南京航空航天大学：《材料力学》第十三章 能量方法

材料力学 第十三章 能量方法 2021年2月2日

1 材 料 力 学 2021年2月21日 第十三章 能 量 方 法

第十三章能量方法 本章内容: 1概述 2杆件变形能的计算 3变形能的普遍表达式 4互等定理 5卡氏定理 6虚功原理 7单位载荷法莫尔积分 8计算莫尔积分的图乘法

2 第十三章 能量方法 本章内容: 1 概述 2 杆件变形能的计算 3 变形能的普遍表达式 4 互等定理 5 卡氏定理 6 虚功原理 7 单位载荷法 莫尔积分 8 计算莫尔积分的图乘法

§13.1概述 能量原理 与功和能有关的定理,统称为能量原理 运用能量原理求解问题的方法称为能量法。 功能原理 外力的功等于变形能 U=W 513.2杆件变形能的计算 1轴向拉伸或压缩 U=W=/s、2 P 2EA

3 §13. 1 概述 能量原理 与功和能有关的定理，统称为能量原理。 运用能量原理求解问题的方法称为能量法。 功能原理 外力的功等于变形能: U =W §13. 2 杆件变形能的计算 1 轴向拉伸或压缩 U =W= Pl 2 1 EA P l 2 2 = P l  l

513.2杆件变形能的计算 1轴向拉伸或压缩 U=W=-P1/ P2I 2EA 轴力N是x的函数时aU N(x)dx P 2EA N(x)dx 2EA 应变能密l=og 度 2E

4 §13. 2 杆件变形能的计算 1 轴向拉伸或压缩 U =W= Pl 2 1 EA P l 2 2 = 轴力N是x的函数时 EA N x x U 2 ( )d d 2 =  = l EA N x x U 2 ( )d 2 应变能密 度  2 1 u = 2E 2  = P l  l

U N(rdx 2EA 应变能密度t-=oe O 2E 2纯剪切 应变能密度 y 2G 3扭转 ml U=w=-mp E 2Gl B 扭转杆的扭矩m与扭转角中的关系曲线

5  = l EA N x x U 2( ) d 2 应变能密度  21 u = 2 E2  = 2 纯剪切  21 u = 2 G2  应变能密度 = 3 扭转 U = W m 21 = GI p m l 2 2 =

3扭转 U=W=mo ≈ 2Gl 中 B 扭矩T是x的函数时 扭转杆的扭矩m与扭转角中的关系曲线 U T()d 2G/ 4弯曲 纯弯曲时 ≈ 转角d0m dx el

6 3 扭转 U =W m 2 1 = GI p m l 2 2 = 扭矩T是x的函数时  = l GI p T x x U 2 ( )d 2 4 弯曲 纯弯曲时 转角 EI m x = d d

4弯曲 纯弯曲时 转角dO ≈ dx EI B d E 纯弯曲时各截面的弯矩相等,m为常数。 d b、ml O El E 变形能 U=W=Imo m 2EI

7 4 弯曲 纯弯曲时 转角 EI m x = d d x EI m d = d 纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。  = l x EI m 0  d EI ml  = 变形能 U =W m 2 1 = EI m l 2 2 =

1m△ b、m O El El 变形能 U=W=-m6 2EI 横力弯曲时 对细长梁,剪力引起的变形能与弯矩引起的变 形能相比很小,通常可忽略不计。 横力弯曲时,弯矩是x的函数。 du M(xdx 2EI (x)dx 2EI

8  = l x EI m 0  d EI ml  = 变形能 U =W m 2 1 = EI m l 2 2 = 横力弯曲时 对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变 形能相比很小，通常可忽略不计。 横力弯曲时，弯矩是x的函数。 EI M x x U 2 ( )d d 2 =  = l EI M x x U 2 ( )d 2

du M(x)dx U-M( x)dx 2EI 2EI 5用广义力和广义位移表示变形能 可将U=1P△,U=m,U me 2 统一写为 P U=W=-Pδ dP 6非线性弹性材料的变形能 U=W= PdS o da 0

9 EI M x x U 2 ( )d d 2 =  = l EI M x x U 2 ( )d 2 5 用广义力和广义位移表示变形能 U =W P 2 1 = , 2 1 可将 U = Pl 统一写为 , 2 1 U = m U m 2 1 = 6 非线性弹性材料的变形能 U =W d , 1 0    = P     = 1 0 u d

例1(书例10.1) 已知:圆截面半圆 曲杆,P,REL G R dop T 求:A点的垂直位 移。 解:1求内力 截面m,取左段 M=PRsi p T=PR(1-coS o) 2变形能dU MORdo TOrdo 2ET 2Gl P

10 例 1 (书例10.1) 已知 : 圆截面半圆 曲杆，P , R, EI, GIp 。 求 ： A点的垂直位 移。解：1 求内力 截面mn, 取左段 M T M = PRsin  , T = PR ( 1 − cos ) 2 变形能 EI M R U 2( ) d d 2   = GI p T R 2( ) d 2   +