第四章控制系统的稳定性分析 第四节 Nyquist稳定性判据 基本思想:利用系统的开环系统的频率特性判别闭 环系统的稳定性。 预备知识—幅角定理 由复变函数可知,对S复平面上除奇点外的任 点,经过复变函数F(S)的映射,在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 n (s+zi F(s)=1 S+二 ∑∠s+p ∏+p)∏ tp F(S)ZF(s)
1 第四节 Nyquist 稳定性判据 基本思想：利用系统的开环系统的频率特性判别闭 环系统的稳定性。 一、预备知识——幅角定理 由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 第四章 控制系统的稳定性分析 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s p s z F s 1 1 1 1 j n j 1 i n i 1 Π Π F s F s s z s p s p s z n j j n i i n j j n i i = + − + + + = + + = = = = = = =
令:S从国开始沿任一闭合路径。(不经过F(的零点和极 点)顺时针旋转一圈,F(s)的相角变化情况如下 零点(z4)极点(P 1)-Z在、外 2)P在I外,~△2=0 结论:相角无变化 1)-Z在内,A+=(顺时针) 2)P在内,+-2x(逆时针) 结论:若F(s)在厂中有Z个零点和P个极点,则当s沿r顺时 针方向旋转一圈时,F(s)相角有变化: ∠F(S)=-27(Z-P)
2 令：s从 开始沿任一闭合路径Γs （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下： 零点(-Zi ) 极点(-Pj ) 1) –Zi在Γs外， 。 2) –Pj在Γs外， 。 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 。(顺时针 ) 2) –Pj在Γs内， 。(逆时针) 结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时 针方向旋转一圈时，F(s) 相角有变化： 1 s s + zi = 0 s + zi = 2 s + pj = 2 s + p j = 0 1 − z 2 0 − z s Im Re 1 s F(s) = −2 (Z − P)
幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点,并且 不经过F(s)的任一零点和极点,则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时,映射到P(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点(Z-P) N=Z-P (或逆时针绕原点N=P-Z圈) 其中:N为圈数,正、负表示的旋转方向:逆时 针为正,顺时针为负
3 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且 不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时 针为正，顺时针为负
、奈魁斯特稳定性判据 1.奈氏路径 =-→-10→+10→+1→-/顺时针方向包围整个s右半面 由于不能通过F(s)的任何零、极点,所以当F(s)有若干个极点 处于s平面虚轴(包括原点)上时,则以这些点为圆心,作 半径为无穷小的半圆,按逆时针方向从右侧等过这些点。 J 平面 J01 F(s)的极点 +f0 01
4 三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径 顺时针方向包围整个s右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。 j j 1 j 1 − j F s( )的极点 R − j − j0 + j0 s平面 s = − j → − j0 → + j0 → + j → − j
2.奈氏判据 设:F(S)=1+GH—闭环系统特征多项式 显然:F(s)的零点就是闭环系统的极点。 (1)1+G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平 面上绘制的F(s)曲线T逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差: N=P-Z 当Z=0时,说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面,系统是稳定的;反之,系统则是不稳定的
5 2. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 F(S) =1+G(s)H(s)
(2)G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析-奈氏判据 因为1+G(s)H(s)与G(s)H(s)之间相差1,所以系统的稳定性 可表达成: 奈氏判据:闭环系统稳定的充要条件是:s沿着奈氏路绕 圈,G(jω)H(j)曲线逆时针绕(-1,j)点的P圈。 P为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0,且N=0,即曲线不包围(-1,j0)点,则闭环系 统稳定; b.若P≠0,且N=P,即曲线逆时针绕(-1,j0)点P圈,则闭 环系统稳定,否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取: Z=PN C.若曲线通过(-1,j0)点L次,则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上
6 （2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性 可表达成： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定； b.若P≠0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PN c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上
例:一系统开环传递函数为: G(S)H(s) (a>0) s-1 试判别系统的稳定性。 解:本系统的开环频率特性 0=-00 GOGO J-1 当园=-/→-10→+0→+2变化时 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面,即:P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕(-1,j0)点的1圈,即N=1 根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数Z=PN=1-1=0 所以系统稳定
7 例: 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性 当 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面，即：P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。 ( a 0) 1 ( ) ( ) − = s a G s H s 1 ( ) ( ) − = j a G j H j = − j → − j0 → + j0 → + j −2 −1 0 = − = Re Im
a.当s=0是开环极点时,奈氏路径: s=-j0→)+j0时,以原点为圆心,作 半径为E无穷小的半圆,按逆时针 方向从右侧绕过原点 S=O,→>0当从s=-转到+j0 时,0从-90°变到+90°(I型系统) K(T i &eJe+1) G(S)H(sXs-ej0 K coe Joe ∏ (TaejO J=b+1 所以,)(从bx(9)变到bx90
8 a. 当s=0是开环极点时，奈氏路径： s= - j0→+j0时，以原点为圆心，作 半径为 无穷小的半圆，按逆时针 方向从右侧绕过原点。 令 , ε→0 当从s=-j0转到+j0 时，θ从-90°变到+90°（Ⅰ型系统 ） 所以， 从 变到 。 0 − j0 + j0 Im Re j s = e j θ n jθ j 1 jθ j jθ m i 1 jθ i s e e ( e ) K ( ) (T e 1) K (τ e 1) G(s)H(s) jθ − = + = = = = + + = e G( j)H( j) ( 90 ) 90 −
结论:当s从j0转到+j0时,G(s)H(s)的奈氏曲线以 半径为无穷大,顺时针转过Ur b.s∞的奈氏曲线 令:s=Re/因为R→∞,则有 K1(ReJo+=i) G(S)H(S) Ee j(n-m)A S=ReJe II(ReJo+pi) 所以,对n-m>0的系统,ε就趋向于零。∠C(o)(o) 从-(n-m)90°变到+(n-m)90°
9 结论: 当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以 半径为无穷大，顺时针转过 。 b．s→∞的奈氏曲线 令: 因为R→∞ ， 则有 所以，对n - m>0的系统，ε就趋向于零。 从 -（ n - m） 90°变到 +（n - m）90°。 j s = Re j(n-m)θ n j 1 j jθ m i 1 i jθ 1 s e e (Re p ) K (Re ) G(s)H(s) jθ − = = = = + + = z R G( j)H( j)
结论:当s沿奈氏曲线从+j到-j∞时,对 n>m的系统,G(sH(s)的奈魁斯特氏曲线以无 穷小半径,绕原点逆时针转过(n-m)π
10 结论: 当 s 沿奈氏曲线从+j∞到 - j∞时，对 n>m的系统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无 穷小半径，绕原点逆时针转过（n - m）π