《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第6章 De Rham理论 6.5 Poincar´e对偶及其应用.pdf_大学文库

‶‮‵ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶及其应用 6.5 Poincar´e对偶及其应用对偶性是数学中一个极其优美的现象，在几乎每个数学分支中都会出现，并产生极大的影响‮ 在各种对偶现象中，⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶是代数拓扑中的一个核心定理，以各种面貌出现在各种同调与上同调理论中。本节研究的是披着“分析学外衣”的 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶，即 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群与紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群之间的对偶，以及与之相关的上同调群与子流形间的对偶‮ 6.5.1 Poincar´e对偶 ¶ Poincar´e 对偶定理首先不妨仔细观察一下之前算出的一些流形的 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群与紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群，对于 M ‽ R m，有 Hk dR R m  ≃    R, k ‽ ‰, ‰, k ̸‽ ‰, 和 Hk c  R m  ≃    R, k ‽ m, ‰, k ̸‽ m. 对于 M ‽ S m，有 Hk c  S m  ‽ Hk dR S m  ≃    R, k ‽ ‰, m, ‰, k ̸‽ ‰, m. 对于任意 m 维连通定向流形，有 H‰ dR M  ≃ R, Hm dR M  ≃    R, M 是紧的 ‰, M 是非紧的以及 Hm c  M  ≃ R, H‰ c  M  ≃    R, M 是紧的 ‰, M 是非紧的‮ 注意即使 M 不连通也可算出类似结果：若 M 有 K < ∞ 个连通分支，其中 Kc 个是紧连通分支，则对于前者，只要把 R 改为 R K‬ 对于后者，只要把 R 改为 R Kc ‮ 对于任意 m 维连通不可定向流形 M，有 H‰ dR M  ≃ R, 而 H‰ c  M  ≃    R, M 是紧的 ‰, M 是非紧的以及 Hm dR M  ‽ Hm c  M  ‽ ‰. 注意若 M 不连通，则相应的公式依赖于 M 的各连通分支的紧性与可定向性‮ 从这些例子中‬ 除了最后一个不可定向流形外，不难观察到明显的对偶性：m 维可定向流形 M 的 k 阶 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群“应该”与它的 m − k 维紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群是一样的‮ 这不是一种巧合(但也并不总是一种事实，见注6.5.3)：事实上 ⁈‮ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 最早在 ‱‸‹″ 年就(在 Betti 数的层面)观察到这种现象，因而被命名为 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶‮ ‱‸′

‶‮‵ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶及其应用 ¶ Poincar´e对偶：证明概要虽然 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶对于任意定向流形都成立，本节将仅仅对“存在有限好覆盖的定向流形”给出 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶性的证明概要‮ 首先，根据本章第′节与第″节所述，对于光滑流形 M，设 U, V 是 M 中的开集且满足 M ‽ U ∪ V ‬ 则可以写出两个正合列，即 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群正合列 · · · δk−1 −→ Hk dR M  αk −→ Hk dR U  ⊕ Hk dR V   βk −→ Hk dR U ∩ V   δk −→ H k‫‱ dR  M  αk+1 −→ · · · 和紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群正合列 · · · δ c k−1 −→ Hk c  U ∩ V   β c k −→ Hk c  U  ⊕ Hk c  V   α c k −→ Hk c  M  δ c k −→ Hk‫‱ c  U ∩ V   β c k+1 −→ · · · . 对于第二个正合列取其对偶，可得新的正合列 · · ·→Hm−k c  M  ∗  α c m−k   ∗ −→ Hm−k c  U  ∗⊕Hn−k c  V   ∗  β c m−k   ∗ −→ Hm−k c  U∩V   ∗  δ c m−k−1   ∗ −→ Hm−k−‱ c  M  ∗→· · · . 假设 M 是定向流形，则第一个和第三个正合列的对应项恰好可以由 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶映射 P ∗ M 联系起来，从而给出如下图表 · · · Hk dR M  Hk dR U  ⊕ Hk dR V   Hk dR U ∩ V   H k‫‱ dR  M  · · · · · · Hm−k c  M  ∗ Hm−k c  U  ∗ ⊕ Hm−k c  V   ∗ Hm−k c  U ∩ V   ∗ Hm−k−‱ c  M  ∗ · · · α Pk M β Pk U ⊕Pk V  −‱ k+1δ Pk U∩V P k+1 M α ∗ β ∗ δ ∗ 下面证明引理 6.5.4 上述图表是交换图表 ♢ ‮ 证明仅验证最后一个框的交换性，即 P k‫‱ M ◦  −‱ k‫‱δk ‽  δ c k   ∗ ◦ Pk U∩V . 为此，取定从属于 U, V 的单位分解 ρU , ρV ‮ 设 ⁛ω⁝ ∈ Hk dR U ∩ V  ‬ 则由定义，δk ⁛ω⁝  ‽ ⁛dρV ∧ ω⁝‮ 于是，映射 P k‫‱ M ◦  −‱ k‫‱δk 将 ⁛ω⁝ 映为映射 ⁛η⁝ ∈ Hm−k−‱ c  M  7→ ˆ M  −‱ k‫‱dρV ∧ ω ∧ η. 另一方面，P k U∩V 将 ⁛ω⁝ ∈ Hk dR U ∩ V   映为映射 η ∈ Hm−k c 7→ ˆ U∩V ω ∧ η. 那么， δ c m−k−‱   ∗ 将它映为什么映射呢？回忆一下，若 L › V → W 是线性映射，则 L ∗ › W∗ → V ∗ 将 f ∈ W∗ 映成 L ∗  f  v  ‽ f Lv ‮ 于是作为 Hm−k−‱ c  U ∩ V   上的线性泛函， δ c k   ∗ ◦ Pk U∩V 把 ⁛η⁝ ∈∈ Hn−k−‱ c  M  映为 ˆ U∩V ω ∧ δ c m−k−‱  ⁛η⁝ . 由于 δ c m−k−‱  ⁛η⁝  ‽ ⁛dρU ∧ η⁝，上式等于 ˆ U∩V ω ∧ dρU ∧ η ‽  −‱ k‫‱ ˆ M dρV ∧ ω ∧ η, 这就是欲证的结论‮ □ ‱‸‴

‶‮‵ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶及其应用证明 ⁛存在有限好覆盖的定向流形 M 的⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶的证明概要⁝ 用归纳法‮ 若 M 具有“由一个开集组成的好覆盖”，则 M ≃ R n，于是由 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调以及紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调的 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 引理可知当 k ̸‽ ‰ 时 P k M (作为0 维线性空间之间的线性映射)自动是线性同构，而当 k ‽ ‰ 时结合例‶‮‵‮‱ 可知 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶映射 P ‰ M 把 ⁛‱⁝ ∈ H‰ dR M  映为非零元 ´ M ∈  Hm c  M  ∗ ≃ R，从而是满射‮ 于是 P ‰ M (作为1 维线性空间之间的线性映射)是线性同构‬ 即定理成立‮ 现在假设定理对于“具有不超过 k − ‱ 个开集组成的好覆盖的流形”都成立‮ 设 M 有好覆盖 {U‱, · · · , Uk}‮ 令 U ‽ U‱ ∪ · · · ∪ Uk−‱ 和 V ‽ Uk. 则 U, V 和 U ∩ V 都有不超过 k − ‱ 个开集的好覆盖‮ 根据归纳假设， P k U ‬ P k V 和 P k U∩V 都是同构‮ 由前述引理以及五引理(即引理6.2.13) 可知 P k M 是一个同构‮ □ 6.5.2 Poincar´e对偶的应用 ¶ 应用 1：紧支 de Rham 上同调群的K¨unneth公式利用 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶，对于定向流形，不难把紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群的结论归约到相应的 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群‮ 例如，用 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群的 ⁋ⁿ⁵⁮⁮⁥⁴⁨ 公式可得推论 6.5.5. (紧支 de Rham 上同调群的K¨unneth公式) ♡ 如果 M, N 都是存在有限好覆盖的定向流形，则 Hk c  M × N  ≃ M k i‽‰ Hi c  M  ⊗ Hk−i c  N . 证明设 ⁤⁩⁭ M ‽ m, ⁤⁩⁭ N ‽ n‮ 由 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶和 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群的 ⁋ⁿ⁵⁮⁮⁥⁴⁨公式， Hk c  M × N  ≃ H m‫n−k dR  M × N  ≃ mM ‫n−k i‽‰ Hi dR M  ⊗ H m‫n−k−i dR  N . 指标 i 满足 i ≤ m 且 m ‫ n − k − i ≤ n，即 m − k ≤ i ≤ m‮ 因此 Hk c  M × N  ≃ Mm i‽m−k Hi dR M  ⊗ H m‫n−k−i dR  N  ≃ M k i‽‰ H m−i dR  M  ⊗ H n−k‫i dR  N . 再由 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶即得欲证‮ □ 特别地，推论 6.5.6 ♡ 对于任意定向流形 M，如果其紧支集上同调群都是有限维的，则 Hk‫l c  M × R l   ≃ Hk c  M . 这两个结论对于更一般流形也成立‮ ‱‸‵

‶‮‵ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶及其应用 ¶ 应用 2：Betti数和Euler示性数下面给出 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶在 ⁂⁥⁴⁴⁩ 数和 ⁅⁵⁬⁥⁲ 示性数方面的一些应用‮ 回忆一下 m 维光滑流形 M 的 ⁂⁥⁴⁴⁩数和⁅⁵⁬⁥⁲示性数分别是 bk ‽ ⁤⁩⁭ Hk dR M  和 χ M  ‽ Xm k‽‰  −‱ k bk. 下面证明命题 6.5.7. (Betti数的性质) ♠ 设 M 是m 维紧定向流形，则  ‱  对于任意 k‬ bk ‽ bm−k.  ′  如果 m ‽ ‴n ‫ ′，则 b′n‫‱ 是偶数‮ 证明  ‱  由以下事实可得： Hk dR M  ≃ Hm−k c  M  ‽ H m−k dR  M .  ′  考虑双线性配对函数 P ′n‫‱ M › H ′n‫‱ dR  M  × H ′n‫‱ dR  M  → R. 对于任意 ⁛ω⁝, ⁛η⁝ ∈ H ′n‫‱ dR  M ‬ 由定义， P ′n‫‱ M  ⁛ω⁝, ⁛η⁝  ‽ ˆ M ω ∧ η ‽ ˆ M  −‱  ′n‫‱  ′n‫‱ η ∧ ω ‽ −P′n‫‱ M  ⁛η⁝, ⁛ω⁝ . 固定一组基后，双线性函数 P ′n‫‱ M 对应的矩阵 P 是反对称的 b′n‫‱ × b′n‫‱ 矩阵，故 ⁤⁥⁴ P  ‽ ⁤⁥⁴ P T   ‽  −‱ b2n+1 ⁤⁥⁴ P . 另一方面，由于 P ′n‫‱ M 是非退化的，所以 ⁤⁥⁴ P  ̸‽ ‰‬ 于是 b′n‫‱ 一定是偶数‮ □ 由此可得定理 6.5.8. (紧定向流形的Euler 示性数) ♡ 设 M 是紧定向流形‮  ‱  如果 ⁤⁩⁭ M ‽ ′n ‫ ‱，则 χ M  ‽ ‰.  ′  如果 ⁤⁩⁭ M ‽ ‴n ‫ ′，则 χ M  是偶数‮ 证明  ‱  设 ⁤⁩⁭ M ‽ ′n ‫ ‱，则由 bk ‽ b′n‫‱−k 可得 χ M ‽ ′ Xn‫‱ k‽‰  −‱ k bk ‽ Xn k‽‰  −‱ k bk ‫ ′ Xn‫‱ k‽n‫‱  −‱ k b′n‫‱−k ‽ Xn k‽‰   −‱ k‫ −‱ ′n‫‱−k  bk ‽ ‰.  ′  设 ⁤⁩⁭ M ‽ ‴n ‫ ′，则类似地计算可得 χ M  ‽ ‴ Xn‫′ k‽‰  −‱ k bk ‽ X ′n k‽‰   −‱ k ‫  −‱ ‴n‫′−k  bk ‫ b′n‫‱. 因为  −‱ k ‫  −‱ ‴n‫′−k ‽ ±′，而且 b′n‫‱ 是偶数，所以 χ M  是偶数‮ □ 注意不可定向流形，定理不必不成立，例如 χ RP′   ‽ ‱ 不是偶数‮ ‱‸‶

‶‮‵ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶及其应用注 6.5.9. 对于 m ‽ ‴n 维紧致定向流形 M，由 ˆ M ω ∧ η ‽ ˆ M η ∧ ω, ∀ω, η ∈ ′n  M  可知 P ′n M › H′n dR M  × H′n dR M  → R 是对称映射‮ 记该映射的符号(即对应对称阵的正特征值个数与负特征值个数之差)为 ⁳⁧⁮ M ‮ 这个不变量在研究 ‴n 维流形尤其是 ‴ 维流形时起到了重要作用‮ 例如，通过利用某种形式的 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶以及线性代数论证，可以证明定理 6.5.10. (边界的拓扑限制) ♡ 若 M 是 ‴n 维紧致定向流形‬ 且存在 ‴n ‫ ‱ 维紧致定向带边流形 N 使得 M ‽ ∂N，则 ⁳⁧⁮ M  ‽ ‰‮ 例如考虑 ‴n 维定向流形 CP′n › 由 H′n dR CP′n   ‽ R 可知 ⁳⁧⁮ CP′n   ̸‽ ‰，从而它不是任意 ‴n ‫ ‱ 维紧致定向带边流形的边界‮ ¶ 子流形的Poincar´e对偶设 M 是 m 维定向流形且其 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群都是有限维的， ι › S ,→ M 是余维数为 r 的定向闭子流形‮ 则映射 ˆ S › Hm−r c  M  → R, ⁛η⁝ 7→ ˆ S ι ∗ η 确定了  Hm−r c  M  ∗ 中的一个元素 ´ S ‮ 因此由 ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶，可得 Hr dR M  中的元素 ⁐⁤M S  ‽  P r M  −‱   ´ S  ，它由下述性质刻画：若 ω ∈ Z r  M  是 ⁐⁤M S  ∈ Hr dR M  的代表元，则 ˆ S ι ∗ η ‽  −‱ r m−r  ˆ M η ∧ ω, ∀⁛η⁝ ∈ Hm−r c  M . 定义 6.5.11. (子流形的 Poincar´e对偶) ♣ 设 M 是 m 维定向流形而 S 是其余维数为 r 的定向闭子流形，则称上述定义的 ⁐⁤M S  ∈ Hr dR M  为 S 在 M 中的 Poincar´e对偶‮ 例 6.5.12. 设 M 是 m 维闭定向流形，则 M 是 M 的自身的定向闭子流形‮ 根据定义，H‰ dR M  中与（子）流形M 对应的元素是 ⁛‱⁝ ，即 ⁐⁤M M  ‽ ⁛‱⁝. 例 6.5.13. 设 M 是 m 维定向闭流形‬ f › M → M 为光滑映射‮ 令 ι › f ‽ { x, f x   | x ∈ M} ,→ M × M 为 f 的图像子流形‮ 下面计算它在 M × M 中的⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥ 对偶‮ 为此，首先令 {⁛ω j i ⁝ | ‱ ≤ i ≤ bj} 为 H j dR M  的基，其中 bj ‽ ⁤⁩⁭ H j dR M ，再令 {⁛ν m−j i ⁝ | ‱ ≤ i ≤ bm−j ‽ bj} 为上述基在 H m−j dR  M  中(关于Poincar´e对偶)的对偶基，即 ˆ M ω j i ∧ ν m−j k ‽ δik, ∀‱ ≤ i, k ≤ bj . 记 π‱ › M × M → M 和 π′ › M × M → M 分别为 M × M 到两个分量上的典范投影映射‮ 根据 ⁋ⁿ⁵⁮⁮⁥⁴⁨ 定理‬ {⁛π ∗ ‱ω j i ∧ π ∗ ′ ν m−j k ⁝ | ‰ ≤ j ≤ m, ‱ ≤ i, k ≤ bj} ‱‸‷

‶‮‵ ⁐⁯⁩⁮⁣⁡⁲–⁥对偶及其应用构成了 Hm dR M × M  的基‮ 进一步计算可得 ˆ M×M  π ∗ ‱ω j i ∧π ∗ ′ ν m−j k  ∧ π ∗ ‱ ν m−u s ∧π ∗ ′ω u t  ‽  −‱ m m−j  ˆ M×M π ∗ ‱  ω j i ∧ν m−u s  ∧π ∗ ′  ω u t ∧ν m−j k   ‽  −‱ m m−j  δju ˆ M  ω j i ∧ ν m−j s   ˆ M  ω j t ∧ ν m−j k   ‽  −‱ m m−j  δjuδisδtk. 为了计算 ⁐⁤M×M  f   ∈ Hm dR M × M ，设 ⁐⁤M×M  f   ‽ X i,j,k c i,k j ⁛π ∗ ‱ω j i ∧ π ∗ ′ ν m−j k ⁝. 记 ω ‽ P i,j,k c i,k j π ∗ ‱ω j i ∧ π ∗ ′ ν m−j k ，则 ⁛ω⁝ ‽ ⁐⁤M×M  f  ，从而对任意固定的 u, s, t‬ 有 ˆ M×M  π ∗ ‱ ν m−u s ∧ π ∗ ′ω u t   ∧ ω ‽  −‱ r m−r  ˆ f ι ∗  π ∗ ‱ ν m−u s ∧ π ∗ ′ω u t  . 上式左边为 ⁌⁈⁓ ‽  −‱ mX i,j,k c i,k j ˆ M×M  π ∗ ‱ω j i ∧ π ∗ ′ ν m−j k   ∧  π ∗ ‱ ν m−u s ∧ π ∗ ′ω u t   ‽  −‱ muc s,t u . 对于右边，考虑保定向微分同胚 φ › M → f , φ x  ‽  x, f x  , 则 π‱ ◦ ι ◦ φ ‽ ⁉⁤‬ 而 π′ ◦ ι ◦ φ ‽ f‮ 设线性映射f ∗ › H j dR M  → H j dR M  为 f ∗  ⁛ω j i ⁝  ‽ X k A ki j ⁛ω j k ⁝. 则  −‱ r m−r  · ⁒⁈⁓ ‽ ˆ M φ ∗ ι ∗  π ∗ ‱ ν m−u s ∧ π ∗ ′ω u t   ‽ ˆ M ν m−u s ∧ f ∗ω u t ‽  −‱ u m−u A st u . 所以 c s,t u ‽  −‱ r m−r   −‱ uAst u ，因此 ⁐⁤M×M  f   ‽  −‱ r m−r X i,j,k  −‱ jA ik j ⁛π ∗ ‱ω j i ∧ π ∗ ′ ν m−j k ⁝. 由此可得命题 6.5.14. (Poincar´e 对偶在对角线的积分) ♠ 设 M 是紧致定向流形，f › M → M 是光滑映射‬ ι‰ › → M × M 是 M × M 中的对角线流形‬ ω ∈ Hm dR M × M  是 ⁐⁤M×M  f   的代表元‮ 则  −‱ m ˆ ι ∗ ‰ω ‽ X j  −‱ j ⁴⁲ f ∗ |H j dR M   . 证明考虑保定向微分同胚 φ‰ › M → , φ‰ x  ‽  x, x ‮ 则  −‱ m ˆ ι ∗ ‰ω ‽  −‱ m ˆ M φ ∗ ‰ ι ∗ ‰ω ‽ X j  −‱ j X i,k A ik j ˆ M ω j i ∧ ν m−j k ‽ X j  −‱ j X i A ii j ‽ X j  −‱ j ⁴⁲ f ∗ |H j dR M   . □ ‱‸‸