 则线性系统稳定的充要条件是 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 0 1 5 2 5 3 5 4 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 2 1 3 5 7 1 0 2 4 6 + + + + − − − − n n n n n n n n n s c c c c s c c c c s c c c c s c c c c s a a a a s a a a a 1 3 1 3 5 1 3 3 1 3 1 3 3 3 1 5 2 4 c c a a c c c c a a c − = − = , 1 3 1 3 7 1 4 3 1 3 1 3 4 3 1 7 3 4 c c a a c c c c a a c − = − = 劳思表中第一列各值均大于零. 如劳思表第一列中出现小于零 的数值, 系统就不稳定, 且第一列各数值符号的改变次数, 就 是系统特征方程的正实部根的数目, 即系统在极点平面的右半 平面上的极点个数
例1:设系统的特征方程为D(s)=s3+42+100s+500=0 用劳思稳定判据判别系统是否稳定 解:s31100因为第一列有-25,且正、负号改变 s24500两次,所以系统不稳定,且有两个 根在s的右半平面上 s-250 s°5000 例2:设系统的特征方程为D(s)=s3+2s+s3+3s2+4s+5=0 用劳思稳定判据判别系统是否稳定? 解: 3 5 S-0515因为第一列有-0.5,且正、负号改变 5两次,所以系统不稳定,且有两个 16/9 根在s的右半平面上
例1: 设系统的特征方程为 用劳思稳定判据判别系统是否稳定? ( ) 4 100 500 0 3 2 D s = s + s + s + = 解: 0 1 2 3 4 500 1 100 s s s s − 25 0 500 0 因为第一列有-25, 且正﹑负号改变 两次, 所以系统不稳定, 且有两个 根在s的右半平面上. 例2: 设系统的特征方程为 ( ) 2 3 4 5 0 5 4 3 2 D s = s + s + s + s + s + = 用劳思稳定判据判别系统是否稳定? 解: 0 1 2 3 4 5 2 3 5 1 1 4 s s s s s s − 0.5 1.5 9 5 16/9 5 因为第一列有-0.5, 且正﹑负号改变 两次, 所以系统不稳定, 且有两个 根在s的右半平面上
