82.5高斯光束的基本性质及特征参数一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示Voo(x, y,z):-ik(z+arctg -exp2R0(z)(z0其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2元/2，o为基模高斯光束的腰斑f2元0半径，f称为高斯光束的共2T焦参数
§2.5 高斯光束的基本性质及特征参数 • 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示 ) ]} 2 ]exp{ [ ( ( ) exp[ ( ) ( , , ) 2 2 2 0 0 f z arctg R r i k z z r z c x y z = − − + − f f = 0 = 2 0 , 其中，c为常数，r 2=x 2+y 2 ，k=2/， 0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
(≤+)=z+R = R(z)= z[1+R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位面的曲率半径0(z)+α(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位面上的光斑半径当z=f时，α(z)= 20o'即俵示光斑半径增加到腰斑的2倍处的位置对称共焦腔/一般稳定球面腔
2 2 ( ) [1 ( ) ] ( ) f z f f R R z z f z z f z z = = + = + = + 2 0 ( ) 1 ( ) z z f = + R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径 (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面上的光斑半径 当z=f时， (z)= 0，即f表示光斑半径增加到 腰斑的 倍处的位置 2 2 对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律振幅因子→光斑半径α(z)基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展远场发散角θ。（定义在基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角）220九0, = limfar-field beam angle2-00Z元0
二、高斯光束在自由空间的传输规律 振幅因子→光斑半径(z) 基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半 径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展 远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的 1/e 2点的远场发散角） 0 0 2 ( ) lim 2 2 z z z f → = = = far-field beam angle
Wavefront radius of curvature R(z)相位因子→等相位面的曲率半径R(z)因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,V）有关的相位移动，表明高斯光束的等相位面是以R()为半径的球面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不同而不同；当z-±时，IR(2)=2f；当z=0时，R(2)→>00; z →>0时, R(2)→>0 。·曲率中心的位置= z-R(z)当f，说明球心在共焦腔腔外当>j附,z-R(2)<f，说明球心在共焦腔腔内
• 相位因子→等相位面的曲率半径R(z) • 因子kr2 /2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移 动，表明高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不 同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)→； z →时， R(z)→ 。 • 曲率中心的位置= ，说明球心在共焦腔腔外 当z f时, z − R(z) f ，说明球心在共焦腔腔内 当z f时, z − R(z) f Wavefront radius of curvature R(z) z − R(z)
: The radius of curvature R(z) has a variation withdistance given analytically byz> fZ The wavefront is flat or planar right at the waist.corresponding to an infinite radius of curvatureor R(O)=oo. As the beam propagate toward.however, the wavefront gradually becomescurved, and the radius of curvature R(z) dropsrather rapidly down to finite values
• The radius of curvature R(z) has a variation with distance given analytically by • The wavefront is flat or planar right at the waist, corresponding to an infinite radius of curvature or R(0)=. As the beam propagate toward, however, the wavefront gradually becomes curved, and the radius of curvature R(z) drops rather rapidly down to finite values. = + z f z f R(z) z 2 2 z f z f z f =
: For distance well beyond the Rayleigh range ftheradius then increases again as R(z)~z, i.e., thegaussian beam becomes essentially like aspherical wave centered at the beam waist. Whatthis means in physical terms is that the center ofcurvature of the wavefront starts out at -oo for awavefront right at the beam waist, and thenmoves monotonically inward toward the waist, asthe wavefront itself moves outward toward z-> oo
• For distance well beyond the Rayleigh range f the radius then increases again as R(z)z, i.e., the gaussian beam becomes essentially like a spherical wave centered at the beam waist. What this means in physical terms is that the center of curvature of the wavefront starts out at – for a wavefront right at the beam waist, and then moves monotonically inward toward the waist, as the wavefront itself moves outward toward z→
·高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面波，其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面
• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面
三、基模高斯光束的特征参数用参数の。（或f）及束腰位置表征高斯光束用参数(z)和R(z)表征高斯光束如果知道了某给定位置处的α(z)和R(z)，可决定高斯光束腰斑的大小の.和位置2高斯光束的q参数
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决 定高斯光束腰斑的大小0和位置z 高斯光束的q参数 三、基模高斯光束的特征参数
CVoo(x, y,z)Lkzarctg2 R(2)(z)0重新整理2Cexp[-i(kz -arctg Voo(x,y,zR(2)2w(z)元引入一个新的参数q()定义为π0(2)R(z)q(z)
) ]} 2 ( ) ]exp{ [ ( ( ) exp[ ( ) ( , , ) 2 2 2 0 0 f z arctg R z r i k z z r z c x y z = − − + − ]}exp[ ( )] ( ) ( ) 1 [ 2 exp{ ( ) ( , , ) 2 2 0 0 f z i k z arctg z i R z r ik z c x y z = − − − − ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 z i q z R z = − 引入一个新的参数q(z)， 定义为 重新整理
·参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下式求出该位置处α(z)和R(z)的数值ReR(2)gz1元元Im(z)2元0(0)R(O)q(0)q(zqo元0用o=(O)表示z=0处ifqo的参数值，得出qo is purelyimaginary
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知 道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下 式求出该位置处(z)和R(z)的数值 ] ( ) 1 Im[ ( ) 1 ] ( ) 1 Re[ ( ) 1 2 z q z R z q z = − = q i if i q q R = = = = − 2 0 0 2 0 (0) (0) 1 (0) 1 1 用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出 q0 is purely imaginary