华侨大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿，机电版）例1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数

例14周期矩形脉冲信号的傅里叶级数￠ E -T/2 T0/2 120t/2 e, tk 脉宽为τ x(t) 脉冲高度为E 周期为T 主要讨论:频谱结构,频谱的特点 频带宽度,能量分布

X 例1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 主要讨论：频谱结构,频谱的特点 频带宽度，能量分布。 x(t) t O E -T T0 0 T0 -T0 /2 /2  /2  /2 , | | 2 ( ) 0 , | | 2 E t x t t           T0 E 周期为 脉冲高度为 脉宽为

指数形式的谱系数 页 X(noo) 0小x(t) e Snoot dt,n=0,±1 2 E 1 o dt To-jnad E e 三2 sini na 2E 2 not sin na 2 sInx Sin na eT 2) Et 实数 Sal nao 谱 na

X 2 2 j 0 0 2 2 j 0 0 0 e j 1 e d 1 =               n t n t T n E E t T 0 0 j -j 2 2 0 0 e e j E n n n T              2 2 sin 0 0 0      n n T E        指数形式的谱系数 0 0 0 j 2 0 0 2 1 ( ) ( )e d , 0, 1, 2, T n t X n T x t t n T                  2 sin 2 0 0 0    n n T E 0 2 sin 2 j n          实 数 0 谱 0 S 2 E a n T           sin ( ) x Sa x x 

Sinx 考察Sa(x) 的图形,有以下特点: 页 又称取样函 sa(x) 数 2: X T 3π )1Sa(x)是连续偶函数; 22周期衰减函数,周期=2π; 33最大值在x=0处 SIn x Sa(x)Imax =limx x->0 44零点 x=n兀,n=±1±2

X sin ( ) x Sa x x 考察  的图形，有以下特点： ）1 Sa(x)是连续偶函数； 1 sin ( ) | lim 0 max    x x Sa x x 33 最大值在x=0处 ； 22 周期衰减函数，周期=2π； 44 零点： x  n , n  1,2, t Sat 1 π 2π 3π O  π x 又称取样函 Sa(x) 数

周期矩形脉冲信号频谱的特点 页 Ez↑x(no) X(m)= EL noon 图中=5r n:=0,±1,±2 10-9-8-7-6 7678910 4-3-2-1012345 nQn/2=k兀 (1)包络线形状:抽样函数sa(5)零点:mO=k.2r/r (2)离散谱(谐波性) n只取整数 (6)谱线间隔:△O=a=2/ 只与7有关 (3)周期:nOn=4兀/r (7)带宽:4丌/τ只与τ有关 (4)最大值Ez/T在n=0处

X (4)最大值 在n=0处 (5)零点： 周期矩形脉冲信号频谱的特点 (1)包络线形状：抽样函数sa (2)离散谱（谐波性） n只取整数 0 E /T 0 n  k  2π/  2π 0 n  / 2  k 5 图中T0   0  0 0 Sa 2 E X n n T            n  0,1,2, (7)带宽： 4 π /  只与τ有关 (3)周期： 0 n  4π/ (6)谱线间隔： 只与T0 有关 0 0    2 /T  ( ) F n1 O  X  n0  0 E T  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 -10 -9 -8 -7 -6 0 

信号周期T与脉冲宽度τ对频谱的影响￠ 结论: ◆τ不变,T个时 演示 谱线密度增加,周期不变; T0ν∞时,谱线间距→0→连续谱 谱线高度→0(单矩形脉冲的频谱) ◆7不变,时 演示 谱线密度不变,周期增大 ◆随谐波数增加,谱线高度逐渐减小 (收敛性)

X 信号周期T0与脉冲宽度τ对频谱的影响 结论： uτ不变，T0↑时 Ø谱线密度增加，周期不变； ØT0∞时，谱线间距0连续谱 谱线高度0（单矩形脉冲的频谱） uT0不变，τ↓时 Ø谱线密度不变，周期增大 u随谐波数增加，谱线高度逐渐减小 （收敛性）

关于频带宽度 ★把第一个零点作为信号的频带宽度。记为: 2 B 或B=,带宽与脉宽成反 B.·τ=2丌频域带宽与时域带宽乘积为常数 ★对于一般周期信号,将幅度下降为,X(o)的 频率区间定义为频带宽度

X 关于频带宽度 把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 或 ，带宽与脉宽成反比。    2π 1 B  Bf  对于一般周期信号，将幅度下降为 的 频率区间定义为频带宽度。   0 max 10 1 X n B 2     频域带宽与时域带宽乘积为常数