2.5 Whitney 嵌入定理 2.5 Whitney 嵌入定理 本书 §1.1 中提到，历史上有两种流形的定义: 由 Poincaré 给出的外蕴/具体的定 义(即欧氏空间中满足特定约束条件的点集)，和由 Weyl 给出内蕴/抽象的定义(即由局部坐标卡粘 合而成的对象). 在 20 世纪 30 年代，Whitney 证明了这两种定义实际上是相同的. 事实上， Whitney 的结果比上述结论更强：不仅可以将任何光滑流形嵌入到某个欧氏空间，而且 该欧氏空间的维数只要是流形本身维数的两倍左右就够了： 定理 2.5.1. （Whitney 嵌入/浸入定理） ♥ (1) 任意 m 维光滑流形 M 能被嵌入到 R 2m+1 中. (2) 任意 m 维光滑流形 M 能被浸入到 R 2m 中. 注意“浸入到”并不表示“其像集是一个浸入子流形”, 因为浸入可以不是单射. 注 2.5.2. 通过使用完全不同的技术，Whitney 在 1944 年证明了更强的 定理 2.5.3. （强 Whitney 嵌入/浸入定理） ♥ 任意 m(≥ 2) 维光滑流形能被嵌入到 R 2m，且能被浸入到 R 2m−1 中. 另一方面，可以证明，R m 中的任意 (m − 1) 维紧致光滑子流形（也称为闭超曲）一定是 可定向的. 特别地，不可定向闭曲面例如 RP2 , Klein 瓶等都不能被嵌入到 R 3 中，故强 Whitney 嵌入定理中的维数是最佳的。在二十世纪下半叶，人们进一步得到了很多有关 嵌入和浸入的结果，例如 任意光滑紧致可定向 m 维流形能被嵌入到 R 2m−1 中. 对于 m 6= 2k , 任意光滑 m 维流形能被嵌入到 R 2m−1 . 一般地，任意光滑 m 维流 形能被浸入到 R 2m−a(m) 中, 其中 a(m) 是 m 的二进制展开中出现的 1 的个数. 强 Whitney 嵌入定理的证明超出了本书的范围，该方法被称作“Whitney 技巧”，后被 Smale 进一步发展为 h-配边理论并用于证明维数 ≥ 5 情形的 Poincaré 猜想。 本节的目的是证明定理 2.5.1. 我们将先证明简单情形即 M 是紧流形的情形，然后 证明 M 是非紧流形的情形7 . 在这两种情况下，定理的证明都可以被分解为以下三步: 步骤 1 : 将 M 单射地浸入到维数 K 充分大的欧氏空间 R K 中. 背后的想法：流形的每个“小片”微分同胚于 R m 中的“小片”，从而能被嵌 入到欧氏空间中; 两个“相邻的小片”在嵌入时可能会发生重叠，但是只要被 嵌入的欧氏空间维数足够高，那么就可以设法避免这种重叠发生. 步骤 2 : 若 K > 2m + 1, 则将 R K 投影到某个特定的子空间 R K−1 中. 背后的想法：如果所浸入的外围空间的维数非常高，那么沿着某些方向“看过 去”时，你将能看到整个流形[即流形没有“自己把自己挡住”]. 沿着这个方向作投 影，就可以把流形浸入到维数低一维的外围空间. 步骤 3 : 应用定理2.4.19或定理2.4.20，当流形紧致或映射逆紧时，单射浸入必然是嵌入. 7因为紧流形和非紧流形常常具有很大的区别，人们给了它们特殊的名字: 闭流形= 紧致无边流形，开流形= 非紧无边流形. 53
2.5 Whitney 嵌入定理 2.5.1 Whitney 嵌入定理：紧致情形的证明 ¶ 从紧流形单射浸入到 R N 为了证明紧流形的 Whitney 嵌入定理，我们先证明 定理 2.5.4. （紧流形到欧氏空间的单射浸入） 任意紧光滑流形 M 可以被单射浸入到足够高维数的 ♥ K 维欧氏空间 R K 中. 证明 因为 M 是紧致的，存在有限个坐标卡 {(ϕi , Ui , Vi) | 1 ≤ i ≤ k} 覆盖 M. 令 {ρi | 1 ≤ i ≤ k} 为从属于 {Ui | 1 ≤ i ≤ k} 的一个单位分解. 定义 Φ : M → R k(m+1), p 7→ (ρ1(p)ϕ1(p), · · · , ρk(p)ϕk(p), ρ1(p), · · · , ρk(p)). 则 Φ 是一个单射. 设 Φ(p1) = Φ(p2). 取下标 i 使得 ρi(p1) = ρi(p2) 6= 0. 那么 p1, p2 ∈ supp(ρi) ⊂ Ui . 于是有 ϕi(p1) = ϕi(p2). 但是 ϕi 是双射，故 p1 = p2. Φ 是一个浸入. 对于任意 Xp ∈ TpM, 由 Leibnitz 法则, dΦp(Xp) = (Xp(ρ1)ϕ1(p) + ρ1(p)(dϕ1)p(Xp), · · · , Xp(ρk)ϕk(p) + ρk(p)(dϕk)p(Xp), Xp(ρ1), · · · , Xp(ρk)). 若 dΦp(Xp) = 0, 那么对于所有的 i，都有 Xp(ρi) = 0, 从而 ρi(p)(dϕi)p(Xp) = 0, ∀i. 取下标 i 使得 ρi(p) 6= 0，则 (dϕi)p(Xp) = 0. 由 ϕi 是微分同胚可知 Xp = 0. 因此 dΦp 是单射. □ 注 2.5.5. 事实上，上述证明给出了一个更强的结果: 定理 2.5.6. （有限坐标覆盖 =⇒ 单射浸入到欧氏空间） ♥ 若光滑流形 M 能被有限个坐标卡覆盖，则 M 可被单射浸入到某欧氏空间. ¶ 降维投影 接下来应用 Sard 定理证明(注意：此处不假设紧性) 定理 2.5.7. （单射浸入的降维） ♥ 如果 m 维光滑流形 M 可被单射浸入到欧氏空间 R K 中，且 K > 2m + 1, 那么 M 可被单射浸入到 R K−1 中. 证明 设 Φ : M → R K 是一个单射浸入，且 K > 2m + 1. 为了构造从 M 到 R K−1 的单 射浸入，考虑从 R K 到它的所有 K − 1 维线性子空间的正交投影, 并将 Φ 与每一个这样 的投影映射复合. 下证：对于“几乎所有的”投影，该复合映射都是一个单射浸入. 注意 R K 中任意 K − 1 维线性子空间都被它的法方向唯一决定，法方向是过原点的 一维直线，而 R K 中所有过原点的直线构成了实射影空间 RPK−1 , 它是一个 K − 1 维光 54
2.5 Whitney 嵌入定理 滑流形. 对于任意过原点的直线 [v] ∈ RPK−1 , 令 P[v] = {u ∈ R K | u · v = 0} ' R K−1 为直线 [v] 在 R K 中的正交补空间. 记 π[v] : R K → P[v] 为 R K 到这个超平面的正交投 影，并令 Φ[v] = π[v] ◦ Φ. 断言：集合 [v] | Φ[v]不是单射浸入 是 RPK−1 中的零测集. 于是对几乎所有的 [v] ∈ RPK−1 , 映射 Φ[v] 是从 M 到某个 R K−1 的单射浸入. 下面证明断言. 首先考虑使得 Φ[v] 不是单射的 [v]. 此时可以找到 p1 6= p2，使得 Φ[v] (p1) = Φ[v] (p2), 即 0 6= Φ(p1) − Φ(p2) 位于直线 [v] 中. 换句话说, [v] = [Φ(p1) − Φ(p2)]. 因此 [v] 必然位于光滑映射 α : (M × M) \ ∆M → RPK−1 , (p1, p2) 7→ [Φ(p1) − Φ(p2)] 的像集中，其中 ∆M = {(p, p) | p ∈ M} 是 M ×M 中的“对角线”. 由于 (M ×M) \∆M 是维数为 2m < K − 1 的光滑流形, 根据 Sard 定理的最简单情形，α 的像集在 RPK−1 中是零测集. 因此使得 Φ[v] 不是单射的 [v] 构成的集合是零测集. 最后考虑使得 Φ[v] 不是浸入的 [v]，此时存在 p ∈ M 和 0 6= Xp ∈ TpM 使得 0 = (dΦ[v] )p(Xp) = (dπ[v] )Φ(p) (dΦ)p(Xp). 因为 π[v] 是线性的, 所以 dπ[v] = π[v] . 于是非零向量 (dΦ)p(Xp) 在 [v] 中, 从而 [v] = [(dΦ)p(Xp)]. 换句话说, [v] 位于光滑映射 β : TM \ {0} → RPK−1 , (p, Xp) 7→ [(dΦ)p(Xp)] 的像集中，其中 TM \ {0} = {(p, Xp) | Xp 6= 0} 是切丛 TM 的开子流形. 因为 TM 的 维数 2m < K − 1, 由 Sard 定理, β 的像集是零测集. 故使得 Φ[v] 不是浸入的 [v] 也是零 测集. 于是断言成立，从而定理得证. □ 注意到以下事实： (dΦ[v] )p(Xp) = 0 ⇐⇒ (dΦ[v] )p( Xp |Xp| ) = 0, 所以若不要求浸入是单射，可以修改上述证明的最后一步，再降一维： 定理 2.5.8. （从嵌入到浸入） ♥ 如果 m 维光滑流形 M 能被嵌入到 R 2m+1 , 那么它能被浸入到 R 2m. 证明概要 设 Φ : M → R 2m+1 是嵌入。重复定理2.5.7证明中的最后一步, 并做以下修正， 即可证明本定理：选取 Xp ∈ TpM 使得 |Xp| = 1(因为流形已嵌入欧氏空间，切向量 Xp ∈ TpM 的长度是指欧氏空间中的长度)，于是以上证明中的映射 β 能被替换为映射 β˜ : SM → RP2m, (p, Xp) 7→ [(dΦ)p(Xp)], 其中 SM = {(p, Xp) | |Xp| = 1} 一个 2m − 1 维光滑流形，被称作 M 的单位球丛. □ 55
2.5 Whitney 嵌入定理 ¶ 紧流形情形下 Whitney 定理的证明 证明 设 M 是 m 维紧致光滑流形。根据定理2.5.4，定理2.5.7和定理2.4.19，M 可被嵌 入到 R 2m+1 中。再根据定理2.5.8，M 可被浸入到 R 2m 中。 □ 2.5.2 Whitney 嵌入定理：非紧情形 上述证明在流形 M 非紧时不能完全照搬，因为一方面我们不知道非紧流形是否可 以用有限多个坐标卡覆盖[虽然答案是“是”，但证明并不简单]，另一方面从非紧流形出发的单 射浸入不一定是嵌入，所以还需要把所得的单射浸入改造成逆紧的单射浸入。 ¶ 从非紧流形到 R N 的单射浸入 先证明定理2.5.4的非紧版本： 定理 2.5.9. （非紧流形到欧氏空间的单射浸入） 任意非紧光滑流形 ♥ M 都存在到足够大的维数 K 的欧氏空间 R K 的单射浸入. 证明的思路很简单：如果每次嵌入一个流形片的话，无穷多个“杂乱的流形片”不 太好浸入到欧氏空间，但如果这些流形片排列很规整，则可能一次性嵌入很多流形片。 证明 根据习题 1, 在 M 上存在光滑穷竭函数 f. 对于每个 i ∈ N, 定义 Mi = f −1 [i, i + 1] . 用有限多个坐标卡 U1, · · · , Uk 去覆盖紧集 Mi , 并且令 Ni = (U1 ∪ · · · ∪ Uk) ∩ f −1 (i − 0.1, i + 1.1) . 那么每个 Ni 是 M 的 (开) 子流形，且 Mi ⊂ Ni . 此外, 如果 |i − j| ≥ 2, 则 Ni ∩ Nj = ∅. 根据构造，每个 Ni 能被有限多个坐标卡覆盖. 故由定理2.5.6, 存在从 Ni 到某个（高维） 欧氏空间 R K 的单射浸入. 因为 Ni 是 m 维光滑 (无边) 流形, 定理2.5.7说明存在从 Ni 到 R 2m+1 的单射浸入 ϕi . 取光滑鼓包函数 ρi，使得在 Mi 的一个开邻域上 ρi = 1，且 suppρi ⊂ Ni (该函数的存 在性可由习题 1 中光滑 Urysohn 引理保证). 定义 Φ : M → R 4m+3, p 7→ Ñ X i是奇数 ρi(p)ϕi(p), X i 是偶数 ρi(p)ϕi(p), f(p) é . 注意上式中的两个“无穷”求和，在每个点 p ∈ M 的充分小邻域中, 至多有一项非零. 因 此 Φ 是光滑映射. 以下只需要证明 Φ 是单射浸入: Φ 是单射 如果 Φ(p1) = Φ(p2), 那么 ∃i ∈ N 使得 f(p1) = f(p2) ∈ [i, i + 1]. 故 p1, p2 ∈ Mi ⊂ Ni 并且 ϕi(p1) = ϕi(p2). 因为 ϕi 是单射, 所以 p1 = p2. Φ 是浸入 设 p ∈ Mi . 不失一般性，设 i 是奇数. 那么对于 0 6= Xp ∈ TpM, dΦp(Xp) = ((dϕi)p(Xp), ∗, ∗). 因为 ϕi 是在 Ui 3 p 上是浸入, 故 (dϕi)p(Xp) = 0 6 ，从而 dΦp(Xp) 6= 0. 这样就完成了证明. □ 56
2.5 Whitney 嵌入定理 ¶ 从单射浸入到逆紧单射浸入 在很多情况下，把紧流形的性质推广到非紧流形时，只需假设映射的逆紧性即可. 为 了应用定理2.4.20，需要先证明 定理 2.5.10. （单射浸入 ⇒ 逆紧单射浸入） ♥ 若 m 维光滑非紧流形 M 能被单射浸入到 R K，其中 K > 2m，则它能被逆紧单 射浸入到 R K 中. 证明 设 Φ : M → R K 是单射浸入。将 Φ 和微分同胚 R K → B K(1) = {x ∈ R K | |x| ≤ 1}, x 7→ x 1 + |x| 2 复合，可以假设对于所有 p ∈ M 都有 |Φ(p)| ≤ 1 成立. 取 M 上任意正的光滑穷竭函数 f, 并且定义 Φ = (Φ e , f) : M → R K+1, p 7→ (Φ(p), f(p)). 则 Φe 也是一个单射浸入，且 K + 1 > 2m + 1. 于是可以重复定理2.5.7的证明, 得到另一 个单射浸入 Ψ = π[v] ◦ Φ : e M → R K, 其中 π[v] 是某个投影 π : R K+1 → P[v] ' R K，且总可以选择 [v] 使得 [v] 6= [0 : · · · : 0 : 1]. 下面证明 Ψ 是逆紧的. 不失一般性，假设 v 是单位向量，并记 v = (v ′ , vK+1). 于是 条件 [v] 6= [0 : · · · : 0 : 1] 等价于 |v K+1| 0 使得 C ⊂ {x | |x K+1| < A}. 由 |Φ(p)| ≤ 1, |v K+1| ≤ 1 且 |v ′ | ≤ 1 可知 p ∈ Ψ −1 (C) =⇒ f(p)[1 − (v K+1) 2 ] − (Φ(p) · v ′ )v K+1 < A =⇒ f(p)[1 − (v K+1) 2 ] ≤ A + (Φ(p) · v ′ )v K+1 ≤ A + 1. 于是 Ψ−1 (C) ⊂ f −1 ([− A+1 1−|vK+1| 2 , A+1 1−|vK+1| 2 ]). 但是由 Ψ 的连续性可知 Ψ−1 (C) 在 M 中 是闭集，而由 f 的逆紧性可知 f −1 ([− A+1 1−|vK+1| 2 , A+1 1−|vK+1| 2 ]) 在 M 中是紧集. 因此 Ψ−1 (C) 是紧集. 故 Ψ 是逆紧的，从而完成了证明. □ ¶ 非紧流形情形 Whitney 定理的证明 证明 设 M 是 m 维光滑非紧流形。根据定理2.5.9，定理2.5.7，定理2.4.20以及定理2.4.20， M 可被嵌入 R 2m+1。再根据定理2.5.8, M 可被浸入到 R 2m 中. □ 注 2.5.11. 这里事实上证明了更强的结论：任何 m 维光滑流形可被逆紧地嵌入 R 2m+1。 注 2.5.12. 对于带边流形同样有 Whitney 嵌入/浸入定理，参见 [2] 第 1 章定理 4.3. 57