安徽理工大学：《电路理论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十三章 拉普拉斯变换

第十三章拉善拉斯变换 13-1拉普拉斯变换的定义 §13-2拉普拉斯变换的基本性质 §13-3拉普拉斯反变换 §13-4运算电路 §13-5应用拉普拉斯变换法分析线形电路

第十三章 拉普拉斯变换 §13-1 拉普拉斯变换的定义 §13-2 拉普拉斯变换的基本性质 §13-4 运算电路 §13-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路 §13-3 拉普拉斯反变换

§13-1拉普拉斯变换的定义 拉氏变换法是一种数学变换,可将微分方程变换为代数方程以 便于求解。 A×B=AB 例1:对数变换↓J个 乘法运算简化 为加法运算 lgA+IgB=IgAB 例2:相量法正弦量i+2=t 八↓=个。正弦运算简化 °为复数运算 相量 小

§13-1 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换法是一种数学变换，可将微分方程变换为代数方程以 便于求解。 例1:对数变换 A B AB A B AB lg lg lg + =     = 乘法运算简化 为加法运算 例2:相量法 • • • + =   =  + = I I I i i i 1 2 1 2 相量 正弦量 正弦运算简化 为复数运算

拉氏变换将时域函数((原函数变换为 复频域函数F(s)(象函数) 1.双边拉氏变换 [F()=/(变换S为复频率 S=otJO f(F(6“反变换 O (0与F(s)一一对应 5方 当σ=0,s=jo时 傅立叶变换f(0)=门/(m正变换 f()= 1F(o)edo反变换 2

s =  + j 1. 双边拉氏变换        = =  +  −  + − − 反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) F s e ds j f t F s f t e dt st j j st S为复频率 f(t)与F(s)一 一对应 当 = 0 ，s = j 时          =  =    − + − −  反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) f t F j e d F j f t e dt j t j t 傅立叶变换 拉氏变换 将时域函数f(t) (原函数)变换为 复频域函数F(s) (象函数)

2.单边拉氏变换1<0,f(0)=0 F(s)=f(r)e"d正变换 f()=mF(s)e"ds反变换 27 0积分下限从0开始,称为0拉氏变换。 0+积分下限从0开始,称为0拉氏变换 o. F(s)=f(t)e sdt 5方 f()e"++f()et。0拉氏变换 ft=8()时此项≠0 2今后讨论的拉氏变换均为0拉氏变换

       = =  +  −  + − 反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 F s e ds j f t F s f t e dt st j j st    + − 0 0 0 积分下限从0 − 开始，称为0 − 拉氏变换。 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换。 f t e dt f t e dt F s f t e dt st st st =  +  =  − + − + − + + − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f(t)=(t)时此项 0 今后讨论的拉氏变换均为0 − 拉氏变换 2. 单边拉氏变换 0 +拉氏变换 t < 0 , f(t)=0

F(s)=f(ea正变换 F(S=LL (4)= otto e: If(t 简写)7( F(s)eds反变换 2 F(S)称为象函数,大写字母表示如()D(s。 a)为原函数用小写字母表示,如(),( 3存在条件 0 f( fo f(t)e ar dt 0积分存在。em为收敛因子

       = =   +  −  +  − − 反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 F s e ds j f t F s f t e dt s t j j s t        = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f t L F s F s L f t 简写 F(s)称为象函数，大写字母表示,如I(s)，U(s)。 f(t )为原函数用小写字母表示，如i(t ), u(t )。 3.存在条件     − − f t e dt st 0 ( )     − − f t e dt t 0 ( ) e −t为收敛因子 常见函数为指数阶函数 f (t)  Me t [0,) ct f t e dt Me dt t ( c)t 0 0 ( ) − −  −    − −    C M − =   − c  0积分存在

4典型函数的拉氏变换F(S)=∫+∫(1)et (1)指数函数 L[ e(t)=o e edt==ee -s+a)t 01 0s+ (2)单位阶跃函数1 Le(ol=o c()e tat =rof e-dt =es o I so 当a=0时c"e(t)=68() (3)冲激函数 2L6()=8()e=6()eh=

4.典型函数的拉氏变换 (2)单位阶跃函数 0 1  = − −st e s s 1 = (1)指数函数 L e t e e dt −at  −at −st =  − 0 [  ( )] 0 1 ( )  + = − − s+a t e s a s + a = 1   − − = 0 L[ (t)] (t)e dt st   a 0 e (t) (t) at =  =  当 时 − (3)冲激函数 =   − − 0 L[ (t)] (t)e dt st   =  + − 0 − 0 0 (t)e dt s  = 1   − + = 0 e dt st ( ) ( ) 0 F S f t e dt st  + − − =

13-2拉普拉斯变换的基本性质 线性F(S)hf(lex孤 + 若印=F(S),L()=E(S) 则Lf()±b2()=aF1(S)±bF2(S) 证:{gf()±b2(O)le=gf()-db()et =1(S)±bF(S) 例1:LU民() U 5方 S 例24smao)1=2y(-1 2jS-j。S+jS2+a

§13-2 拉普拉斯变换的基本性质 一.线性 [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 若L f1 t = F1 S L f2 t = F2 S af t bf t e dt −st   − [ ( ) ( )] 0 证： 1 2 af t e dt bf t e dt st −st  −  =  −   − 0 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = aF1 S  bF2 S 例1： L[U(t)] 例2： L[sint (t)] [ ( ) ( )] 1 2 则L af t  bf t ] 1 1 [ 2 1 j S j S + j − − = ( ) ( ) = aF1 S  bF2 S 2 2   + = S ( ) ( )] 2 1 [ e e t j L j t j t   −  = − ( ) ( ) 0 F S f t e dt st  + − − = S U =

、导数性质设:()=F() 1时域导数性质 df (t) 02 =SF(S)-∫(0) dt dde-stdtsgo e= f(o udy =uv -vdu s e"f(x--o f(oes)e"dt oO P =e "f(to +s o f(t)e "dt==f(0 )+SF(S 0 il: Lcos ote(t)=L(sin ote(t)l o dt S 0= PDODOORCNL O S+O5210

二 、导数性质 1. 时域导数性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ − = SF S − f dt df t L  −  −   − − = 0 0 ( ) ( ) e dt e df t dt df t st st −  −  =  − − − − 0 ( )( ) 0 e f (t) f t s e dt st st = − f (0 ) + SF(S) − 0 2 2 − + =    s s 2 2 + = s s (sin ( ))] 1 1 [cos ( )] [ t t dt d L t t L    例 ：   = 设：L[ f (t)] = F(s)  udv = uv −  vdu +   =  − − − − 0 ( ) 0 e f (t) s f t e dt st st

例2:L8(=146()=s1=1 dt 2 °cS =SF(S(0) 推广:d2f(1=SF(S)f(0)-f(0) 2 =S2F(S)-Sf(0)-f(0) s LId SF(S)-S"/(o.f(0) dt

推广： ] ( ) [ 2 2 dt d f t L [ ( ) (0 )] (0 ) − ' − = S SF S − f − f ( ) (0 ) (0 ) 2 − ' − = S F S − Sf − f ] ( ) [ n n dt d f t L ( ) (0 ) (0 ) −1 − −1 − = − − − n n n S F S S f  f ] ( ) (0 ) ( ) [ − = SF S − f dt df t L 例2：L[ (t)] [ (t)] dt d = L  1 1 = = S S

2频域导数性质设:L/(O=F(S) oopooLl-tf(tl= dF(S) d HE: o f(t)e-at=o f(ete dt= -tf(oI 例1:Lte()=-()=(2) 例2:1rO1(1yd()=(m) S 例3:L|tea= 1= ds s+a (S+a)2

例1：L[t (t)] ) 1 ( ds S d = − ) 1 ( 2 S = 2 L[t (t)] n 例 ：  ) 1 ( 1) ( ds S d n n n = − ) ! ( +1 = n S n ) 1 ( + = − ds S d 2 ( ) 1 + = S 3 [ ] t L te 例 ： − 2.频域导数性质 dS dF S L t f t ( ) [− ( )] =   − − 0 f (t)e dt ds 证：d st =  −  − − 0 f (t)( t)e dt st = L[−tf (t)] 设：L[ f (t)] = F(S)