信号与系统81 GNALSASTSTENS 第二章 连续系统的时域分析 微分方程的经典解法 0+和0初始值 ·零输入响应与零状态响应 。冲激响应和阶跃响应 卷积积分
第二章 连续系统的时域分析 微分方程的经典解法 0+和0-初始值 零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分
信号与系统s1 G NALSASTST里Ms 2.1LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 y(m)(t)+an-iy(m-D(t)+.+aiy(1(t)+aoy (t) =bmf(m)(t)+bm-if (m-1(t)+.+bif1(t)+bof (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解)=y(t)(齐次解)+yp(t)(特解) 齐次解是齐次微分方程 y@)+an-1y-1+.+a1y()+aoy()=0的解 y(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式 与激励函数的形式有关
2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式 与激励函数的形式有关
信号与系统S1 G NALS4 STSTEMS 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关， 而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应 或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关， 而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应 或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应
信号与系统S1 G NALSASTST:Ms 全响应=齐次解（自由响应）十特解（强迫响应） ·齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率)。 根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重 根)： rn0=∑c,e 2为特征根 ·特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法 确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 ·用初始值确定积分常数。一般情况下，n阶方程有n个常数， 可用个n初始值确定。 TE M S
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。 根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重 根）： 特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法 确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数， 可用个 n 初始值确定。 = = n i t h i i r t C e 1 ( ) i 为特征根
信号与系统s1GALS48r8TgMs [例2.1.1]描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)三 f(t),求(1)当f(t)=2e,t≥0；y(0)=2,y(0)=-1 时的全解；(2)当f(t)=e2t,t≥0；y(0)=1, y(0)=0时的全解。 解：(1)特征方程为 22+5入+6=0 其特征根入1=-2，入2=-3。 齐次解为 y.(t)=Ce2+Ce-2
[例2.1.1]描述某系统的微分方程为y ”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)，求（1）当f(t) = 2 ，t≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1 时的全解；（2）当f(t) = ，t≥0；y(0)= 1， y ’(0)=0时的全解。 t e −2 t e − 解: (1) 特征方程为 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为 2 t t h y t C e C e 2 2 2 1 ( ) − − = +
信号与系统s1 GNALSA8 YSTENS 由表2-2可知，当f(t)=2et时，其特解可设为 Yp(t)=Pe-i 将其代入微分方程得 Pe'+5(-Pe)+6Pe'=2e 解得 P=1 于是特解为 Yp(t)=e 全解为： Y(t)=Y.(t)+yp(t)=Ce2+Ce3+e
由表2-2可知，当f(t) = 2 时，其特解可设为 t t t t Pe Pe Pe e − − − − 将其代入微分方程得 +5(− ) + 6 = 2 解得 P=1 于是特解为 全解为： t p y t e − ( ) = t yp t Pe− ( ) = t t t h p y t y t y t C e C e e − − − = + = + + 3 2 2 1 ( ) ( ) ( ) t e −
信号与系统s1GALS48r8TgMs 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0)=C1+C2+1=2, y(0)=-2C1-3C2-1=-1 解得C1=3,C2=-2 最后得全解 y(t)=3e21-2e31+e
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y ’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 t t t y t e e e − − − = − + 2 3 ( ) 3 2
信号与系统s1 GNALSA8 YSTENS (2) 齐次解同上。 当激励f(t)=e211 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 y.(t)=(P1t+P0)e-2i 代入微分方程可得 p1e21=e2 所以 P1=1 但P0不能求得。全解为 y(t)=Ce2+Ce+te2+Pe =(C+P)e2+Cze-s+te2 GN A
（2）齐次解同上。 当激励f(t)= 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0) 代入微分方程可得 P1 = t e −2 所以 P1= 1 但P0不能求得。全解为 t e −2 t e −2 t e −2 t t t t t t t C P e C e t e y t C e C e t e P e 3 2 2 2 1 0 2 0 3 2 2 2 1 ( ) ( ) − − − − − − − = + + + = + + +
信号与系统s1GALS48r8TgMs 将初始条件代入，得： y(0)=(C1+P0)+C2=1, y(0)=-2(C1+P0)-3C2+1=0 解得C1+P0=2 02=-1 最后得微分方程的全解为 y(t)=2e2-e-3+te2r 上式第一项的系数C1+P0=2,不能区分C1和P0,因而也不 能区分自由响应和强迫响应
将初始条件代入，得： y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y ’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 C2= –1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不 能区分自由响应和强迫响应。t t t y t e e te 2 3 2 ( ) 2 − − − = − +
信号与系统s1 GNALSA8 YSTENS 二、关于0-和0+初始值 1、0 ·状态和0十状态 ·0一状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； ·0+状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从0-状态到0+状态的跃变 ·当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0-状态到0+ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及 其各阶导数
二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及 其各阶导数