《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第4章李群初步 4.3 Lie子群.pdf_大学文库

4.3 Lie 子群 4.3 Lie 子群在定义了 Lie 群与 Lie 代数，并初步研究了它们之间的对应之后，本节将在 Lie 群与 Lie 代数这两个范畴里定义子对象，并在“给定 Lie 群的所有 Lie 子群”和“其对应 Lie 代数的所有 Lie 子代数”之间的建立一个良好的对应关系。 4.3.1 Lie 子群 v.s.Lie 子代数 ¶ Lie 子代数显然，Lie 群 G 的 Lie 子群应当同时是 G 的子流形和 G 的子群；相应地，Lie 代数 g 的 Lie 子代数应当同时是 g 的线性子空间和在 g 的 Lie 括号下的 Lie 代数。唯一有一点需要厘清的是：在定义 Lie 子群时，是应当要求 Lie 子群是光滑子流形(即嵌入子流形), 还是只需要是浸入子流形？答案是“以目的为导向，适者生存”：哪种定义能给出更好的“Lie 子群-Lie 子代数对应”就用哪种定义。为此，先研究 Lie 子代数 (其定义是清楚的)，再研究对应的 Lie 子群。定义 4.3.1. （Lie 子代数） ♣ 若 h 是 Lie 代数 g 的一个线性子空间，且满足 [X, Y ] ∈ h, ∀X, Y ∈ h, 则称 h 为 g 的 Lie 子代数。例 4.3.2. 考虑 Lie 代数 g = gl(2, R)，以及它的线性子空间 h1 = ®Ça 0 0 0å : a ∈ R ´ , h2 = ®Ça 0 0 b å : a, b ∈ R ´ , h3 = ®Ça b 0 0å : a, b ∈ R ´ 容易验证它们都是 g = gl(2, R) 的 Lie 子代数. 注意 h1 是一个 1 维的交换 Lie 子代数, h2 是一个 2 维的交换 Lie 子代数, 而 h3 是一个 2 维的非交换 Lie 子代数. 它们对应的 GL(2, R) 的 Lie 子群并不唯一，其中连通 Lie 子群分别是 (将 x > 0 等改为 x 6= 0 就得到对应的不连通子群) H1 = ®Çx 0 0 1å : x > 0 ´ , H2 = ®Çx 0 0 y å : x, y > 0 ´ , H3 = ®Çx y 0 1å : x > 0, y ∈ R ´ 此外， V1 = ®Ç0 a b 0 å : a, b ∈ R ´ , 是 g 的子空间，却不是它的 Lie 子代数。 ¶ Lie 子群上面这个例子里，几个 Lie 子代数对应的 Lie 子群都是嵌入子流形。然而，下面这个例子则不然：例 4.3.3. 考虑交换 Lie 群 G = T 2，它的 Lie 代数是赋有平凡 Lie 括号 [·, ·] ≡ 0 的 2 维平凡 Lie 代数 g = R 2 . 于是 R 2 的任意线性子空间都是 g 的 Lie 子代数. 因为 0 维和 108

4.3Lie子群2维的情形过于平凡，下面仅考虑1维子代数。任取一个g的1维Lie子代数，hα=R2中斜率为α且过原点的直线.为了得到对应于Lie代数h。的G的Lie子群，需要区分有理斜率的直线与无理斜率的直线：若α=p/q,其中p,q为互素的整数，那么G的具有Lie代数ha的Lie子群等于H"= HP.q := [(eipt,eiqt) I tE R)这类子群全都同构于Sl，并且全都是T2的嵌入子流形，然而，如果α是无理数，那么相应的Lie子群就都是“稠密曲线”，形如H% := {(eit,eiat) [ t e R],它们都只是T?中的浸入子流形，且都同构于R。由于H=T2，它们都不是嵌入子流形。于是，Lie子群“应当”定义为仅要求是浸入子流形而非光滑子流形定义4.3.4（Lie子群）设H是Lie群G的子群，同时也是G的浸入子流形,且群乘法μH：H×H→H(关于H本身的光滑结构）是光滑映射，则称H为G的Lie子群品注4.3.5.事实上，只需假定群乘法μH：H×H→H是连续映射。若H是G的Lie子群，那么包含映射tH：H→G是一个单射Lie群同态LH(μH(h1,h2))=μG(H(h1),LH(h2))注意根据定义，G的Lie子群H上的拓扑与光滑结构不必是作为G的子集从G上继承而来的.注4.3.6.根据例4.3.3，紧Lie群的Lie子群可能是非紧的。Lie子群的Lie子代数下面假设tH：H→G是一个Lie子群，并且设h是H的Lie代数.那么duH：h→g是单射,且根据定义，对于任意Eh，duH(X)是G上由向量XeETH=(duH)e(TH)CT.G生成的左不变向量场.此外，根据定理4.2.8，dH：h→g是Lie代数同态，即dH([X,Y)) =[diH(X),duH(Y),VX,Y eh.所以在将XEh与duH(X)Eg等同起来后，可以认为h是g的一个Lie子代数注4.3.7.注意从左不变向量场的角度看，h给出了G上的一个分布：设G上的左不变向量场X1,,X为h的一组基，则(vh)g=span(Xi)g，,(Xk)g）定义了G上的一个k维分布，h是子代数的条件则说明该分布是对合的。不难发现，H的含单位元的连通分支就是分布vh的经过e的积分子流形根据指数映射的自然性，hdgexPGexPHHHG109

4.3 Lie 子群 2 维的情形过于平凡，下面仅考虑 1 维子代数。任取一个 g 的 1 维 Lie 子代数, hα = R 2中斜率为α且过原点的直线. 为了得到对应于 Lie 代数 ha 的 G 的 Lie 子群, 需要区分有理斜率的直线与无理斜率的直线: 若 α = p/q, 其中 p, q 为互素的整数, 那么 G 的具有 Lie 代数 hα 的 Lie 子群等于 Hα = Hp,q := {(e ipt, eiqt) | t ∈ R}. 这类子群全都同构于 S 1，并且全都是 T 2 的嵌入子流形. 然而, 如果 α 是无理数, 那么相应的 Lie 子群就都是“稠密曲线”，形如 Hα := {(e it, eiαt) | t ∈ R}, 它们都只是 T 2 中的浸入子流形，且都同构于 R. 由于 Hα = T 2 , 它们都不是嵌入子流形。于是, Lie 子群“应当”定义为仅要求是浸入子流形而非光滑子流形: 定义 4.3.4. （Lie 子群） ♣ 设 H 是 Lie 群 G 的子群，同时也是 G 的浸入子流形，且群乘法 µH : H×H → H(关于 H 本身的光滑结构) 是光滑映射，则称 H 为 G 的 Lie 子群. 注 4.3.5. 事实上，只需假定群乘法 µH : H × H → H 是连续映射。若 H 是 G 的 Lie 子群, 那么包含映射 ιH : H ,→ G 是一个单射 Lie 群同态: ιH(µH(h1, h2)) = µG(ιH(h1), ιH(h2)). 注意根据定义，G 的 Lie 子群 H 上的拓扑与光滑结构不必是作为 G 的子集从 G 上继承而来的. 注 4.3.6. 根据例4.3.3, 紧 Lie 群的 Lie 子群可能是非紧的。 ¶ Lie 子群的 Lie 子代数下面假设 ιH : H ,→ G 是一个 Lie 子群, 并且设 h 是 H 的 Lie 代数. 那么 dιH : h → g 是单射, 且根据定义，对于任意 ∈ h，dιH(X) 是 G 上由向量 Xe ∈ TeH = (dιH)e(TeH) ⊂ TeG 生成的左不变向量场. 此外，根据定理4.2.8，dιH : h → g 是 Lie 代数同态, 即 dιH([X, Y ] h ) = [dιH(X), dιH(Y )]g , ∀X, Y ∈ h. 所以在将 X ∈ h 与 dιH(X) ∈ g 等同起来后, 可以认为 h 是 g 的一个 Lie 子代数. 注 4.3.7. 注意从左不变向量场的角度看，h 给出了 G 上的一个分布：设 G 上的左不变向量场 X1 , · · · , Xk 为 h 的一组基，则 (V h )g := span((X1)g, · · · ,(Xk)g) 定义了 G 上的一个 k 维分布，h 是子代数的条件则说明该分布是对合的. 不难发现，H 的含单位元的连通分支就是分布 V h 的经过 e 的积分子流形. 根据指数映射的自然性, h dιH −−−−→ g   y expH   y expG H ιH −−−−→ G 109

4.3Lie子群定理4.3.14：（Lie子群-Lie子代数对应）设G是一个Lie群，g是它的 Lie 代数.如果h 是g的一个Lie子代数,那么存在G的唯一一个连通Lie子群H，使得它的Lie代数是h0证明分为4步：构造目标浸入子流形，证明它是子群，是Lie群，以及证明其唯一性。第一步：构造H：【思路：如何从h出发，构造出所求的浸入子流形？参见注记4.3.7】设Xi.，Xk是hCg的一组基.由于X，都是G上的左不变向量场，并且在e处线性无关，所以它们在任意9EG点处都线性无关.令Vg=span(Xi(g),.,X(g))则。V是G上的一个k维分布。此分布是对合的，因为对所有的i,j，都有[X,XlEh于是根据Frobenius定理，分布V存在唯一的经过e的极大连通积分流形，记为H.它是G的一个浸入子流形注意这些左不变向量场所张成的分布V也是“左不变”的，即(dLg1)g2(Vg2) =Vg1g2所以如果N是V的一个积分流形，那么对任意的g，Lg(N）也是它的积分流形第二步：H是一个子群：【思路：如何证明一个元素是包含在极大连通积分子流形H中的？利用H的极大性：如果H'是另一个积分流形并且HnH≠0,那么HCH.I任取hi,h2EH。由于hi=LheEHnLhiH≠O,而H是极大的，所以LhHCH.特别地，hih2= Lhh2 E H.。由于Ln-(h）=eEHnLiH，而H是极大的，所以Lh-iHCH特别地，hi' = Lh-ie e H.于是H是G的子群.第三步：H的光滑性，【光滑性是一个问题，因为H上的拓扑/光滑结构并不来自于G.不过，H的拓扑并不太差：由局部Frobenius定理，在任意点的小邻域中，H是“分层的”，每一层都是嵌入子流形,】首先注意到复合映射μGHxH:H×H-→G×GSG是光滑的.设hih2=hEH，并取h的满足局部Frobenius定理（见定理3.4.19）的邻域U(该邻域是G中开集且以h为中心)，则HnU的包含h的连通分支恰为Ho=[aEU|ak+l=.=an=0].取h1,h2在G中的邻域Ui,U2使得Ui·U2CU(此处使用的是G中乘法的连续性)不妨设Ui,U2充分小使得它们也分别是hi,h2的满足局部Frobenius定理的邻域.令H1,H2分别为在HnUi和HnU2的包含hi,h2的连通分支，则HiHzCHo.由于H上的拓扑与光滑结构是从G中继承的，所以μH：H1×H2→Ho是光滑的。特别地，由h的任意性可知μHH×H→H是连续映射.于是μH：H×H→H是光滑映射112

4.3 Lie 子群定理 4.3.14. （Lie 子群-Lie 子代数对应） ♥ 设 G 是一个 Lie 群，g 是它的 Lie 代数. 如果 h 是 g 的一个 Lie 子代数, 那么存在 G 的唯一一个连通 Lie 子群 H，使得它的 Lie 代数是 h. 证明分为 4 步：构造目标浸入子流形，证明它是子群，是 Lie 群，以及证明其唯一性。第一步：构造 H:【思路：如何从 h 出发，构造出所求的浸入子流形？参见注记4.3.7】设 X1, · · · , Xk 是 h ⊂ g 的一组基. 由于 Xi 都是 G 上的左不变向量场, 并且在 e 处线性无关, 所以它们在任意 g ∈ G 点处都线性无关. 令 Vg = span{X1(g), · · · , Xk(g)}. 则 V 是 G 上的一个 k 维分布. 此分布是对合的, 因为对所有的 i, j，都有 [Xi , Xj ] ∈ h. 于是根据 Frobenius 定理, 分布 V 存在唯一的经过 e 的极大连通积分流形，记为 H. 它是 G 的一个浸入子流形. 注意这些左不变向量场所张成的分布 V 也是“左不变”的，即 (dLg1 )g2 (Vg2 ) = Vg1g2 . 所以如果 N 是 V 的一个积分流形, 那么对任意的 g，Lg(N) 也是它的积分流形. 第二步：H 是一个子群:【思路: 如何证明一个元素是包含在极大连通积分子流形 H 中的? 利用 H 的极大性: 如果 H′ 是另一个积分流形并且 H′ ∩ H 6= ∅, 那么 H′ ⊂ H.】任取 h1, h2 ∈ H. 由于 h1 = Lh1 e ∈ H ∩ Lh1H 6= ∅, 而 H 是极大的, 所以 Lh1H ⊂ H. 特别地， h1h2 = Lh1 h2 ∈ H. 由于 Lh −1 1 (h1) = e ∈ H ∩ Lh −1 1 H, 而 H 是极大的, 所以 Lh −1 1 H ⊂ H. 特别地， h −1 1 = Lh −1 1 e ∈ H. 于是 H 是 G 的子群. 第三步：µH 的光滑性. 【光滑性是一个问题，因为 H 上的拓扑/光滑结构并不来自于 G. 不过，H 的拓扑并不太差：由局部 Frobenius 定理，在任意点的小邻域中，H 是“分层的”，每一层都是嵌入子流形.】首先注意到复合映射 µG|H×H : H × H ,→ G × G µ→G G 是光滑的. 设 h1h2 = h ∈ H, 并取 h 的满足局部 Frobenius 定理 (见定理3.4.19) 的邻域 U(该邻域是 G 中开集且以 h 为中心)，则 H ∩ U 的包含 h 的连通分支恰为 H0 = {x ∈ U | x k+1 = · · · = x n = 0}. 取 h1, h2 在 G 中的邻域 U1, U2 使得 U1 · U2 ⊂ U(此处使用的是 G 中乘法的连续性). 不妨设 U1, U2 充分小使得它们也分别是 h1, h2 的满足局部 Frobenius 定理的邻域. 令 H1, H2 分别为在 H ∩ U1 和 H ∩ U2 的包含 h1, h2 的连通分支，则 H1 · H2 ⊂ H0. 由于 Hi 上的拓扑与光滑结构是从 G 中继承的, 所以 µH : H1 × H2 → H0 是光滑的. 特别地，由 h 的任意性可知 µH : H × H → H 是连续映射. 于是 µH : H × H → H 是光滑映射. 112

4.3 Lie 子群第四步：H 的唯一性:【思路：如何证明两个连通 Lie 群是相同的? 利用如下事实: 每一个连通 Lie 群是由 e 的任意开邻域生成的.】设 K 是 G 的另一个连通 Lie 子群，其 Lie 代数也是 h. 根据注记4.3.7，K 也是 V 的一个经过 e 的积分流形. 于是 K ⊂ H. 由于 TeK = TeH, 包含映射在 e 附近是一个局部微分同胚. 换句话说, 存在一个 e 在 K 中的开邻域 Ke 与一个 e 在 H 中的开邻域 He 使得 Ke = He. 所以由 Lie 群 K 与 H 的连通性就得到 K = ∪j≥1Kj e = ∪j≥1Hj e = H. □ 4.3.2 闭 Lie 子群 ¶ 闭子群当然，在 Lie 群 G 的所有 Lie 子群 H 中，那些不仅仅是浸入子流形而且事实上还是光滑子流形的 Lie 子群在使用上更方便，因为它们在拓扑上都是闭子集：命题 4.3.15. （子群 + 子流形 ⇒ 闭集） ♠ 假设 G 是一个 Lie 群, H 既是 G 的子群又是 G 的光滑子流形，那么 H 是 G 中的一个闭子集. 证明由于 H 是 G 的光滑子流形, 它是局部闭的5 . 特别地, 存在 e 在 G 中的一个开邻域 U 使得 U ∩ H = U ∩ H. 任取 h ∈ H，以及 H 中的收敛到 h 的序列 hn. 由于 hU 是 h 在 G 中的一个开邻域, hU ∩ H 6= ∅. 取 h ′ ∈ hU ∩ H, 那么 h −1h ′ ∈ U. 因为 h −1 n h ′ ∈ H 收敛到 h −1h ′，所以 h −1h ′ ∈ U ∩ H = U ∩ H. 故 h ∈ H. 这就证明了定理. □ 由此启发如下定义：定义 4.3.16. （Lie 群的闭子群） ♣ 设 G 是 Lie 群. (1) 如果 G 的子群 H 是 G 中的闭子集，则称它是 G 的闭子群. (2) 如果 G 的 Lie 子群 H 是 G 中的光滑子流形，则称它是 G 的闭 Lie 子群. 由命题4.3.15, 如果 H 是 G 的闭 Lie 子群，则 H 是 G 的一个闭子群. 注意闭子群的定义中并不要求 H 是一个 Lie 子群. ¶ Cartan 闭子群定理下面这个由 E. Cartan 在 1930 年证明的重要定理说明反过来也成立：定理 4.3.17. （Cartan 闭子群定理） ♥ Lie 群 G 的任意闭子群 H 都是 G 闭 Lie 子群 (从而都是光滑子流形). 5拓扑空间 X 的子集 E，若满足“任意 x ∈ E，均存在 x 在 X 中的邻域 U，使得 E ∩ U 是 U 中的闭集，则称 E 是局部闭的. 113

4.3Lie子群注4.3.18.该定理非常强大的地方在于：在定理中只假定了两个非常弱且易于验证的条件“在代数上H是一个子群，在拓扑上H是一个闭子集”，结论却说明“在分析上H是满足所需的光滑性，即H是光滑子流形，且乘法映射是光滑映射”，于是，在验证某个群是Lie群时该定理非常有用：比如，显然O(n)，SL(n，R）都是GL(n,R）的闭子群，所以不必验证它们的流形结构以及乘法的光滑性，就可以直接断言它们都是Lie群作为Cartan闭子群定理的一个直接推论，立刻有推论4.3.19（Lie群同态的核是Lie子群）如果：G→H是一个Lie群同态，那么ker()是G的一个闭Lie 子群3注意每个Lie群同态都是常秩映射，从而该结论也可由常秩映射水平集定理得到Cartan闭子群定理的另一个重要推论是推论4.3.20.（Lie群同态：连续即光滑）设 G,H 是 Lie群，Φ:G→ H 是一个连续同态，则 Φ 光滑2证明因为Φ:G→H是一个连续同态，所以=((g,Φ(g))IgEG)是G×H的闭子群，因此也是G×H的闭Lie子群由此可以推出投影:-GxHG是双射并且是光滑的。不仅如此，dp(eG,eH）也是双射。于是，映射p在（eG,eH）附近是一个局部微分同胚。由左平移可知，P处处都是局部微分同胚。由于p是双射，它一定是口全局微分同胚。故Φ=T20p-1是光滑的。Lie群中这类“连续→光滑”的结果跟注4.1.5中提到的Hilbert第五问题从精神上看是一致的。Cartan闭子群定理：证明假设H是Lie群G的一个闭子群.令（本小节中所有exp均为exPc）h =(X Eg exp(tX) eH, VteR)为了证明定理4.3.17，先证明几个引理：引理4.3.21h 是 g 的一个线性子空间,+证明显然h在数乘下是闭的。由命题4.2.22，存在光滑函数Z：（-ε,）→g使得exp(tX)exp(tY) = exp(t(X +Y) +t?z(t)于是（该公式被称为“Lie乘积公式”或“Trotter乘积公式”）ap( +Y)- (a(会)ep(%口从而由H中的乘法封闭性可知h在加法下是封闭的.114

4.3 Lie 子群注 4.3.18. 该定理非常强大的地方在于：在定理中只假定了两个非常弱且易于验证的条件“在代数上 ✿✿✿✿✿✿✿✿ H 是一个子群, 在拓扑上 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ H 是一个闭子集”, 结论却说明“在分析上 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿H 是满足所需的光滑性，即 H 是光滑子流形，且乘法映射是光滑映射”. 于是，在验证某个群是 Lie 群时该定理非常有用：比如, 显然 O(n), SL(n, R) 都是 GL(n, R) 的闭子群，所以不必验证它们的流形结构以及乘法的光滑性，就可以直接断言它们都是 Lie 群. 作为 Cartan 闭子群定理的一个直接推论, 立刻有推论 4.3.19. （Lie 群同态的核是 Lie 子群） ♥ 如果 ϕ : G → H 是一个 Lie 群同态, 那么 ker(ϕ) 是 G 的一个闭 Lie 子群. 注意每个 Lie 群同态都是常秩映射，从而该结论也可由常秩映射水平集定理得到. Cartan 闭子群定理的另一个重要推论是推论 4.3.20. （Lie 群同态：连续即光滑） ♥ 设 G, H 是 Lie 群，φ : G → H 是一个连续同态，则 φ 光滑. 证明因为 φ : G → H 是一个连续同态，所以 Γϕ = {(g, φ(g)) | g ∈ G} 是 G × H 的闭子群, 因此也是 G × H 的闭 Lie 子群. 由此可以推出投影 p : Γϕ i ,→ G × H π1 −→ G 是双射并且是光滑的. 不仅如此, dp(eG,eH) 也是双射. 于是，映射 p 在 (eG, eH) 附近是一个局部微分同胚. 由左平移可知, p 处处都是局部微分同胚. 由于 p 是双射, 它一定是全局微分同胚. 故 φ = π2 ◦ p −1 是光滑的. □ Lie 群中这类“连续 ⇒ 光滑”的结果跟注4.1.5中提到的 Hilbert 第五问题从精神上看是一致的。 ¶ Cartan 闭子群定理: 证明假设 H 是 Lie 群 G 的一个闭子群. 令 (本小节中所有 exp 均为 expG) h = {X ∈ g | exp(tX) ∈ H, ∀t ∈ R}. 为了证明定理4.3.17，先证明几个引理: 引理 4.3.21 ♦ h 是 g 的一个线性子空间. 证明显然 h 在数乘下是闭的. 由命题4.2.22，存在光滑函数 Z : (−ε, ε) → g 使得 exp(tX) exp(tY ) = exp(t(X + Y ) + t 2Z(t)). 于是 (该公式被称为“Lie 乘积公式”或“Trotter 乘积公式”) exp(t(X + Y )) = limn→∞ Å exp(tX n ) exp(tY n ) ãn . 从而由 H 中的乘法封闭性可知 h 在加法下是封闭的. □ 114

4.3 Lie 子群引理 4.3.22 ♦ 赋予 g 一个内积. 假设 X1, X2, · · · ∈ g 满足 (1) 对所有的 i，Xi 6= 0，并且当 i → ∞ 时 |Xi | → 0. (2) 对所有的 i，exp(Xi) ∈ H. (3) limi→∞ Xi |Xi| = X ∈ g. 那么 X ∈ h. 证明固定 t 6= 0. 设 ni = î t |Xi| ó 是 t |Xi| 的整数部分. 那么当 t → ∞ 时， |niXi − tX| ≤ ï t |Xi | ò − t |Xi | |Xi | + t Xi |Xi | − X → 0. 于是由 H 的闭性可知 exp(tX) = lim i→∞ exp(niXi) = lim i→∞ (exp Xi) ni ∈ H. □ 引理 4.3.23 ♦ 指数映射 exp : g → G 将 0 在 h 中的充分小邻域双射地映到 e 在 H 中的邻域. 证明由引理4.3.21，h 是 g 的线性子空间. 取 g 的线性子空间 h ′ 使得 g = h ⊕ h ′ . 定义映射 Φ : g = h ⊕ h ′ → G, Φ(X + Y ) = exp(X) exp(Y ). 则 dΦ0(X ‹ + Y ‹) = X ‹ + Y ‹. 从而在 0 附近, Φ 是一个从 g 到 G 的局部微分同胚. 由于 exp |h = Φ|h, 故为了证明引理, 只需证明 Φ 将 0 在 h 中的一个邻域双射地映到 e 在 H 中的一个邻域. 下面用反证法。由于 Φ 在 0 附近是双射，且将 Φ(h) ⊂ H，所以若结论不成立, 则存在 Xi + Yi ∈ h ⊕ h ′，其中 Yi 6= 0，使得 Xi + Yi → 0 且 Φ(Xi + Yi) ∈ H. 因为 exp(Xi) ∈ H, 所以对所有的 i 都有 exp(Yi) ∈ H. 延用引理4.3.22中的内积. 令 Y 为点集 { Yi |Yi| } 的一个极限点. 那么由引理 4.3.22, Y ∈ h. 另一方面，由于 Y ∈ h ′ , 故 Y = 0, 这就是所需的矛盾，因为由构造可知 |Y | = 1. □ 在这些准备工作之后，最后证明 Cartan 闭子群定理：证明 [Cartan 闭子群定理的证明] 由引理4.3.23, 存在 e 在 G 中的邻域 U 与 0 在 g 中的邻域 V 使得 exp−1 : U → V 是一个微分同胚, 且满足 exp−1 (U ∩ H) = V ∩ h. 于是 (exp−1 , U, V ) 是 G 上的一个坐标卡，且在该坐标卡下 H 在 e 附近是一个光滑子流形. 对于任意 h ∈ H, 可以用 G 中的左平移来得到 G 的在 h 附近跟 H 相容的坐标卡. 所以 H 是 G 的光滑子流形. 这也说明了 µH 的光滑性：显然 µG|H×H : H × H → G 是光滑的，于是根据第二章习题，µH : H × H → H 是光滑的. □ 115

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第4章 李群初步 4.3 Lie子群

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