2.4 光滑子流形 2.4 光滑子流形 本节考虑光滑流形范畴里对象的“子对象”—光滑子流形—的定义与性质。特别地， 将要考虑何时光滑映射的像或原像是相应流形里的光滑子流形。 2.4.1 光滑子流形 ¶ 光滑子流形：定义与例子 令 M 为 n 维光滑流形. 什么样的对象能被称作 M 的一个“光滑子流形”? 回顾一 下别的范畴（例如向量空间范畴、群范畴、拓扑空间范畴等）里“子对象”的定义方式， 不难发现光滑流形 M 的光滑子流形 S 应该满足以下三个条件: S 是 M 的子集; S 自身是一个 k ≤ n 维光滑流形; S 的拓扑/光滑结构和 M 的拓扑/光滑结构应该相容. 最后一个条件，即相容性，可以具体地描述为：S 上的光滑结构应该是 M 上的光滑结构 在 S 上的“限制”. 于是，如下的定义是自然的： 定义 2.4.1. （光滑子流形） ♣ 设 M 是 n 维光滑流形，S ⊂ M. 若对于任意 p ∈ S, 存在 M 上 p 附近的(与 M 本 身光滑结构相容的)坐标卡 (ϕ, U, V )，使得 ϕ(U ∩ S) = V ∩ (R k × {0}) = {x ∈ ϕ(U) | x k+1 = · · · = x n = 0}. 则称 S 是 M 的 k 维光滑子流形，并称 codim(S) = n − k 为 S 的余维数. 粗略地讲，光滑子流形是局部上(即在一个局 部坐标系中)由方程 ϕk+1 = · · · = ϕn = 0 所定义的子集. 注意 ϕk+1, · · · , ϕn 都是 U 上的光滑函数, 因为 ϕ 是微分同胚. 图 2.1: 光滑子流形 下面给出光滑子流形的一些例子。 例 2.4.2. 令 M, N 为光滑流形，f : M → N 是光滑映射. 那么 f 的图像 Γf = {(p, q) | q = f(p)} ⊂ M × N 是 M × N 的光滑子流形. 为了说明这一点，选取 M 在 p 附近的坐标卡 (ϕ, U, V ) 和 N 在 q = f(p) 附近的坐标卡 (ψ, X, Y ). 那么(参见习题 1) (ϕ×ψ, U × X, V ×Y ) 是 M × N 在 (p, q) 附近的坐标卡. 但是这个坐标卡对于证明 Γf 是光滑子流形而言并不方便. 为了 得到一个适用的坐标卡，将 q = f(p) 写作 ψ −1 (y) = f(ϕ −1 (x)), 即 y = ψ(f(ϕ −1 (x))). 45
2.4 光滑子流形 考虑光滑映射 Ψ : V × Y → R m × R n , (a, b) 7→ (a, b − ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (a)). 易见 Ψ 是单射并且处处是局部微分同胚，因此是一个从 V ×Y 到它的像集 Ψ(V ×Y ) 的 整体微分同胚. 注意到 Ψ(V ×Y ) 是欧氏空间中的开集，故 (Ψ◦(ϕ×ψ), U ×X, Ψ(V ×Y )) 也是 M × N 在 (p, q) 附近的一个局部坐标卡. 此外，对于这个局部坐标卡, (p, q) ∈ Γf ∩ (U × X) =⇒ ψ(q) = ψ(f(ϕ −1 (ϕ(p)))) =⇒ Ψ(ϕ(p), ψ(q)) = (ϕ(p), 0), 因此 Γf 是 M × N 的光滑子流形. 注 2.4.3. 根据例1.2.9，对于任意连续函数 f : U ⊂ R n → R, 在图像 Γf 上存在一个光 滑结构使之成为一个 n 维光滑流形. 然而一般而言，若 f 不光滑，Γf 不是 R n+1 的一个 光滑子流形.(读者不妨思考一下：对于连续映射 f 重复例2.4.2中的证明，哪一步会出现问题?) 不过，确 实存在不光滑的函数 f, 其图像 Γf 仍然是一个光滑子流形. 例如考虑函数 f(x) = x 1/3 , 则 f 不光滑。但是 y = f(x) 的图像和光滑函数 x = y 3 的图像是相同的, 从而是 R 2 的 光滑子流形! 例 2.4.4. 球面 S n 是 R n+1 的光滑子流形，因为在任意 p ∈ S n 附近，在选取适的自变 量和因变量后，“球面小片”跟某个光滑函数的图像一致。 ¶ 光滑子流形上的诱导光滑结构 在上述光滑子流形的定义中，并未特别讲清楚作为光滑流形，S 上的拓扑与光滑结 构是什么. 拓扑结构很简单，只要取 S 作为 M 的子集时的子空间拓扑即可。换而言之， S 上的拓扑结构是使得包含映射 ι : S → ι(S) ⊂ M 是一个同胚。至于光滑结构，需要构 造 S 上的自然的坐标卡。为此，设 n ≥ k 并记 π : R n → R k , (x 1 , · · · , xn ) 7→ (x 1 , · · · , xk ) : R k ,→ R n , (x 1 , · · · , xk ) 7→ (x 1 , · · · , xk , 0, · · · , 0). 此时有 命题 2.4.5. （光滑子流形的光滑结构） ♠ 设 S 是 M 的光滑子流形，赋予从 M 继承的子空间拓扑。 (1) 对于 M 上满足定义2.4.1的一个坐标卡 (ϕ, U, V )，令 X = U ∩ S, Y = π ◦ ϕ(X), ψ = π ◦ ϕ|X. 则 (ψ, X, Y ) 是 S 上的坐标卡。 (2) 所有这样形式的坐标卡是彼此相容的，从而给出了 S 的一个光滑结构. (3) 对于上述光滑结构，包含映射 ι : S ,→ M 是光滑浸入. 证明 由定义, ψ 是连续可逆的，并且逆映射 ψ −1 = ϕ −1 ◦ 也连续. 因此 (ψ, X, Y ) 是 S 上的一个坐标卡. 这种形式的坐标卡是彼此相容的，因为转移映射 ψβ ◦ ψ −1 α = π ◦ ϕβ ◦ ϕ −1 α ◦ = π ◦ ϕα,β ◦ , 46
2.4 光滑子流形 都是光滑的. 最后，相对于由这些坐标卡所定义的光滑结构，由 ϕ ◦ ι ◦ ψ −1 = 可知包含映射 ι : S ,→ M 是光滑浸入。 □ ¶ 光滑子流形的切空间 令 S ⊂ M 为光滑子流形，p ∈ S，ι : S ,→ M 为包含映射, 则 dιp : TpS → TpM 是单 射. 于是在每一点 p ∈ S，可以将任意 TpS 中的向量 Xp 与 TpM 中的向量 X ‹ p = dιp(Xp) 等同起来：对于任意 f ∈ C∞(M), X ‹ p(f) = (dιp(Xp))f = Xp(f ◦ ι) = Xp(f|S). 通过这种方式，可以视 TpS 为 TpM 的线性子空间 dιp(TpS). 一个自然的问题是：TpM 中哪些向量能被视作 TpS 中的向量? 定理 2.4.6. （光滑子流形切空间的刻画） ♥ 设 S ⊂ M 是光滑子流形，p ∈ S. 那么 TpS = {Xp ∈ TpM | 对于任意满足f|S = 0的函数f ∈ C ∞(M), 总有Xp(f) = 0}. 证明 如果 Xp ∈ TpS, 那么对于满足 f|S = 0 的 f ∈ C∞(M)，有 X ‹ p(f) = Xp(f|S) = 0. 反之，取 M 的一个坐标卡 (ϕ, U, V )，使得在 p 附近，S 由 x k+1 = · · · = x n = 0 给出. 那么 TpM 由 ∂1, · · · , ∂n 张成, 而 TpS 是由 ∂1, · · · , ∂k 张成的子空间. 换句话说， TpM 中的向量 Xp = PXi∂i 落在 TpS 中当且仅当对于 i > k 有 Xi = 0. 现设 Xp ∈ TpM 满足“对于所有在 S 上取值为 0 的 f，都有 Xp(f) = 0”, 下证 Xp ∈ TpS. 取“紧支在 U 中并且在 p 的一个邻域内取值恒为 1”的光滑鼓包函数 h. 对 于任意 j > k，考虑函数 fj (x) = h(x)x j (ϕ(x))(通过零扩张将它延拓到 M \U 上). 则 fj |S = 0. 于是对于任意 j > k 0 = Xp(fj ) = XXi ∂(h(ϕ −1 (x))x j ) ∂xi (ϕ(p)) = Xj , 由此可得 Xp ∈ TpS. □ 2.4.2 作为原像和像集的光滑子流形 在向量空间范畴或者群范畴等范畴里，不难发现“对象之间的态射”的像与原像都 自然是相应对象的子对象。然而，对于光滑流形之间的光滑映射 f : M → N，很容易找 到例子说明 f(M) 不必是 N 的光滑子流形，以及 f −1 (q) 不必是 M 的光滑子流形。 ¶ 作为水平集的光滑子流形 先考虑光滑映射的水平集。 例 2.4.7. 考虑映射 f : R 2 → R, (x, y) 7→ x 2 − y 2 . 47
2.4 光滑子流形 显然，当 t 6= 0 是 f −1 (t) 都是 R 2 的光滑子流形，但 f −1 (0) 是两条相交的直线，连流形 都不是。仔细探究一下，不难发现原因：由于 df(x,y) = (2x, 2y)，故 若 t 6= 0，那么对于任意 p ∈ f −1 (t)，dfp 6= (0, 0)，从而由隐函数定理，f −1 (t) 在 p 附近是光滑子流形； 在 p = (0, 0) ∈ f −1 (0) 处 dfp = (0, 0)，故无法使用隐函数定理。 用上一节的语言来说，就是正则点处可以使用隐函数定理，故正则值 (即 t ̸= 0) 的原像具 有好的结构，而临界点则无法使用隐函数定理，故临界值的原像可能具有比较差的结构。 这个例子揭示的了一个一般规律，即光滑映射正则值的原像一定是光滑子流形： 定理 2.4.8. （正则水平集定理） ♥ 设 f : M → N 是一个光滑映射，而 q ∈ N 是 f 的正则值. 则 f −1 (q) 是 M 的维 数为 dim M − dim N 的光滑子流形. 此外，对于任意 p ∈ f −1 (q), Tpf −1 (q) = ker(dfp : TpM → TqN). 特别地，结合 Sard 定理可知 推论 2.4.9. （很多光滑子流形） ♥ 对于任意光滑映射 f : M → N, 只要 f(M) 在 N 中不是零测集, 那么对几乎所有 q ∈ f(M), 其原像 f −1 (q) 都是 M 的光滑子流形. 事实上，还可以进一步发展例2.4.7： 例 2.4.10. 考虑映射 g : R 2 → R 2 , (x, y) 7→ (x 2 − y 2 , 0). 显然依然有：g −1 ((0, 0)) 不是 R 2 的光滑子流形，但对任意 t 6= 0，g −1 ((t, 0)) 是 R 2 的 光滑子流形。但此时 g 的像集是 R 2 中的零测集，g 不再有正则点，且 g 的正则值都 不是像点，于是无法应用正则水平集定理。那么对于这个例子，(t, 0) 与 (0, 0) 的差别在 哪儿呢？不难发现：在任意 p ∈ g −1 ((t, 0))（其中 t 6= 0）附近，g 都是常秩映射，而在 (0, 0) ∈ g −1 ((0, 0)) 附近则不然！ 下面证明“常秩光滑映射的原像是光滑子流形”这个非常一般的定理，注意上述正 则水平集定理只是它的特例： 定理 2.4.11. （常秩水平集定理） ♥ 设 M, N 是光滑流形，f : M → N 是光滑映射，q ∈ N。如果 f 在 f −1 (q) 的某个 邻域内是秩恒为 r 的常秩映射，那么水平集 f −1 (q) 是 M 的余维数为 r 的光滑子 流形，且对于任意 p ∈ f −1 (q), Tpf −1 (q) = ker(dfp : TpM → TqN). 证明 令 p ∈ S := f −1 (q). 根据常秩定理（即定理2.2.14），存在以 p 为中心的坐标卡 (ϕ, U, V ) 和以 q 为中心的坐标卡 (ψ, X, Y )，使得 f(U) ⊂ X, 并且 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xm) = (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0). 48
2.4 光滑子流形 于是 ϕ ◦ f −1 ◦ ψ −1 (0, · · · , 0) = (0, · · · , 0, xr+1 , · · · , xm), 即 ϕ 将 U ∩ f −1 (q) 映射到 V ∩ {(0, · · · , 0, xr+1 , · · · , xm)}. 因此 f −1 (q) 是 M 的余维数 为 r 的子流形. 下面计算 TpS. 记包含映射为 ι : S → M，则对于任意 p ∈ S, f ◦ ι(p) = q. 换句话 说, f ◦ ι 是 S 上的常值映射. 因此 dfp ◦ dιp = 0, 即，、在 dιp : TpS ,→ TpM 的像集上有 dfp = 0. 这说明 TpS ⊂ ker(dfp). 另一方面，由 dim TpS = dim S = m − r 以及 dim ker(dfp) = dim ker((dψ)f(p) ◦ dfp ◦ (dϕ−1 )φ(p) ) = m − r, 比较维数后可知 TpS 就是线性映射 dfp 的核空间. □ 正则水平集定理和常秩水平集定理是非常有用的工具. 例如根据习题中相关结论， 因为 1 是 f(x) = x 2 1 + · · · + x 2 n+1 的正则值，所以 S n 是 R n+1 的光滑子流形. SL(n, R), O(n, R) 都是 GL(n, R) 的光滑子流形. ¶ 作为像集的光滑子流形：浸入是不够的 下面考虑光滑映射的像集。根据命题2.4.5，M 的任意光滑子流形 S 都是光滑浸入 ι : S ,→ M 的像集. 一个自然的问题是： 是否任意光滑浸入的像都是光滑子流形? 首先，根据典范浸入定理可知 若 f : M → N 是浸入，那么对于任意 p ∈ M, 存在 p 的一个坐标邻域 U 使 得 f(U) 是 N 的光滑子流形。 然而，一般情况下，整个像集 f(M) 不必是 N 的光滑子流形: 例 2.4.12. 图2.2展示了两个从 R 到 R 2 的浸入映射，它们的像都不是光滑子流形. 图 2.2: 从 R 到 R 2 的浸入 稍微分析一下不难发现，第一个图所示的浸入不是单射，以至于出现了“交叉点”；第二 个图所示的浸入虽然是单射，然而像集的 (子空间) 拓扑不同于原像 R 上的拓扑. 49
2.4 光滑子流形 例 2.4.13. 图2.3是一个更复杂却也更有趣的例子：考虑映射 f : R → T 2 = S 1 × S 1 , f(t) = (e it, ei √ 2t ). 那么 f 是一个浸入(为什么?), 但它的像集 f(R) 是 T 2 上的“稠密曲线”6 图 2.3: 环面中的稠密曲线 注 2.4.14. 一般而言，在考虑映射 f : M → N 的像集 f(M) 时，在 f(M) 上有两种 最自然的拓扑结构，即 从 N(作为子空间) 继承而来的的子空间拓扑， 从 M 继承而来的余诱导拓扑 (即 f(M) 中一个子集是开集当且仅当它是 M 中开集的像)。 对于以上三个像集不是子流形的浸入映射，第一个映射是“最坏的”，因为像集在这两个 自然拓扑下不是流形：在交叉点附近它不是局部欧氏空间. 另一方面，对于第二个和第 三个映射，不难看出 如果赋予像集以“继承自 R 2 或 T 2 的子空间拓扑”, 那么像集不是流形; 如果赋予像集以“从 R 上‘借’来的拓扑/光滑结构”, 那么像集自身是光滑流形! 一般地，给定任意单射浸入，如果赋予其像集以“从源流形‘借’来的拓扑/光滑结构”， 那么像集是一个光滑流形. 因此 定义 2.4.15. （浸入子流形） ♣ 若 f : M → N 是单射浸入，则称 f(M) 为由浸入 f 给出的浸入子流形. 注意不能离开浸入映射而单独谈浸入子流形。为了区分浸入子流形和定义2.4.1中的 光滑子流形, 往往称定义2.4.1中的光滑子流形为 嵌入子流形 或 正则子流形. ¶ 作为像集的光滑子流形：嵌入 嵌入子流形和浸入子流形的区别是什么? 如前所述，使浸入子流形成为流形的拓扑 来自源流形，而不是继承自靶流形的“子空间拓扑”，而如果 S 是 M 的嵌入子流形, 则 流形 S 的拓扑是 M 的子空间拓扑，特别地，包含映射 ι : S ,→ M 不仅仅是单射浸入， 而且是从 S 到其像集 ι(S) (赋予子空间拓扑)的同胚. 定义 2.4.16. （嵌入映射） ♣ 令 M, N 为光滑流形，并且 f : M → N 是浸入. 如果 f 是从 N 到它的像集 f(N) ⊂ M(赋予子空间拓扑)的同胚，则称 f 为一个嵌入映射. 6这是数论中以下事实的推论：{{n √ 2} | n ∈ Z} 在 [0, 1] 中稠密. 50
2.4 光滑子流形 注 2.4.17. 如果 S 是 M 的光滑子流形, 那么 S 上存在唯一的拓扑/光滑结构使得包含 映射 ι : S ,→ M 是光滑浸入，并且是从 S 到像集 ι(S) 的同胚. (参见 [5]，定理 5.31.) 于是每个光滑子流形都是某个嵌入的像。反过来， 定理 2.4.18. （光滑子流形 = 嵌入的像） ♥ 令 f : M → N 为嵌入映射，则像集 f(M) 是 N 的光滑子流形. 证明 设 p ∈ M，q = f(p). 因为 f 是一个浸入，由典范浸入定理，存在 p 附近的坐 标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 q 附近坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得在 V1 上, ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 是典范嵌入 : R m → R n . 于是在 U1 上 ψ1 ◦ f = ◦ ϕ1. 因为 f 是到它的像集的同胚, f(U1) 在子空间 f(M) ⊂ M 中是相对开，即存在一个开集 X ⊂ N 使得 f(U1) = f(M) ∩ X. 将 X1 替换为 X1 ∩ X, 并将 Y1 替换为 ψ1(X1 ∩ X). 则对于新坐标卡 (ψ1, X1, Y1), ψ1(X1 ∩ f(M)) = Y1 ∩ ψ1(f(U1)) = Y1 ∩ (ϕ1(U1)) = Y1 ∩ (R m × {0}). [读者可以对例子“T 2 中的稠密曲线”重复以上论证，找找哪里有问题.] □ 简而言之，浸入和嵌入的主要区别在于 对于浸入 f : M → N，任意 p ∈ M 有一个 M 中的邻域，其像集在 N 中是好的. 对于嵌入 f : M → N，任意 q ∈ f(M) 有一个 N 中的邻域，使得像集 f(M) 在该 邻域中的部分是好的. ¶ 单射浸入成为嵌入的判据 一般而言，给定一个单射浸入，验证它是否是到像集的同胚不见得容易。然而， 定理 2.4.19 ♥ 若 f : M → N 是一个单浸入，且 M 是紧流形，则 f 是一个嵌入。 证明 赋予 f(M) ⊂ N 子空间拓扑。因为 f 是连续单射，映射 f : M → f(M) 是可逆的 连续映射。故只需要证明 f −1 : f(M) → M 是连续映射. 为此，设 A 是 M 中的闭集， 则由 M 紧可知 A 是紧集，从而由 f 的连续性值 (f −1 ) −1 (A) = f(A) 是 f(M) 中的紧 集。又因为 f(M) 是 Hausdorff 空间, 故 f(A) 是 f(N) 中的闭集. 换而言之，对于 M 中 任意闭集，均有 (f −1 ) −1 (A) 是闭集。故 f −1 是连续映射. □ 对于非紧流形，有没有简单的判据说明单浸入是嵌入？答案是肯定的：只要假设 f 是“逆紧”映射即可。更一般地，可以证明 (留作习题) 定理 2.4.20 ♥ 若 f : M → N 是一个单浸入，且 f 是逆紧映射，则 f 是一个嵌入。 注意若 M 是紧的，则任意连续映射 f : M → N 都是逆紧映射。在很多时候，逆紧 映射是空间紧性的一个优良替代品。 51