《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第1章 光滑流形 1.1 拓扑流形

第 1 章 光滑流形 1.1 拓扑流形 1.1.1 点集拓扑概要 拓扑是附加在集合上的一种数学结构。该结构对几何和分析而言都是本质的：从几 何上看，拓扑所刻画的是在抽象意义下的空间“临近关系”；从分析上，拓扑是用于定义 “映射的连续性”时不可或缺的底层结构。下面对本书要用的拓扑知识作一个简单回顾。 ¶ 拓扑与连续性 先回忆一下在拓扑和连续映射的概念，以及在抽象集合上构造拓扑的基本方法。根 据定义，若 X 的一个子集族 T 满足以下公理： (1) T 包含集合 X 自身和空集 ∅， (2) T 中任意多个集合的并集仍在 T 中， (3) T 中任意有限个集合的交集仍在 T 中， 则称 T 为 X 上的一个拓扑，并称 T 中的集合为（该拓扑下的）开集。开集的补集被 称为 闭集。当然，在同一个集合上可以有很多不同的集族满足以上公理，从而有很多不 同的拓扑。 从直觉上说，上述关于开集的公理所刻画的是空间的邻近性关系：若一个开集 U 包 含了某点 x，则它也包含了所有跟 x“充分靠近”的点。特别地，有了拓扑，就可以抛开 距离的概念去谈论“邻近性”，从而研究“把邻近的点映为邻近的点”的映射：若两个拓 扑空间 X 和 Y 之间的映射 f : X → Y 满足“对于 Y 中任意开集 V ，其原像 f −1 (V ) 是 X 中的开集”，则称 f 是连续映射。 有许多自然的方式，可以从已有的拓扑去构造新的拓扑，其中很多自然定义的映射 都是连续映射。例如，在本书中要用到的有 如果 T 是 X 上的一个拓扑, 而 Y ⊂ X, 那么 TY = {U ∩ Y | U ∈ T } 是子空间 Y 上的拓扑. 该拓扑被称为子空间拓扑. 此时，包含映射 ι : Y ,→ X 是 连续映射. 如果 TX 和 TY 分别是 X 和 Y 上的拓扑, 那么 TX×Y = {W | ∀(x, y) ∈ W, ∃U ∈ TX, V ∈ TY 使得(x, y) ∈ U × V ⊂ W} 是乘积空间 X × Y 上的拓扑. 该拓扑被称为乘积拓扑. 此时，投影映射 πX : X × Y → X,(x, y) 7→ x (以及类似的 πY : X × Y → Y ) 和“分层嵌入”映射 ιy : X ,→ X × Y, x 7→ (x, y)

1.1 拓扑流形 (以及类似的 ιx : Y ,→ X × Y ) 都是连续映射. 如果 (X, TX) 是一个拓扑空间, 并且 ∼ 是 X 上的一个等价关系, 那么 TX/∼ = {V | π −1 (V ) ∈ TX} 是商空间 X/∼ 上的拓扑. 该拓扑被称为商拓扑. 此时，商映射 π : X → X/∼ 是连续映射. ¶ 拓扑性质 在拓扑学课程中，可以学习到很多种不同的拓扑性质。下面简要回顾其中最重要的 几个，它们在本书中也将会常常出现： (1) Hausdorff 性质：若对于拓扑空间 X 中任意 x 6= y, 都存在开集 U 3 x 和 V 3 y 使 得 U ∩ V = ∅，则称 X 是 Hausdorff 空间，简称 T2 空间. (2) 第二可数性质：若对于拓扑空间 X，存在由可数个开集组成的子集族 T0，使得 X 中任意开集都可表示成 T0 中开集的并集，则称 X 为第二可数空间，简称 A2 空 间。 Hausdorff 性质的推论之一是“任意收敛点列的极限一定是唯一的”，这对于构造连续映 射而言有时候是必不可少的。第二可数性质则蕴含了“任意开覆盖一定有可数子覆盖”等 性质，在后文中从局部向整体过渡时起到了关键作用。若无特别说明，本书中涉及的所 有空间都是 Hausdorff 且第二可数的。注意 — 若 X 是 Hausdorff 空间或第二可数空间，则它的任意子集（赋予子空间拓扑）都 是 Hausdorff 空间或第二可数空间. — 若 X 和 Y 都是 Hausdorff 空间或都是第二可数空间，则它们的乘积空间（赋予乘 积拓扑）依然是 Hausdorff 空间或第二可数空间. — 但是，一般而言 Hausdorff 空间或第二可数空间的商空间未必是 Hausdorff 空间或 者第二可数空间，有兴趣的读者可以尝试构造反例。 本书中还将常常用到另一些极其重要的拓扑性质。因为它们不具有遗传性（即具有 该性质的拓扑空间，其子空间未必具有该性质），我们给出子集上相应性质的定义： (3) 紧致性：设 K 是拓扑空间 X 的子集，若 K 的任意开覆盖 {Uα} 都存在一个有限 子覆盖 {Uα1 , · · · , Uαk }，即 K ⊂ Uα1 ∪ · · · ∪ Uαk，则称 K 是 X 的紧致子集。特 别地，若 X 本身满足该条件，则称 X 是紧致拓扑空间。 (4) 连通性：设 A 是拓扑空间 X 的子集，若存在 X 中的两个开集 U1 和 U2 使得 A ∩ U1 6= ∅，A ∩ U2 6= ∅，并满足 A ⊂ U1 ∪ U2 = X, 且 U1 ∩ U2 ∩ A = ∅, 则称 A 是不连通的。如果 A 不是不连通的，则称它是 X 的连通子集。(此外，如 果 X 是不连通的, 那么 X 的每个极大连通子集都被称为 X 的一个连通分支. ) (5) 道路连通性：设 A 是拓扑空间 X 的子集，若对于任意 p, q ∈ A, 都存在连续映射 γ : [0, 1] → A 使得 γ(0) = p, γ(1) = q，则称 A 是道路连通的。这样的映射被称作 3

1.1 拓扑流形 A 中从 p 到 q 的一条道路. (此外，如果 X 不是道路连通的, 那么 X 的每个极大 道路连通子集都被称为 X 的一个道路连通分支. ) 虽然紧致性和连通性一般不能被遗传到子空间，但它们是可乘和可除的：紧致空间/连通 空间/道路连通空间的乘积空间或商空间依然是紧致空间/连通空间/道路连通空间。此 外，不难证明，在连续映射下，任意紧致子集/连通子集/道路连通子集的像依然具有紧 致性/连通性/道路连通性。 在大多数情况下，本书将假设所研究对象是连通的，因为对于不连通的空间，总可 以逐个研究其连通分支. 另一方面，虽然本书中确实会研究非紧致的空间，但我们将会 发现： 如果有紧致性的假设，论证往往会简单很多； 很多非紧致空间的结论是建立在紧致空间相应结论基础之上的 (毕竟本书的研究对 象—流形—具有两种较弱的紧致性，即不仅在局部上是紧致的，而且整体上总可以被表示成可数个 紧致子集的并)。 ¶ 拓扑不变量 若两个拓扑空间 X 和 Y 之间的连续映射 f : X → Y 是可逆的，且其逆映射 f −1 : Y → X 也是连续的，则称 f 是一个同胚映射，并称 X 和 Y 是同胚的拓扑空间。不难 发现，同胚给出了拓扑空间之间的一个等价关系。我们将总是视同胚的拓扑空间为同一 个拓扑空间。 显然，在同胚映射下，上面所提到的拓扑性质都自动被保持不变. 此外，除了各种 拓扑性质之外，还有一些与拓扑空间相关的量（可以是数值，也可以是 ✿✿✿✿ 群、向量空间或 者别的数学对象）在同胚下被保持不变. 它们通常被称作拓扑不变量. 最简单的拓扑不 变量包括 连通分支/道路连通分支的个数； 基本群； 同伦群，同调群，上同调群等 (这些不变量是代数拓扑课程的主要研究对象，本书不作要求)。 下面这个定理则告诉我们，欧氏空间的维数是拓扑不变量，这在接下来定义流形的 维数时是必须的： 定理 1.1.1. （维数的同胚不变性） ♥ 如果 U 是 R n 中的开集, V 是 R m 中的开集, f : U → V 是同胚, 那么 m = n. 该定理看似显然，但其证明却绝不简单。事实上，虽然人们先后给出过该定理的很 多不同证明，但往往都要用到一些深刻的代数拓扑知识。在本书的第二部分中，将利用 de Rham 上同调群（并结合逼近的思想）给出一个证明。一种应用微分拓扑的思想，但 不使用 (上) 同调群或同伦群等高级工具的初等证明可以参见本书作者编著的《拓扑学讲 义》. 4

1.1 拓扑流形 1.1.2 拓扑流形 ¶ 局部欧氏空间 在数学分析等课程中，已经学过如何在欧氏空间这个最简单同时也最重要的拓扑空 间上做分析（包括微分，积分等）。因为分析，尤其是映射的光滑性等微分性质，仅依赖 于映射的局部性态，所以在将相应的理论拓展到更一般的空间时，自然地要去考虑局部 同胚于欧氏空间的拓扑空间： 定义 1.1.2. （局部欧氏空间） ♣ 设 M 是一个拓扑空间。如果对于任意 x ∈ M, 均存在三元组 (ϕ, U, V )，使得 (1) U 是 x 在 M 中的一个开邻域, (2) V 是 R n 中的开集, (3) ϕ : U → V 是 U 到 V 的同胚， 则称 M 是一个 n 维局部欧氏空间，并称三元组 (ϕ, U, V ) 为 M 在点 x 附近的一 个坐标卡，称 U 为一个坐标邻域，而 ϕ 为坐标映射. 注意由定理1.1.1，局部欧氏空间的维数是良定的概念。【为简单起见，我们不考虑 “具有多个局部欧氏连通分支且各个连通分支具有不同维数”的空间。】 注 1.1.3. (1) 在任意点 x 附近，坐标卡都远不是唯一的：设 (ϕ, U, V ) 是 x 附近的坐标卡. 那么 对于 x 的更小的开邻域 U1 ⊂ U, 若记 ϕ1 = ϕ|U1 , 并且令 V1 = ϕ(U1), 则 (ϕ1, U1, V1) 也是 x 附近的一个坐标卡. 对于任意同胚 φ : V → V1，其中 V2 ⊂ R n 也是欧氏开集，若记 ϕ1 = φ ◦ ϕ， 则 (ϕ1, U, V1) 也是 x 附近的一个坐标卡。特别地，对于任意 v ∈ R n , 记 Vv = V + {v} 以及 ϕv(x) = ϕ(x) + v, 那么 (ϕv, U, Vv) 是 x 附近的一个坐标卡. 当然，同一个点附近的两个不同坐标卡，一般而言未必是一个包含另一个，而完全 可能是仅有部分重叠，如下图所示： 图 1.1: 重叠的坐标卡 (2) 通过缩小 U 并适当调整 ϕ，可以使得 V 是欧氏空间的单位开球体（或者是 R n 本 身，因为它与单位开球同胚）, 并使得 ϕ(x) = 0. 这样的坐标卡称为以 x 为中心的 坐标卡，是最常用的坐标卡。 5

1.1 拓扑流形 ¶ 拓扑流形 虽然局部欧氏性质对于即将定义的拓扑流形而言是最核心的性质，但是确实有一些 局部欧氏空间在“半局部”或整体上性质不够好，例如 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 具有两个原点的直线 是局部欧氏的, 但是它不是 Hausdorff 空间，而这将会导致 “一个收敛点列会同时收敛到两个不同的点”这样的现象发生，从而在这样的空间 上无法建立起合理的极限和分析理论。 ✿✿✿✿✿✿✿ 长直线 是局部欧氏的, 但是它不是第二可数的，于是对于这样的空间，无法从局部 过渡到整体（这种过渡主要是利用后文即将建立的“单位分解定理”）. 对这些病态的例子，本书不具体展开，感兴趣的读者可在 [1] 中了解其定义和基本性质. 下面定义拓扑流形的概念. 粗略地说，拓扑流形是在刨去那些病态反例后剩下来的 性质比较好的局部欧氏空间： 定义 1.1.4. （n 维 拓扑流形 ） ♣ 若拓扑空间 M 满足 (1) M 是 Hausdorff 空间， (2) M 是第二可数空间， (3) M 是 n 维局部欧氏空间， 则称 M 是一个 n 维 拓扑流形. 注 1.1.5. 根据点集拓扑的相关知识，不难证明拓扑流形具有以下各种良好拓扑性质： 任意拓扑流形都是局部紧的 (即任意点都有开邻域使得其闭包是紧集) 任意拓扑流形都是局部连通 (即任意点的任意邻域都有一个包含该点的连通开子集)、局部道 路连通的 (即任意点的任意邻域都有一个包含该点的道路连通开子集) 任意拓扑流形都是可分的 (即存在可数稠密子集) 任意拓扑流形都是 Lindelöf 的 (即任意开覆盖都有可数子覆盖) 任意拓扑流形都是 σ 紧的 (即可以写成可数个紧集的并) 任意拓扑流形都是正则的 (即点和不交闭集可用开集分离) 和正规的 (即两个不交闭集可用开 集分离) 任意拓扑流形都是仿紧的 (即任意开覆盖都有局部有限开加细) 任意拓扑流形都是可度量化的 (即存在度量结构，使得诱导的拓扑一致) 注 1.1.6. 部分书籍在定义拓扑流形时，不假设第二可数性或者 Hausdorff 性质，或者 用某些较弱的条件（例如仿紧性等）代替。 需要指出的是，还有一些仅仅在较弱的意义下具有欧氏性质的空间，也可以被用作 局部模型而发展分析理论。例如，可以用“欧氏空间开集或者欧氏半空间开集”为局部模 型，建立带边流形的理论；或者用“特定的 Hilbert 空间/Banach 空间/Fréchet 空间/拓 扑向量空间”为模型，建立相应的无穷维流形的理论。本书中我们仅考虑有限维流形的 理论。 6

1.1 拓扑流形 注 1.1.7. 我们简要介绍一下流形概念的历史： 流形的概念首次出现于 B. Riemann 于 1854 年 7 月 10 日在哥廷根大学所做的题 为“论作为几何学基础的假设”的就职演说里，在其中他将 n 维流形直观地描述 为 (n − 1) 维流形的连续堆叠. 这是人类思维的一次重大飞跃：从此欧氏空间不再 是唯一可能的物理空间模型 (但是作为局部模型，欧氏空间仍然有着特殊的地位). 在 1895 年，H. Poincaré 发表了他的著名论文“位置分析”. 在这篇文章 (连同 1899 年至 1904 年间的五篇补编) 当中，他研究了三维以及更高维的流形. 他首次将微分流 形外蕴地定义为欧氏空间之间 (满足特定“非退化性”假设的) 连续可微映射的水 平集, 并且进一步利用流形链定义了更一般的流形. 后者是现代记号中“图册”这 一概念的前身. 在 1911-1912 年，H. Weyl 在其黎曼曲面课程中，通过引入点集拓扑，利用图册抽 象而内蕴地定义流形，给流形理论建立了牢固的基石. 最终在二十世纪三十年代，H. Whitney 证明了对于光滑流形而言 (具体定义见下节)， 由图册给出的抽象内蕴定义等价于 Poincaré 用欧氏空间中子集给出的外蕴定义. 注 1.1.8. Riemann 引入流形时将之命名为 Mannigfaltigkeit（德文），这里简要介绍一 下它在几种语言中的译名： 该词在英语中被译为 manifold（原意为“多层，多样化”）【因而在日文中被翻译为“多 樣體”】。不过，英文中主要用 manifold 表示带有拓扑或微分结构的如上定义的空 间, 而用另一个词 variety 表示相应的带有代数结构的空间(通常译为代数簇). 该词在在法语中被译为 variété。带有拓扑/微分/代数结构的空间分别被翻译为 var￾iétés topologiques/différentielle/algébrique. 该词最优美的翻译是在中文里：中国拓扑学的奠基人江泽涵取用南宋诗人、民族英 雄文天祥《正气歌》中的一句 天地有正气，杂然赋流形。 将它翻译成“流形”，雅致而达意。该词更原始的出处见《易经·乾·彖传》， 云行雨施，品物流形。 此外，该译法还有一重巧妙的地方：总所周知，研究“数的分析”的理论，最初被 牛顿称为 fluxion 并被翻译为“流数”；故而把研究“形上的分析”时的背景空间叫 做“流形”，数与形这数学中两个最基本研究对象就形成了巧妙的呼应！ 7

1.1 拓扑流形 ¶ 拓扑流形最简单的例子 显然若 M 是拓扑流形，而 N 同胚于 M，那么 N 也是一个拓扑流形。正如对于拓 扑空间那样，同胚的拓扑流形将被视为同一个拓扑流形。下面给出拓扑流形的几个最简 单的例子： (1) 只有一个 0 维连通拓扑流形，即单点集。如果不要求连通性，那么任意可数点集 （赋予离散拓扑）是 0 维拓扑流形，反之任意 0 维拓扑流形都是一个可数点集。 (2) 只有两个不同的 1 维连通拓扑流形，分别是实直线 R 和圆 S 1。 (3) 2 维紧致连通拓扑流形也有一个相对较为简单的分类，即 Σk = T 2# · · · #T（2 k ≥ 0） 和 Σek = RP2# · · · #RP2（k ≥ 1）. 但对于 3 维及更高维拓扑流形，分类问题则异 常复杂，没有这种简单而完全的列表。 (4) 欧氏空间 R n 本身是一个 n 维拓扑流形。事实上，R n 中的任意开集 U 是一个 n 维拓扑流形, 因为可以取其坐标卡为 (ϕ, U, U)，其中映射 ϕ 为恒等映射. 特别地， (a). (矩阵空间). 令 M(n, R) 为全体 n × n 实矩阵的集合. 它是同构于 R n 2 的线 性空间，因此可以自然地被视作是一个同胚于 R n 2 的拓扑流形. (b). (一般线性群). 一个更有趣的例子是一般线性群 GL(n, R) = {A ∈ M(n, R) | det(A) 6= 0}. 它是 M(n, R) 中的开集, 从而是一个 n 2 维拓扑流形. 本书后文中将会证明， 它的“闭子群”都是光滑流形。由此可以得到很多由矩阵构成的流形，它们都 是李群的重要例子. (5) 更一般地，拓扑流形 M 的任意开子集 U（赋予子空间拓扑）仍然是拓扑流形，因 为根据定义， 作为 Hausdorff 空间 M 的子空间，U 仍然是 Hausdorff 空间； 作为第二可数空间 M 的子空间，U 仍然是第二可数空间； 若 (ϕα, Uα, Vα) 是 M 的一个坐标卡，则 (ϕα|U∩Uα , U ∩ Uα, ϕα(U ∩ Uα)) 是 U 的一个坐标卡. (6) 如果 M1 和 M2 分别为 n1 维和 n2 维拓扑流形，那么乘积空间 M1 × M2（赋予乘 积拓扑）是 n1 + n2 维拓扑空间. 事实上，如果 (ϕ1, U1, V1) 和 (ϕ2, U2, V2) 分别为 M1 和 M2 上点 p 和点 q 附近的坐标卡，那么可以证明：(ϕ1 ×ϕ2, U1 ×U2, V1 ×V2) 是 M1 × M2 上 (p, q) 附近的坐标卡. [当然还要用到如下事实：两个 Hausdorff 空间或第二 可数空间的乘积空间仍然是 Hausdorff 空间或第二可数空间] 下一节中我们将定义光滑流形并给出一些更复杂但更有意思的例子，包括函数的图像， 球面，实射影空间等等，而它们（以及本书后文中将出现的各种光滑流形）当然也都是 拓扑流形. 8