第六章控制系统的瞬态响应分析 希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作 用下,系统的输出能很快地随控制信号变化而变化 系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。 第一节一阶系统的瞬态响应 慨述 R(s)+ R(s)1+7S 1.输入为单位阶跃函数,则输出为 C(s)= s(7S+1)s1+7 c(t)=1
1 第六章 控制系统的瞬态响应分析 希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作 用下，系统的输出能很快地随控制信号变化而变化。 系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。 第一节 一阶系统的瞬态响应 一、慨述 1. 输入为单位阶跃函数，则输出为 R s Ts C s + = 1 1 ( ) ( ) R s( ) + − C s( ) Ts 1 s Ts s Ts C s + = − + = 1 1 1 ( 1) 1 ( ) T t c t e − ( ) = 1− (t 0)
阶系统单位阶跃响应曲线 c(t) 斜率=1/T 0.632 865%95%98.2%993% 63.2% 0 2T 3T 4T 5Tt 这是一条指数曲线,t=0处斜率最大,其值为l/T, 若系统保持此变化速度,在tT时,输出将达到稳态值 而实际系统只能达到稳态值的0.632,经过3T或4T的时间 系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98
2 一阶系统单位阶跃响应曲线 这是一条指数曲线， 处斜率最大，其值为1/T， 若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。 而实际系统只能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间 系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。 0 1 0.632 c t( ) T 2T 3T 4T 5T t 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 斜率=1/T t = 0
2.输入为单位脉冲: C(s)= 1+T g()=c( T 单位脉冲响应曲线 也是一条指数曲线, c(t) 在匹=时为 不难看出:单位脉 (1)=-e /T 冲响应是单位阶跃 响应的导数,而单 位阶跃响应是单位 脉冲响应的积分 T 2T 3 4T
3 2. 输入为单位脉冲 : 单位脉冲响应曲线 也是一条指数曲线， 在 时为 ； 不难看出：单位脉 冲响应是单位阶跃 响应的导数，而单 位阶跃响应是单位 脉冲响应的积分。 Ts R s Ts C s + • = + = 1 1 ( ) 1 1 ( ) Tt e T g t c t − = = 1 ( ) ( ) t = 0 T1 0 T 2 T 3 T 4 T t c t( )1T 1 / ( ) t T c t e T − =
3.输入为单位速度 R(s) C 1+Ts S +1/7 系统输出 c(t=t-T-To-t/T 响应曲线由两部分组成: c(t) 稳态分量为(tT),它 也是单位斜坡函数,但 e 有时间T的延迟,即稳态 误差。瞬态分量为TetT c(t) 以1/的系数衰减到零。 T越小,稳态误差也越小
4 3. 输入为单位速度 系统输出 响应曲线由两部分组成： 稳态分量为（ t - T）， 它 也是单位斜坡函数，但 有时间 T的延迟，即稳态 误差。瞬态分量为Te -t/T, 以1/ T的系数衰减到零。 T越小，稳态误差也越小。 21 ( ) s R s = s T T sT Ts s s C s 1 / 1 1 1 1 ( ) 2 2 + • = − + + = t T c t t T Te / ( ) − = − − r ( t ) c ( t ) t r ( t ) c ( t ) es s = T
第二节二阶系统的瞬态响应 个可以用二阶微分方程来描述的系统称 为二阶系统。从物理上讲,二阶系统包含有二 个独立的储能元件,经常用到的储能元件有电 感、电容等。 、二阶系统标准形式 R(S) K s(7s+1) (S)R(S)$2+5+
5 第二节 二阶系统的瞬态响应 一个可以用二阶微分方程来描述的系统称 为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二 个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电 感、电容等。 一、二阶系统标准形式 T K s T 1 s T K R(s) C(s) (s) 2 + + = = ( 1) K s Ts + R s( ) + C s( ) −
令: K @n T COm= 则二阶系统标准式 S+25O,S+O 无阻尼自然振荡频率 4一一阻尼比 二阶系统的特征方程为s+20灬+o 系统的两个特征根(闭环极点)为 -on±onV2 (0<<<1 特征根的性质取决于囝的大小,下面分四种情况 讨论
6 令： 则 二阶系统标准式: －－无阻尼自然振荡频率； －－阻尼比 二阶系统的特征方程为 系统的两个特征根（闭环极点）为 特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况 讨论。 T K n = 2 T n 1 2 = s 1 2 1,2 = − n n − (0 1) s 2 s 0 2 n n 2 + + = 2 n n 2 2 n s 2 s (s) + + = n
特征根的[s]平面的分布情况见图 O S 0 Re Re Re 0 e (a)0<2<1 (b)5 1.欠阻尼情况:(0<4<1 n± 12=-G± 则二阶系统具有一对共轭复根: 式中:=40—称为衰减系数 称为阻尼振荡频率
7 特征根的[s]平面的分布情况见图 1．欠阻尼情况 : 则二阶系统具有一对共轭复根： 式中： ——称为衰减系数 ——称为阻尼振荡频率 = n (0 1) d s1,2 = − j [s] [s] Im 0 R e [s] Im Re 0 [s] 2 s 2 s 1 s 1 s 1 s 2 n 1− − n 0 1 0 = 0 (a) (b) (d) Im Re = 1 Im s2 s1 0 Re (c) 1 2 d = n 1− s 1 2 1,2 = − n n −
输入为单位阶跃信号,则系统输出量的拉氏变换为 C(s)=- (s+2O, S+O+) S+LO s (S+SO,)+Of (S+So)+o 对上式进行拉氏反变换,可得 c(t=l-e n(cos o,t+ sin@,t) e- ont (1-5 cost+5 SIn q sin(@,t+0) 式中: arccos
8 输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为 对上式进行拉氏反变换，可得 式中： ( 2 ) ( ) 2 2 2 n n n s s s C s + + = 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 n d n n d n s s s s + + − + + + = − sin t) 1 c(t) 1 e (cos t d 2 d t n − = − + − e ( 1 cos t sin t 1 1 1 d d t 2 2 n − + − = − − sin( t ) 1 e 1 d 2 nt + − = − − = arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为二条衰减振 荡曲线。振荡频率为圆,曲线a2为动态 响应的包络线,包络线的时间常数为匹o单 位阶跃响曲线C()总是包含在一对包络线之内 收敛速率取决于时间常数为g=<o值,所 以又把和=减系数
9 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振 荡曲线。振荡频率为 ，曲线 为动态 响应的包络线，包络线的时间常数为 。单 位阶跃响曲线C(t)总是包含在一对包络线之内， 收敛速率取决于时间常数为 的数值，所 以又把 称为衰减系数。 d 2 nt 1 e 1 − − 1 n n = n =
T 2 0 2T 3T 4T 2
10 ⚫ . 012 1 1 1 + − 2 1 1 1 − − 2 1 1 nt e − + − 1n T = T 2 T 3 T 4 T t c t( ) 2 1 1 nt e − − −