第4章拉普拉斯变换、连续系统的S 域分析 4.1引言 4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3拉普拉斯变换的基本性质 4.4拉普拉斯逆变换 4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型 4.6系统函数H(s) 4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性 4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性 4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布 4.11线性系统的稳定性 本章要求
1 第4章 拉普拉斯变换、连续系统的S 域分析 4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3拉普拉斯变换的基本性质 4.4拉普拉斯逆变换 4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型 4.6系统函数H(s) 4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性 4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性 4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布 4.11线性系统的稳定性 本章要求
4.5用拉普拉斯变换法分析电路、 连续瞬跳慎频域分析 拉普拉斯变换分析法是分析线性连续系统的有力 工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的 代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态， 既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求 得系统的全响应。 前面计算结果阶跃函数可写，也可不写。但本节是 应用，有了物理意义一般要写u(t)或t>0
4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、 S域元件模型 2 连续系统的复频域分析 拉普拉斯变换分析法是分析线性连续系统的有力 工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的 代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态， 既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求 得系统的全响应。 前面计算结果阶跃函数可写，也可不写。但本节是 应用，有了物理意义一般要写 u(t) 或 t 0
以二阶常警莽携凳金蟹分析法 azy"(t)+ay(t)aoy(i)=bx(t)4bx(t) 设激励x(t)为有始信号，即 x(0)=0,x'(0)=x"(0）)=.=xm-(0)=0 对微分方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有 a2s2Y(s)-y(0)-y0】+a[sY(s)-0】+a,Y(s) 整理成(a2+as+a)Y() =(b,s+b)X(s)+a2y(0)+a2y'(0)+ay0)
一、 微分方程的复频域分析法 = b1[sX (s) − x(0 )]+ b0X (s) − 3 以二阶常系数线性微分方程为例： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 0 a y t + a y t + a y t = b x t + b x t (0 ) 0, '(0 ) "(0 ) (0 ) 0 ( 1) = = = = = − − − n− − x x x x 设激励 x(t) 为有始信号，即 对微分方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有 [ ( ) (0 ) (0 )] [ ( ) (0 )] ( ) 1 0 2 2 a s Y s − sy − y + a sY s − y + a Y s − − − ( ) ( ) 1 0 2 2 a s + a s + a Y s ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) 1 0 2 2 1 − − − = b s + b X s + a sy + a y + a y 整理成
.Y(s)= bis+bo X(s)+9 2(0)+420)+ay(0） azs2 as+ao a2s-+as+ao =Y(S)+Y,(S) 记Y(S)=H(S)X(s),则 H(s)= Y(s)bs+bo 称为系统函数 X(s) a2s'+as+ao 对Y(s)进行反变换，可得全应的时域表达式 y(t)=L[Y(s)]=LY (s)]+LY.(s)] =y(t)+y(t)
4 1 0 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 0 (0 ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) a s a s a a sy a y a y X s a s a s a b s b Y s + + + + + + + + = − − − Y (s) Y (s) = zs + zi 称为系统函数 1 0 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) a s a s a b s b X s Y s H s z s + + + = = 记 Yz s(s) = H(s)X (s)， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 y t y t y t L Y s L Y s L Y s Y s z s z i z s z i = + = = + − − − 对 进行反变换，可得全响应的时域表达式：
复频域分析法 当已知微分方程时： 1.对方程两边取拉氏变换，得到复频域中的代数 方程； 2.计算Y(s)； 3.求其反变换，得y(t)
5 复频域分析法 当已知微分方程时： 1.对方程两边取拉氏变换，得到复频域中的代数 方程； 2.计算 ； 3.求其反变换，得 。 Y(s) y(t)
例：己知 20+s dr 2+60=29+8x0 dt dt x(t)=e'u(t),起始条件为：y(0)=3,y(0)=2, 求y) 解：对微分方程取拉氏变换，得 s2Y(s)-y(0)-y'(01+5[sY(s)-y(0]+6Y(s) =2sX(s)+8X(S) Y=5 25+8 Xs)+0)+y0)+50) s2+5S+6 x(t)=eu(t)<>X(s)= s+1
6 解：对微分方程取拉氏变换，得 [ ( ) (0 ) (0 )] 5[ ( ) (0 )] 6 ( ) 2 s Y s − sy − y + sY s − y + Y s − − − = 2sX (s) + 8X (s) 5 6 (0 ) (0 ) 5 (0 ) ( ) 5 6 2 8 ( ) 2 2 + + + + + + + + = − − − s s sy y y X s s s s Y s 1 1 ( ) ( ) ( ) + = = − s x t e u t X s t 例： 已知 2 2 ( ) ( ) ( ) 5 6 ( ) 2 8 ( ) d y t dy t dx t y t x t dt dt dt + + = + ( ) ( ), t x t e u t − = 起始条件为： ' y y (0 ) 3, (0 ) 2, − − = = 求 y(t)
Y(s)= 2s+8 (s)+y0)±0)+50 s2+5s+6 s2+5s+6 25+8 25+8 13 4 1 y(S)= s2+5s+ X(s)= (s+2s+3)S+1+1S+2S+3 y.(t)=(3e'+4e+e") y=0)+0)+50) 3s+17 11 8 2+5s+6 (S+2)(s+3)8+2 S+3 y2i()=1le21-8e3t (t≥0) 此处不能加注(t) .(t)=ys(t)+y,(t)=3e+7e21-7e (t>0)
7 3 8 2 11 ( 2)( 3) 3 17 5 6 (0 ) (0 ) 5 (0 ) ( ) 2 + − + = + + + = + + + + = − − − s s s s s s s sy y y Yz i s ( ) 1 1 8 ( 0) 2 3 = − − − y t e e t t t z i 此处不能加注u(t) ( ) ( ) ( ) 3 7 7 ( 0) 2 3 = + = + − − − − y t y t y t e e e t t t t z s z i 3 1 2 4 1 3 1 1 ( 2)( 3) 2 8 ( ) 5 6 2 8 ( ) 2 + + + + + = + + + + = + + + = s s s s s s s X s s s s Yz s s ( ) (3 4 ) ( ) 2 3 y t e e e u t t t t z s − − − = + + 5 6 (0 ) (0 ) 5 (0 ) ( ) 5 6 2 8 ( ) 2 2 + + + + + + + + = − − − s s sy y y X s s s s Y s
拉氏变换分析的优点： 1.把微分方程转化成代数方程； 2.0到00作单边拉氏变换，0状态自动包含其 中，无需计算0+状态； 3不仅可以求稳定系统，而且可求不稳定系统； 4.已知电路也可以直接求解
8 拉氏变换分析的优点： 1.把微分方程转化成代数方程; 3.不仅可以求稳定系统，而且可求不稳定系统； 4.已知电路也可以直接求解。 − 2. 0 到 作单边拉氏变换， 状态自动包含其 中，无需计算 状态； 0 − 0 +
二、电路的复频域模型 已知电路时，可根据复频域电路模型，直接列写 求解复频域响应的代数方程。 1,s域元件模型 ()、电阻元件的s域模型 vR(t)=Rin(t) ik(1) vR(1) VR(S)=RIR(S) R IR(s) 或IR(s)= 's) R VR(s)-
二、电路的复频域模型 9 V (s) RI (s) R = R R V s I s R R ( ) 或 ( ) = R + VR (s) − I (s) R v (t) Ri (t) R = R + v (t) - R i (t) R (1)、电阻元件的s域模型 1、s域元件模型 已知电路时，可根据复频域电路模型，直接列写 求解复频域响应的代数方程
10 2)、电感元件的s域模型 z)0) m ,)=Ldz) vL() dt 國袋 V(s)=I1(s)Ls-Li(0) V(s) I(s) Ls 1,例=a+i,0) Ls S 5i.0） ① V() 内电压源极性与电感电流极性不一致；内电流源 极性与电感电流极性一致；串联模型中，元件上的电 压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和
(2)、电感元件的s域模型 10 ( ) ( ) (0 ) L = L Ls − LiL − V s I s (0 ) ( ) 1 ( ) = + L − L L i Ls s V s I s − + V (s) L I (s) L Ls ( ) − 0 LiL + − I (s) L Ls ( ) 0− 1 L i s + VL (s) − ( ) ( ) t i t v t L L L d d = L + - v (t) L (0 ) − L i (t) i L 内电压源极性与电感电流极性不一致；内电流源 极性与电感电流极性一致;串联模型中，元件上的电 压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和