三参数威布尔分布置信限的确定和C-R-S-N曲线的拟合

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.05.005 第16卷第5期 北京科技大学学报 Vol.16 No.5 1994年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing Oct.1994 三参数威布尔分布置信限的确定 和C一R一S一N曲线的拟合 谈嘉祯边新孝 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要论述了利用三参数威布尔分布描述机械零件疲劳寿命，并在一定置信度下求R一S一N曲 线的方法.即根据试验所得的应力一寿命样本，运用优化方法对三参数威布尔分布参数进行估 计；并在一定置信度下，求出不同可靠度的疲劳寿命，进而拟合出C一R-S-N曲线，求出相应的疲 劳极限应力值 关健词威布尔分布，置信限，可靠度 中图分类号TB114 The Determination of Confidence Limits for Weibull Distribution of Three-parameter and the Fitting of C-R-S-N Curves Tan Jiazhen Bian Xinxiao Mechanical Engineering College.USTB.Beijing 100083 ABSTRACT The paper discusses the use of Weibull distribution of three-parameter to des- cribe the fatigue life of machine element,and proposes a new method to fitting R-S-N curves under certain confidence.The parameters of three-parameter Weibull distribution are estimated by optimization,based on the samples of stress-life from tests.The fatigue life at each different reliability is then calculated under centain confidance.Thereafter the C-R-S-N curves can be fitted and the corresponding fatigue limit stress is evaluated KEY WORDS Weibull distribution,confidence limit reliability.fatigue life 虽然正态分布（或对数正态分布）理论在机械零件的疲劳试验数据统计分布中已被广泛应. 用，但它存在一个重大的缺陷，即当失效概率很小时，机械零件的疲劳寿命（或允许的工作应 力)趋近于零，并已被许多试验结果所否定，三参数威布尔分布中有个位置参数，在机械零件 疲劳试验中，它表征最小寿命或最低疲劳强度，这与机械零件疲劳特性的实际相符合，所以， 将三参数威布尔分布理论用于机械零件疲劳试验研究，在目前是最佳的选择. 由于机械零件的疲劳寿命和疲劳强度是随机现象，而随机现象的数量规律一般只能根据 数量有限的样本的观测值来估计，因此既然是推测性的判断，就存在置信度的问题.作者提 1991一11-08收稿第一作者男56岁教授 *国家“七五“攻关课题

第 16 卷 第 5期 北 京 科 技 大 学 学 报 i州 年 10 月 Jo u rn a l o f U n i v e rs iyt o f S d ne ec a n d eT hc n o l o gy B e ij in g V国 . 1 6 N o . 5 O LC I望玛 三参数威 布尔分布置信 限 的确 定 和 C 一 R 一 S 一 N 曲线 的拟合 ’ 谈 嘉祯 边 新孝 北京 科技大学 机械工 程 学院 , 北京 1〕以〕8 3 摘要 论述 了利 用 三参 数威 布 尔分 布描述机械零件疲劳寿 命 , 并在一定置信度下求 R 一 S 一 N 曲 线的方法 . 即根 据试 验 所得 的应 力 一 寿命 样 本 , 运用 优化 方法 对 三 参 数威 布尔 分布 参数 进行 估 计 ; 并在一 定置信度 下 , 求 出不 同可 靠度 的 疲劳寿命 , 进而拟合 出 C 一 R 一 S 一 N 曲线 , 求 出相 应的 疲 劳极限 应力值 . 关健词 威布 尔分 布 , 置信 限 , 可 靠度 中图分类号 T B l l4 T l l e E祀te r m i an t i o n o f C o inf d e n c e L i而ts of r w 亡i b ul l D i s t r i b u t i o n o f T ’h r e e 一 P a r a me te r a dn t he F it t i n g o f C 一 R 一 S 一 N C ur ves 7 h n iJ a 动 en B i a n iX n x i a o M ce h an ica l E n ig n en n g 吻 11 e ge , U S T B , B e ij i n g l (D 〕8 3 A B S T R A C T hT e P a Per d is cus s es th e us e o f W e ib u l d is t ir b u t i o n o f t h re 一 p a ra me t e r to d es - icr be t h e fa t ig u e life o f ma hc i n e e l e m e n 七 a n d Pro P o s es a n e w me t h o d t o if t ti n g R 一 S 一 N ~ u n d er ce rla i n co -inf d en ce . hT e P a ra me te rs o f t h re 一 P a ra me t e r W e ib u l d 认t ir b u t i o n a re es t una 叨 b y o Pt irnj 皿t i o n , b a sde o n t h e s a m PleS o f s t esr s 一 l讹 fr o m est st . hT e af ti g u e ilfe a t ae ch d漩 enr t er li a b il it y 15 th en ca clu l a det u n d e r cen at i n co inf d a n ce . hT e aer ft e r ht e C 一 R 一 S 一 N cu vesr 以 n b e if t t e d a n d t h e co esr P o dn i n g af t ig u e 1i而t s t esr s is e v a lau 喇 K E Y WO R D S W e ib ul d is t ir b u t i o n , co inf d en ce 11而 t elr i a b il ity , fa t ig u e l讹 虽然 正态分 布 ( 或 对数正 态分布 ) 理 论在 机械 零件 的疲 劳 试验 数据 统计分布 中已 被广 泛应 用 , 但 它存 在一 个重 大 的缺 陷 , 即 当失 效 概率 很 小 时 , 机 械 零 件 的 疲 劳 寿命 (或 允 许 的工 作 应 力 )趋 近 于零 , 并已 被许 多试 验结 果 所否 定 . 三参 数 威 布 尔分 布 中 有 个 位 置 参数 , 在 机 械 零 件 疲劳试 验 中 , 它 表 征最 小寿命 或最 低 疲 劳强度 , 这 与机 械 零 件 疲 劳 特 性 的 实 际 相 符 合 . 所 以 , 将三参数威 布 尔分布 理论 用于 机械 零 件疲 劳试 验研究 , 在 目前 是最 佳 的选 择 . 由于 机械零 件的疲 劳寿命和 疲劳 强度 是 随机现 象 , 而 随机 现象 的数 量 规律 一 般 只能 根 据 数量有 限的样本 的观测值来估计 . 因此 既然 是 推 测 性 的 判 断 , 就 存 在置 信 度 的 问题 . 作 者 提 1叩 l 一 1 1一 08 收 稿 第一作 者 男 56 岁 教 授 * 国 家 “ 七 五 ” 攻 关 课题 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 05. 005

.426 北京科技大学学报 1994年No.5 出了在一定置信度下，利用三参数威布尔分布理论拟合机械零件的R-S一N曲线方程，即置 信度一可靠度一疲劳强度一寿命曲线方程，进而求得具有规定置信度和可靠度下任意寿命 时的疲劳极限应力值的方法， 1 三参数威布尔分布的统计特性 三参数威布尔分布累积频率函数为： FM=1-exp[-(W-N)/(N。-N)]N≤N<o (1) 式中，N一试验样本的疲劳寿命（通常以应力循环次数表示）或疲劳强度（以应力表示，这时 式中的”N”均换为”S;N。一位置参数（最小寿命或最低疲劳强度；如为后者，则N。改为 S。);N。-特征参数（特征寿命或特征疲劳强度；如为后者，则N改为S。);b-威布尔分 布形状参数， 三参数威布尔分布频率函数为： b N≤N<r (2) 威布尔分布的均值为： μ=(N。-No)T(1+1b) (3) 威布尔分布的方差为：2=(N,-N。)[T(1+1b厂Γ(1+1b] (4) 2三参数威布尔分布参数的估计 将式(1)变为下面的形式： In(n(1/(1-F(N))))=bIn(N-N)-bIn(N-N) (5) 式中，1-F)=R(可靠度). 令X=ln(N-N),Y=lnnl/(1-FW》及B=bln(N。-N),则式(S)变为直线方程： Y=bX+B (6) 先任取一个N(W,≤Nm,Nm为试验所得的最小寿命)，利用最小二乘法，可求得b、B: b=三xx(含x)医]/[店-（区x门 (1) B=云y-bn店x (8) 式中，n一样本容量.从而可求出N。b及B,同时计算出表征拟合直线的线性符合度r值： r=Lr/(Lxx·L)2 (9) 式中.m店x-(②小：宫r-日（区Lw-店xx-(店x店

· 4 4 2 o 北 京 科 技 大 学 学. 报 男 年 1 6 N . 5 出了 在一 定置 信度 下 , 利 用三参数威 布 尔分布理 论拟合 机械零 件 的 R 一 S 一 N 曲线 方 程 , 即 置 信度 一 可 靠度 一 疲 劳 强度 一 寿命 曲线方程 , 进而 求得 具有 规定置 信度 和 可 靠 度 下 任 意 寿 命 时 的疲劳 极 限应力 值 的方 法 . 1 三参数 威布尔 分布的统计特性 三参数威 布尔 分布 累积 频率 函 数 为 : (F 的 二 1 一 ex P[ 一 (N 一 均 / (aN 一 均勺 N 。蕊 N < 切 (l) 式 中 , N 一 试验 样本 的疲 劳寿命 ( 通常 以应 力 循 环次数 表示 ) 或 疲 劳 强 度 ( 以 应 力 表 示 , 这 时 式 中 的 “ N ” 均 换为 ” ’S ) ; 戈一 位 置 参数 ( 最 小 寿 命或 最 低 疲 劳强 度 ; 如 为 后 者 , 则 凡 改 为 0S ) ; Na 一 特 征参数 (特 征 寿命或特 征疲 劳强 度 ; 如 为后 者 , 则 aN 改 为 s 。 ) ; b 一 威布 尔 分 布 形状参数 . 三 参数 威布 尔分 布频 率 函 数 为 : (3)24 式扔 一 汽 (号 ) ” ex 笼 一 ( 号 ) 」 、 、 N 一 威布 尔分 布 的均 值为 : # = (aN 一 N0 )(r 1 + 1b/ ) 威 布 尔分 布 的方 差 为 : 护 二 (N 。 一 N0) ’ !(r 1 十 1/b) 一 r Z ( l 十 1/ b刀 2 三参数威布尔 分布参数的估计 将式 ( 1) 变 为下面 的形 式 : I n o n ( l /( l 一 F (N) ))) = b l n (N 一 N 。 ) 一 b l n (aN 一 N o ) ( 5 ) 式 中 , 1 一 月叼 二 R ( 可靠 度 ) . 令 X = ln( N 一 N0 ) , y = nI 伽1 (/ 1 一 (F 的) 及 B = b1 n( aN 一 N O) , 则 式 ( 5) 变 为直线 方程 : Y = bX + B ( 6 ) 先 任 取 一 个 N 战N 6( 呱 。 , 呱 。 为 试 验 所 得 的 最 小 寿 命 ) , 利 用 最 小 二 乘 法 , 可求得 b 、 :B ” 一 巨 丫一 青补)价)〕/巨 一 青衡) ’ 〕 (7) 。 一 上 全: 一 。 in/ 戈 ( 8) 式 中 , 。 一 样本容 量 . 从而 可 求 出戈 、 b 及 B, ; = L xY /(L x · L : 同 时计算 出表 征 拟 合 直 线 的 线 性 符 合 度 r值 : 力 , / , ( 9 ) 式 中 , “ 一客 鲜一 告补) ’ : Y ; 一 艺: 2一 生 陀: ) ’ `一 ’ n 勺 一 ’ / L xT 一 艺戈丫 - 贵信雄劝

Vol.16 No.5 谈嘉祯等：三参数威布尔分布置信限的确定和C-R一S一N曲线的拟合 .427. ,的绝对值越接近1，说明两个变量之间线性相关的程度越高.但任取的N。不一定是最佳 值，因为根据任取的N。值算出的符合度r的绝对值不一定最接近于1，为此，须对N。进行优 化，求出最佳N。值，其具体方法如下： 设目标函数U=1-rl,以N。为变量，先取N。=Wmm,然后以固定步长(0≤k<I)递 减，即N。=(1-k)N。,目标函数U→O,直到U减小到不能减小为止，此时的N。为最优值， 取最优的N。值及其对应的N。和b值为三参数威布尔分布的特性参数. 3三参数威布尔分布的置信限的确定 为了在威布尔分布概率纸上图解估计寿命与失效率概率的关系，以试验观测到的一系列 寿命值为横坐标值，以相应的累积失效概率为纵坐标值.设样本容量为”，第j个寿命次序观测 值为x,低于此观测值的母体失效百分数为P,即P,=F(ox).因为各个样本的x值是变化 的，故P是一随机变量， 为了确定F(x,Fo),·,Fox,)的量，设母体具有累积分布函数F(x,样本容量为n 的次序随机样本为，心，…，心x是连续变量，定义： P=FCP) (10) 即，P是在样本容量为的第j个次序观测值前的母体失效百分数.再将母体划分为如表1所 示的3个区域 表1母体划分区域 Table 1 Partitioning of population 区域 1 2 区域界限 0 %-1/2do +1/2d P 在区域中得到一个结果 F(-1/2dx) F(oo 1-Fx+1/2dW 的概率 因为第j个结果发生在区域2，所以(-1)个结果必然发生在区域1，且(-》个结果发生 在区域3.假定区域为互斥的，且每个观测值落在一个特定区域的概率为常数，显然，这种情况 可以应用多项式分布.略去1/2x量级的项，并对照多项式分布的标准形式，便可得出(-1) 个结果落在区域1,1个结果落在区域2，(-)个结果落在区域3的概率为： G-Iin-mF(x元dxl-Foyj n! (11) 因为已定义F(x)=P,将式(12)微分，即 dF(x)=(ox)dx=d,P (12) 因此，概率元成为： n! 9P)d.P(((-P)-d, (13) 式中，0≤n≤1. 上式表示的分布在寿命试验中通常称为排列分布，实际上，随机变量，P概率密度函数是 B分布

vo l . 61 N b . 5 谈嘉祯等 : 三参数威布尔分布置信 限 的确定和 C 一 R 一 S一 N 曲线的 拟合 · 427 · ; 的绝 对值越接 近 l , 说 明两个 变量 之 间线性 相 关的程 度越 高 . 但 任取 的 N0 不 一定 是最 佳 值 , 因为根据 任取 的 N0 值算出 的符合 度 ; 的 绝对值 不 一定最 接 近 于 1 . 为 此 , 须 对 N0 进 行 优 化 , 求出最佳 N0 值 , 其具 体 方法 如下 : 设 目标 函 数 U 二 1 一 川 , 以 N0 为变 量 , 先取 N0 = N 而 n , 然后 以 固定步 长 (0 簇 k < l) 递 减 , 即戈 = ( 1 一 k) NO , 目标 函 数 U ~ O , 直 到 U 减小 到不 能 减小 为止 . 此 时 的 N0 为 最 优 值 , 取 最优 的风 值 及其对应 的 aN 和 b 值为三参数威 布 尔分布 的 特性 参数 . 3 三参数威布尔分布 的置信 限的确 定 为 了 在威布 尔分 布概 率纸 上 图解估计寿命 与失效 率概 率 的 关 系 , 以 试 验 观 测到 的 一 系 列 寿命值 为横坐 标值 , 以 相应 的累 积失 效概 率 为纵 坐标值 . 设样本容 量为 n , 第 j 个 寿命次序观测 值为 内 , 低 于 此 观 测 值 的母 体失 效 百 分 数 为 凡 , 即只= F 协 ,.) 因 为各个样 本 的成值 是 变 化 的 , 故 只是 一 随机变 量 . 为 了确定 F 娜 1 ) , F (ox J , … , 凡 尤口的量 , 设 母 体 具 有 累 积 分 布 函 数 F (x) , 样 本 容 量 为 ” 的次序 随机样 本 为 内 , 八 , … , oxn . x 是 连续 变量 , 定 义 : 。 jP = 凡即 ( 10 ) 即 。 尸是 在 样 本 容 量 为 。 的 第 j个 次 序 观 测值前 的母体 失效 百分 数 . 再将 母体 划分 为如表 1所 示 的3个 区 域 . 表 1 母体 划分区域 J谧b晚 l h 圃 kt 丽吃 of 脚仁alI 位扣 区 域 区 域界 限 0 在 区域 中得到一个结果 的概率 l 必 一 l / Z d 。毛 (F 0xj 一 12/ d0 石) 浴 + l /拟式 (F 必减汽 1一 厂几毛+l /Zd ,戌) 因 为第 j 个 结果 发 生在 区 域 2 , 所 以 仃一 l) 个 结果 必然 发 生在 区 域 1 , 且 ( 。 一 )j 个 结 果 发 生 在 区 域 3 . 假 定 区 域 为互斥 的 , 且每 个观 测值 落在 一个 特定 区 域 的概 率 为 常数 . 显然 , 这 种 情 况 可 以 应用 多项式 分布 . 略去 l/ dZ oxj 量 级 的项 , 并 对照多 项式 分布 的标准 形式 , 便 可得 出 仃一 l) 个 结果 落在 区 域 1 , 1 个结 果 落在 区 域 2 , (n 一j) 个 结果 落在 区域 3 的概率 为 : 勺n2) 了.、 、 .傲、 n ! 仃一 l ) ! ( n 一 力! [ F (0xj) ] , - 次汽) d x [ l 一 F心丙刀 ” 一 , 因为 已 定义 F 认 ) = 。 月 , 将 式 ( 1 2) 微 分 , 即 d F钟 = 钟dx 二 d 。 只 因此 , 概率 元成 为 : g众即d 。 jP = n ! C 一 l ) !( n 一 j) ! 。 月 一 ’ ( l 一 。即 ” 一 , d 。 只 ( 13 ) 式 中 , 0 毛 。 月续 上式表 示 的分布 在 寿命试验 中通 常称为排列分布 . 实 际上 , 随机变量 。 只概率 密度 函 数是 口分 布

.428 北京科技大学学报 1994年No.5 因为，P的概率是个随机变量，为了威布尔概率纸上描点，需选择一个简单的值代表，卫， 通常用平均秩或中位秩表示，·，P的平均值是： )=。-a-P旷'1-Pyd,B n! =G-1m-。P1-.P》d,P (14) 对照β函数的标准形式，式(15)可写成： IG+1加n-jtD=jnH) E(.P)=ELF(-1)(n T(nj+1+j+1) n! (15) 上式表示在样本容量为的排列观测值中，第j个观测值前失效百分数的平均秩等于训n+1). 同样，中位值排列也可用来表示，P,即在样本容量为的排列观测值中，第j个观测值前失 效百分数的中位秩为（推导从略）： Fx)≈(0-0.3)/(n+04) (16) 置信限能够在威布尔概率纸上用排列分布得到.现规定W2和W,-2如下： W-2 g(P )d,P,=a/2 g(Pd P =a.2 Jw 因此 g(P从P=1-x (17) JWi- 式中，x为显著度；量W2和W,-2称为100(1-x)%的非参数置信限. 但是在用排列分布进行置信限计算时，同样遇到确定中位秩的积分问题，为此在文献[] 附录VⅢ提供了数表， 因为排列分布是阝分布，故可用一变换得到F分布的随机变量门于是对于x≥0.50， 置信限可由下式求出： W.=jm+j+1)/[F:-0-+w3+j-j+1】 (18) 对于x<0.50 W,=[i/(n-j+I)Fm+j/(n -j+IFxm (19) 式中Fxn,n:一具有自由度为n、n,的F分布. 下面举例说明在威布尔分布概率纸上作置信限的方法.例如从某种零件中任取5个，在特 定应力下进行疲劳试验，分别测得5个疲劳寿命值V1,N,,,N,·然后按本文第2节所 述方法，求得最小寿命N。,计算出(N-N。),(N2-N),,(N一N。)列入表2中.同时按第 2节所述方法，拟合出累积失效概率与寿命(N一N)的关系直线，画在威布尔概率纸上，如图1 所示的直线，各试验点或多或少偏离直线，这是样本误差所致.将所有不在直线上的点水平移 至直线上，例如将A点移至A'点.再从文献[2]附录VⅢ中分别查出5%置信度和95%置信 度时各次序的累积失效概率，也列于表2中，并描点在图1中，例如在通过A'点的纵坐标上

· 4 2 8 · 北 京 科 技 大 学 学 报 19 4年 N b 因为 。 月的概 率 是个 随机 变量 , 为 了威 布尔 概率纸上 描 点 , 需 选 择一 个 简单的值代表 , 月 · 通 常用 平 均秩 或 中位秩 表示 月 · 。 只的平均 值是 : “ ` : 卜 工 ’ , : 川 口一 l ) ! (n 一j) ! 。 月 一 ’ ( l 一 。 即 ” 一 dj , 只 n ! 口一 l ) ! (n 一力! 工 ’ , 只( l 一 。 只) ” 一 , d 。 jP ( 14 ) 对照 刀函 数 的标 准形 式 , 式 ( 1 5) 可 写成 : E ( 。 即 = E 【尸(成刀 _ n ! T仃+ l ) r ( n 一 j + l ) 仃一 l ) ! (n 一力! T (n 一 j + l + j + l ) = j/ ( n +l ) ( 15 ) 上式 表示 在样 本容 量 为 n 的 排列观 测值 中 , 螂个观测值前失 效 百分 数的 平 均 秩等 于 j/ (n 十 1) . 同样 , 中位值排 列也 可 用来表 示 , 只 , 即在 样本容量 为 。 的排 列观测值中 , 第 j 个观测值前失 效百 分 数 的中位 秩 为 (推导从略 ) : F C产户之 C一 0 . 3) /(n + 0 .4 ) 置信 限 能够 在威 布尔 概率 纸上 用排 列分 布得 到 . 现规定 W 妞 和 W l 一 班 如下 : ( 1 6) 上 城 一 ’ ” g 。: ) d · : 一2/ 因此 又 2 式 明 · 只一,2/ 广 、 g` 只” · 只一 ` 一 “ ( 1 7) 式 中 , : 为显 著度 ; 量 w 求 和 W一 二 称为 10 叩 一 : )% 的非参数置 信限 . 但是 在用 排列 分布 进行 置 信 限计算 时 , 同样 遇 到 确 定 中位 秩 的积 分 间题 , 为 此 在 文 献 fl] 附录 V l 提供 了数 表 . 因 为排列 分布是 刀分 布 , 故 可用 一 变 换 得 到 F 分 布 的 随机变 量 【’ .] 于是 对于 : ) .0 50 , 置 信 限可 由下 式 求 出: 城 = j/ ( n + j + l )/ [ F 卜 二 ; 。 一 , + ; ) , ; + j/ ( n 一 j + l )] ( 18 ) 对于 “ < .0 50 城一 口( n 一 j + l ) ] F 、 、 . 、 , 十 , ) /{[ l + j/ ( n 一 j + l ) ]凡 ; . ( 。 一 , + 1) } ( 19 ) 式 中 F , , nl , n Z 一 具 有 自由度为 1 、 n Z 的 F 分 布 . 下面 举例 说 明在威 布尔分 布 概率 纸上 作置 信 限的方 法 . 例 如从某 种 零件 中任取 5 个 , 在 特 定 应力 下 进行疲 劳 试验 , 分 别测得 5 个 疲劳 寿命 值 N , , N Z , … , N 。 . 然 后 按 本 文 第 2 节 所 述 方法 , 求 得最 小 寿命 N0 , 计算 出 ( N . , N 6 ) , ( 凡 一 嵘 , … , (N S一 N0 ) 列 人表 2 中 . 同时 按 第 2节 所述 方法 , 拟 合 出累积 失效 概率 与寿命 ( 筑 一 N0 ) 的关 系直 线 , 画 在威 布尔 概率 纸上 , 如 图 1 所示 的直线 . 各 试验 点 或多 或少偏 离直 线 , 这 是样 本误差所 致 . 将所有 不在 直 线 上 的点 水 平 移 至直 线 上 , 例如 将 A 点移 至 ’A 点 . 再 从文献 2[] 附 录 V I 中分别 查 出 5 % 置信度 和 95 % 置信 度 时各次序 的累 积失 效概 率 , 也 列于表 2 中 , 并 描点 在 图 1 中 . 例 如 在 通 过 A ’ 点 的 纵 坐标上

6L.16No.5 谈嘉桢等：三参数威布尔分布置信限的确定和C-R一S-N曲线的拟合 .429 分别取1.201%或45.072%描点.将同置信度的各点联成曲线，即分别获得5%和95%的 置信曲线，由图1中可看出，失效概率为10%（即可靠度为90%）的横线与95%置信线、 直线（即置信线度为50%）和5%置信线分别相交于B、C、D点.这3点的横坐标值加N。,就 是置信度分别为95%、50%和5%时，可靠度为90%的疲劳寿命值 上述过程亦可在计算机上实现，所不同的是各次序的置信限用式(18)或(19)计算，置信曲 线用抛物线拟合即可. 表2疲劳寿命和置信限 Table 2 Fatigue life and comfidence limit 序数 N-No,×10 5%置信度时的累积失效概率/% 95%置信度时的累积失效概率% 1 3.2 1.021 45.072 3.9 7.644 65.741 5 18.925 81.075 7.1 34.259 92.356 9.6 54.928 98.979 99.0 90.0 70.0 0 50.0 30.0 20.0 图1在威布尔概率纸上确定置信度 10.0 A Fig.1 Confidence limit construction on 5.0 Weibull paper 3.0 置信曲 2.0 1.0 0.5 1235 1×103 1×10° N-N。 4C-R-S-N曲线的拟合 为了拟合C-R-S-N曲线，可将试件分组，分别在4~5个应力水平上试验.将各应力 水平上试验所得的疲劳寿命值进行排列，按第2节所述方法估计分布参数，按第3节所述方法 求出具有一定置信度C、各种可靠度下的疲劳寿命NR值. 疲劳曲线经验表达式为：S·N=CcR (20) 式中，SR一具有一定置信度和可靠度的疲劳强度（或称疲劳极限应力）；NR一具有一定置 信度和可靠度的疲劳寿命；CCR一常数

物 1 . 61 N b . 5 谈嘉祯等 : 三参 数威 布尔分 布置 信限的确定和 C 一 R 一 S一 N 曲线的 拟合 . 42 9 · 分 别 取 1 . 2 01 % 或 45 .0 27 % 描 点 . 将 同 置 信 度 的 各 点 联 成 曲 线 , 即 分 别 获 得 5% 和 95 % 的 置信 曲线 , 由图 1 中 可看 出 , 失 效 概 率为 10 % ( 即可 靠 度 为 90 % ) 的横 线 与 95 % 置 信线 、 直 线 (即置 信线 度为 50 % ) 和 5 % 置 信线 分别 相交于 B 、 C 、 D 点 . 这 3 点 的横 坐标值加 N 。 , 就 是置 信度 分别 为 95 % 、 50 % 和 5% 时 , 可 靠度 为 90 % 的疲劳 寿命值 . 上 述过程 亦 可在计算机 上 实现 , 所 不 同的是各 次序 的置信 限 用式 ( 18) 或 ( 19) 计算 , 置信 曲 线用 抛 物线拟 合 即可 . 表 2 疲劳寿命和里信限 aT 城 Z aF 傀脾 旋 . 回 。 扣丘抽盆忍 枷l i t 序数 N 一 N0 , x l护 5% 置信度 时的累积失效概率 /% 95 % 置信度 时的 累积失效概率 /% 4 .5 07 2 65 . 74 1 8 1 . 07 5 92 . 356 9.8 979 州021928.5 18.7L 一,n 1 .1 / . D … 门àù气、,`,了Q 产 99 . 0 90 .0 70 . 0 50 . 0 门门日日而 曰日日印 门门门门丁印 门门日 门 门门 门 曰 门 门 门 日 门 门 日 丽 门 m 刊 下 } } } 侧 门 门门 } 日 门 曰 门 门了 幸于 曰尸日日汀们门 门/ 一尸「日「丽 Z 门 ) D . 厂 厂 厂厂「 厂 丽 叮 } { 两{这刀 r e 黔颁 l] 口 门万 } 厂厂m / { 田下 } 图 1 在威布 尔概 率纸上确定置信度 月 9 . 1 C . 云如耽 价川t “ 曰由肋币叨 叨 一ǎ息叫! 一 `, 一 :0 302 罗ù 工口 认讨加山 碑伴r à 1J 一日 一 .10 à2 .503 ó nU戈ùC … 2 心.1 0 N 一 N0 4 C 一 R 一 S 一 N 曲线的拟合 为 了拟 合 C 一 R 一 S 一 N 曲线 , 可将 试件分组 , 分别 在 4 一 5 个应力 水平上 试 验 . 将 各 应 力 水平 上 试验 所得 的疲 劳寿命值进行排 列 , 按第 2 节 所述 方法 估计分布参数 , 按 第 3 节 所述 方 法 求 出具有 一 定置信 度 c 、 各 种可 靠 度下 的疲 劳寿命 N cR 值 . 疲劳 曲线 经验表 达式 为 : 暇 · 戈 R 二 q 只 (2 0) 式 中 , 凡 R 一 具有 一定 置信度 和可靠度 的疲劳 强度 (或称 疲 劳 极 限 应 力 ) ; 八几 R 一 具 有 一 定 置 信度 和 可靠 度 的疲劳 寿命 ; Q R 一 常数

·430 北京科技大学学报 1994年No.5 将式(20)两边取对数，并令：Y=InScx,a=-l/m,X=lnNc,B=l/mlnCcR,则式(20)在双 对数坐标系中为直线方程： Y=aX+B (21) 用最小二乘法将置信度和可靠度均相同的各应力水平上的点进行直线拟合，可得出 C-R-S一N方程簇；同时求出相应的线性符合度r值，r的绝对值必须大于或等于文献2]附 表4中所规定的最小值，上述方程簇才有效.取N=(循环基数)代人C-R-S一N方程， 即可解出相应的疲劳极限值，这个疲劳极限不仅具有规定的可靠度，还具有规定的置信度. 5结论 本文解决了三参数威布尔分布置信限不能确定的难题，并为机械零件疲劳试验研究中的 数据处理提供了更为先进的手段.这种方法已成功地在航空齿轮、25C2MoV离子渗氮齿轮 等的试验研究中应用，提高了研究结果的可信度和准确度. 参考文献 1 Kapur K C.Lamberson L R.Reliability in Engineering Design.New York:John Wiley Sons Inc, 1997.291~338.486~497 2高镇同.疲劳应用统计学.北京：国防工业出版社，1986.82~169

4 30 北 京 科 技 大 学 学 报 1卯4 年 N b . 5 将式 ( 02 )两 边 取 对数 , 并 令 Y = 1` 又 R , 。 = 一 1m/ , X 司刀N 七 R , B = 1加in 嗽 , 则 式 ( 20 ) 在 双 对数坐标 系 中 为直 线方程 : Y = a X + B ( 2 1) 用 最 小二 乘法 将 置信度 和可 靠 度 均相 同 的 各 应力 水 平 上 的 点 进 行直 线 拟 合 , 可 得 出 C 一 R 一 S 一 N 方程 簇 ; 同时求出相 应的线性 符合度 ; 值 , ; 的绝 对值 必 须大 于 或 等 于 文 献 2[] 附 表 4 中所规定 的最 小值 , 上述 方程簇才有效 . 取 从 R = 戈 ( 循环基数) 代人C 一 R 一 S 一 N 方程 , 即可解 出相 应的疲 劳极 限值 . 这个 疲 劳极 限不 仅 具有 规定 的可 靠 度 , 还 具有 规定 的置 信度 . 5 结论 本文 解 决 了三参数威 布尔 分布 置信限不 能确 定 的难题 , 并 为 机械零 件疲 劳 试 验 研究 中的 数 据处理 提供 了更为 先进 的手 段 . 这种 方法 已成 功地 在航 空 齿轮 、 25 C r ZM vo 离 子 渗氮齿 轮 等 的试验 研究 中应用 , 提 高 了研究结 果 的可信 度 和准 确度 . 参 考 文 献 K a P ur K C , L a m比 osI n L R . R e ial b ilj ty in E n igr 眯而唱 1) 留咖 . Ne w oY rk : oJ ho W Ue y & oS m nI c , l卯7 . 29 1 一 338 , 48 6一 49 7 高镇 同 . 疲劳应用统计学 . 北京 : 国防工业 出版社 , 19 86 . 82 一 1困