1.2 光滑流形 1.2 光滑流形 上一节给出了拓扑流形的概念。作为“拓扑范畴”的子范畴，对于拓扑流形人们关 注的还是连续映射（以及同胚）。为了能够在流形上运用强大的分析工具，需要对流形和 映射提出光滑性的要求。本节给出光滑流形的定义与基本例子，并进而给出光滑流形间 光滑映射的定义。它们是“光滑流形范畴”的基本要素，是本书的主要研究对象。 1.2.1 光滑流形：定义 ¶ 光滑函数和光滑映射: 欧氏情形 为了从拓扑流形过渡到光滑流形，先简要回顾一下数学分析中光滑函数和微分同胚 的概念。设 U 是 R n 中的一个开集, 而 f : U → R 是 U 上的一个连续函数. 若 f 的所有不超过 k 阶的偏导数 ∂ α f := ∂ |α|f ∂xα := ∂ |α|f (∂x1) α1 · · ·(∂xn) αn , |α| = α1 + · · · + αn ≤ k 都是 U 上的连续函数，则称 f 是一个 C k -函数。 若对于任意正整数 k, f 都是 C k 函数，则称 f 是一个 C∞ 函数，或者光滑函数. 若 f 是光滑函数，并且 f 在 U 中任意一点的 Taylor 级数都在该点的某个小邻域 内收敛于函数 f 自身，则称 f 是一个解析函数 (或者 C ω 函数). 注意并不是所有光滑函数都是解析的，下一节中将会给出一个具体例子。 类似的，设 U 是 R n 中的一个开集，V 是 R m 中的一个开集，而 f = (f1, · · · , fm) : U → V 是从 U 到 V 的一个连续映射. 如果映射 f 的任一分量 fi（1 ≤ i ≤ m）都是一个 C∞ 函 数 (或者 C k 函数, 或 C ω 函数)，则称 f 是 C∞ 映射 (或者 C k 映射，或 C ω 映射) . 1 正如连续映射是“拓扑范畴”中的态射那样，光滑映射是“光滑范畴”中的态射，是 分析中最基本的研究对象。类似地，可以定义“光滑范畴”中的同胚，即 定义 1.2.1. （微分同胚） ♣ 若一个光滑映射 f : U → V 既是单射也是满射，并且 f −1 : V → U 也是一个光滑 映射，则称 f 为一个微分同胚. 根据定义，很容易得到 恒等映射 Id : U → U 是一个微分同胚。 如果 f : U → V 是一个微分同胚，那么 f −1 : V → U 也是微分同胚. 如果 f : U → V 和 g : V → W 均为微分同胚，那么 g ◦ f : U → W 也是微分同胚. 于是，微分同胚是欧氏开集之间的一个等价关系，微分同胚的开集具有完全相同的分析 性质。 1本书主要考虑 C ∞ 函数和 C ∞ 映射. 后文中大多数定义和定理都能拓展到 C k 的情况. 不过, C ω 映射的理 论会有较大的差异. 9
1.2 光滑流形 ¶ 相容坐标卡 下面考虑定义在流形上的函数的光滑性。按照数学分析中的经验，光滑性是一个局 部性质，即函数在一点是否光滑仅与函数在该点附近的取值有关。设 M 是一个拓扑流 形。因为 M 上任意一点的附近都有坐标卡 (ϕ, U, V ), 该坐标卡将 M 中的开集 U 与 R n 中的开集 V 等同起来，所以可以自然地将 U 上的函数 f 等同于 V 上的函数 f ◦ϕ −1 , 然 后由 f ◦ ϕ −1 的光滑性去定义 f 自身的光滑性. 这个想法虽然在大方向上是没错的，但 有一个很大的问题：M 上每一点附近都存在着许多不同的坐标卡，有可能会出现“在某 给定点处，f 关于一个坐标卡是光滑的，而关于另一个坐标卡是不光滑的”这种现象。这 显然是不合理的，因为函数 f 在一点处的光滑性应该是函数本身的性质，与特定坐标卡 选取无关. 事实上，上述“不合理现象”并不少见，而是出现于所有拓扑流形。例如， 例 1.2.2. 考虑 M = R，并取 U = R, V = R 以及 ϕ(x) = x 3，则 (ϕ, U, V ) 是一个坐 标卡。但是在这个坐标卡下，甚至连多项式函数 f(x) = x n（其中自然数 n 不是 3 的倍 数）都不光滑，因为 f ◦ ϕ −1 (x) = x n/3 在 x = 0 处不是光滑函数！当然，如果我们取的 坐标映射 ϕ 是 ϕ(x) = x 或者 ϕ(x) = e x（此时 V = (0, +∞)，则多项式函数 f(x) = x n 在这样的坐标卡中依然是光滑的。 解决这个问题的关键在于从思想上认识到“光滑性”并不是流形的拓扑结构自带的 性质，而是额外附加在拓扑流形上的一个新的数学结构。实际解决办法也不复杂：因为 同一点附近的坐标卡太多，其中很多坐标卡对于定义函数的光滑性而言会给出不一致的 结论，所以为了定义函数的光滑性，要做的是去掉大部分坐标卡，仅保留那些能给出一 致结果的坐标卡。具体而言，如果 ϕ 和 ψ 都是同一点附近的坐标映射，我们希望映射 f ◦ ϕ −1 和 f ◦ ψ −1 同时是光滑或非光滑的. 这相当于要求 ϕ ◦ ψ −1 是光滑的. (注：即使 f ◦ φ −1 和 f ◦ ψ −1 都是光滑的, 我们仍然希望映射 φ ◦ ψ −1 是光滑的，因为在这个条件下，f ◦ φ −1 和 f ◦ ψ −1 的微分才能通过链式法则联系起来. ) 在这种需求之下，我们定义 定义 1.2.3. （相容性与转移映射） ♣ 设 M 是 n 维光滑流形, (ϕα, Uα, Vα) 和 (ϕβ, Uβ, Vβ) 是 M 上的两个坐标卡. 如果 Uα ∩ Uβ = ∅，或者当 Uα ∩ Uβ 6= ∅ 时，二者之间的转移映射 ϕαβ = ϕβ ◦ ϕ −1 α : ϕα(Uα ∩ Uβ) → ϕβ(Uα ∩ Uβ) 是微分同胚，则称这两个坐标卡是相容的. 关于这个定义，需要指出的是： 因为 ϕα(Uα ∩ Uβ) 和 ϕβ(Uα ∩ Uβ) 在 R n 都是开集, 所以定义中涉及的 ϕαβ 的光 滑性是熟悉的欧氏空间开集间映射的光滑性. 相容性是相互的：若 ϕαβ 是微分同胚，则 ϕβα = (ϕαβ) −1 也是微分同胚. 10
1.2 光滑流形 图 1.2: 转移映射 ¶ 光滑流形的定义 所谓的光滑结构，就是一组两两相容且覆盖整个流形的坐标卡： 定义 1.2.4. （图册及其等价性） ♣ (1) 流形 M 上的一个光滑图册 A 指的是一族满足 S α Uα = M 的坐标卡 (ϕα, Uα, Vα), 使得 A 中所有坐标卡都是彼此相容的. (2) 若 M 上的两个光滑图册 A1, A2 的并集依然是 M 上的光滑图册，则称这两 个图册是 等价的图册. 例 1.2.5. 在 R 上定义三个图册，Ai = (ϕi , R, R) (1 ≤ i ≤ 3), 其中 ϕ1(x) = x, ϕ2(x) = 2x, ϕ2(x) = x 3 . 则 A1, A2 是等价的，但是 A1, A3 是不等价的，因为 ϕ31(x) = ϕ1 ◦ ϕ −1 3 (x) = x 1/3 不是 R 上的光滑函数. 显然，光滑图册之间的等价性是 M 上所有光滑图册集合上的一个等价关系。 定义 1.2.6. （光滑结构与光滑流形） ♣ 拓扑流形 M 上光滑图册的等价类称为 M 上的一个光滑结构. 赋予了光滑结构的 n 维拓扑流形被称为 n 维光滑流形. 因此一个光滑流形是一对 (M, [A]). 下文中，在不会引起混淆的情况下，我们总是省 略 [A] 而直接说“光滑流形 M”. 注意根据这个定义，例1.2.2中所给出的坐标卡 ϕ(x) = x 3 也给出了 R 上的一个光滑结构，只是它跟我们熟悉的 R 上标准的光滑结构不同。 注 1.2.7. (1) 并非每个拓扑流形都可以被赋予光滑结构. 这方面的第一个例子是 1960 年由 M. Kervaire 所构造的一个十维紧拓扑流形. 后来根据 S. Donaldson 以及 M. Freedman 等人关于四维流形的深刻结果，大家发现有很多单连通四维流形上没有光滑结构. (2) 类似地可以定义 n-维 C k 流形的概念。虽然拓扑流形跟光滑流形有本质区别，但是 对于 k ≥ 1，C k 跟光滑流形则并没有本质区别：Whitney 证明了任意 C k (k ≥ 1) 流形上均存在唯一 (在微分同胚意义下，见本节后面的定义1.2.27) 的相容光滑结构，证明 可参见 [2]（第 51 页定理 2.9）。 11
1.2 光滑流形 1.2.2 光滑流形的例子 不难证明（留作习题） 任意光滑流形的开子集依然是光滑流形， 两个光滑流形的乘积依然是光滑流形。 下面给出一些具体的光滑流形。 ¶ 单坐标卡流形 由定义立刻可以得到 命题 1.2.8. （单个坐标卡与光滑结构） ♠ 若拓扑流形 M 可以被单独一个坐标卡覆盖，那么这个坐标卡自动地给出了 M 上 的一个光滑结构. 特别地， R n 和 R n 中的任意开集都是光滑流形. 一般线性群 GL(n, R) 是一个光滑流形. 下面则是一类非常常见的例子： 例 1.2.9. (映射的图像). 对于任意欧氏开集 U ⊂ R m 和 U 上的任意连续映射 f : U → R n , 定义 f 的图像为 Γ(f) = {(x, y) | x ∈ U, y = f(x)} ⊂ R m+n . 赋予 Γ(f) 由 R m+n 的欧氏拓扑所诱导的子空间拓扑, 则 Γ(f) 是 Hausdorff 和第二可数 的. 它还是局部欧氏的，因为它有一个整体的坐标卡 (ϕ, Γ(f), U), 其中 ϕ : Γ(f) → U, ϕ(x, y) = x 是投影到分量的映射. [φ 是一个同胚，因为 φ 显然连续、可逆，并且其逆映射 φ −1 : U → Γ(f), φ −1 (x) = (x, f(x)) 是连续的.] 因此 Γ(f) 是一个 m 维拓扑流形. 因为它可以被单独一个坐标卡覆盖，所以它 事实上是光滑流形。 注 1.2.10. 这个例子告诉我们 任意✿✿✿✿✿ 连续函数 f : U ⊂ R n → R 的图像 Γ(f) 上存在一个内蕴的光滑结构，使 之成为一个光滑流形 ✿✿✿✿ . 然而，一般而言，如果 f 仅仅连续而不光滑，那么 Γ(f) 上的这个光滑结构✿✿✿✿✿✿✿ 有可能跟 R n+1 上我们熟悉的光滑结构不一致，从而它不是 R n+1 的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 光滑子流形(定义见后文). 12
1.2 光滑流形 ¶ 球面上的光滑结构 例 1.2.11. (球面). 对于任意的 n ≥ 0, 考虑 R n+1 中的单位球面 S n = {(x 1 , · · · , xn , xn+1) | (x 1 ) 2 + · · · + (x n ) 2 + (x n+1) 2 = 1} ⊂ R n+1 . 在子空间拓扑下它是 Hausdorff 和第二可数的. 为了证明它是局部欧氏的，可以考虑用 两个开子集去覆盖 S n： U+ = S n \ {(0, · · · , 0, −1)}, U− = S n \ {(0, · · · , 0, 1)} 然后通过球极投影定义两个坐标卡 (ϕ+, U+, R n ) 和 (ϕ−, U−, R n ), ϕ±(x 1 , · · · , xn , xn+1) = 1 1 ± x n+1 (x 1 , · · · , xn ). 容易验证 ϕ± 是连续和可逆的，并且其逆映射 ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 1 1 + (y 1) 2 + · · · + (y n) 2 2y 1 , · · · , 2y n , ±(1 − (y 1 ) 2 − · · · − (y n ) 2 ) 也是连续的. 于是在集合 ϕ−(U+ ∩ U−) = R n \ {0} 上， ϕ−+(y 1 , · · · , yn ) = ϕ+ ◦ ϕ −1 − (y 1 , · · · , yn ) = ϕ+ Å 1 1 + |y| 2 2y 1 , · · · , 2y n , −1 + |y| 2 ã = 1 |y| 2 (y 1 , · · · , yn ), 是 R n \ {0} 到自身的微分同胚. 因此这两个坐标卡是相容的. 图 1.3: 球极投影 图 1.4: 用半球覆盖球面 注 1.2.12. 也可以用 2n + 2 个半球面（以及用对应的坐标投影给出的坐标卡）去覆盖 S n . 具体来说，对于任意 1 ≤ i ≤ n + 1, 令 U + i = {(x 1 , · · · , xn+1) ∈ S n : x i > 0} 为在第 i 个方向上的“上半球面”，并定义映射 ϕ + i : U + i → Bn (1) 为投影映射 ϕ + i (x 1 , · · · , xn+1) = (x 1 , · · · , xi−1 , xi+1, xn+1), 其中 Bn (1) 是 R n 中的单位开球体. 可以验证每个 (ϕ + i , U + i , Bn (1)) 都是坐标卡. 类似 地，可以在每个“下半球面”定义坐标卡 (ϕ − i , U − i , Bn (1)). [验证：上述通过半球面定义 的 S n 上的坐标卡是两两相容的. ] 13
1.2 光滑流形 ¶ 实射影空间上的光滑结构 例 1.2.13. (实射影空间). R n+1 中全体经过原点的直线的集合 RPn 被称为 n 维实射影空间. 为了赋予 RPn 拓扑结构，我们将其视为如下的商空间： RPn = R n+1 − {(0, · · · , 0)} ∼, 其中等价关系 ∼ 为： (x 1 , · · · , xn+1) ∼ (tx1 , · · · , txn+1), ∀t 6= 0. 也可以通过粘合对径点，将 RPn 视为 S n 的商空间 RPn = S n / {x ∼ ±x}. 由以上这些描述可以证明 RPn 是 Hausdorff 和第二可数的，而且它还是紧致的. 通常人们将包含 (x 1 , · · · , xn+1) 的 RPn 中的等价类记为 [x 1 : · · · : x n+1]. 下面在 RPn 上构造局部坐标卡. 考虑以下开集 Ui = {[x 1 : · · · : x n+1] | x i 6= 0}, 1 ≤ i ≤ n + 1. 对于任意的 i, 定义 ϕi : Ui → R n 为 ϕi([x 1 : · · · : x n+1]) = Ç x 1 x i , · · · , x i−1 x i , x i+1 x i , · · · , x n+1 x i å . 不难验证每个 ϕi 都是良定的，连续的，并且其逆映射 ϕ −1 i (y 1 , · · · , yn ) = [y 1 : · · · : y i−1 : 1 : y i : · · · : y n ]. 是连续的. 因此每个 (ϕi , Ui , R n ) 都是坐标卡，进而 RPn 是一个拓扑流形. 最后说明 RPn 是光滑流形. 不失一般性，下面验证 ϕ1,n+1 是一个从 ϕ1(U1 ∩ Un+1) = {(y 1 , · · · , yn ) | y n 6= 0} =: Vn 到 ϕn+1(U1 ∩ Un+1) = {(y 1 , · · · , yn ) | y 1 6= 0} =: V1. 14
1.2 光滑流形 的微分同胚. 事实上，根据定义 ϕ1,n+1(y 1 , · · · , yn ) = ϕn+1 ◦ ϕ −1 1 (y 1 , · · · , yn ) = ϕn+1([1 : y 1 : · · · : y n ]) = Å 1 y n , y 1 y n , · · · , y n−1 y n ã . 它显然是从 Vn 到 V1 的微分同胚. 类似地可以证明其他转移映射 ϕij 都是微分同胚. 注 1.2.14. 类似地，C n+1 中所有经过原点的“复直线”的集合 CPn = C n+1 − {0}/ ∼ 被称为 n 维复射影空间. 重复上面的论证可以验证它是一个光滑流形 (事实上因为上面所给 出的转移映射此时事实上是全纯映射，所以 CPn 还是复流形)。更一般的，对于任意有限维向量空 间 V ，它的全体 k 维子空间构成的集合 Gr(k, V ) = {W ⊂ V | W是V 的k维子空间} 被称为 Grassmann 流形. 可以证明，它们都是光滑流形 (具体细节请参考 [5] 第 22-24 页). 这些流形在现代几何、拓扑、代数与数学物理中均扮演着重要角色. 还可以考虑不必经过原点的直线： 例 1.2.15. (R 2 中的全部直线). R 2 中全部直线的集合（赋予如下所给出的结构）是一 个光滑流形. 为了说明这一点，只需要注意到 R 2 中的任意直线可以被表示为如下的形 式： ax + by + c = 0, 其中 a, b, c ∈ R 且 (a, b) 不全是 0. 因为两个这样的三元组 (a, b, c) 和 (a ′ , b′ , c′ ) 定义了 相同的直线当且仅当 [a : b : c] = [a ′ : b ′ : c ′ ], 即它们对应于 RP2 中相同的点，所以 R 2 中的每条直线都唯一对应于 RP2 中除了 [0 : 0 : 1] 之外的一个元素，且反之亦然. 由此可得一个良定的双射[其的像集是一个 Möbius 带!] φ : {R 2中的直线} → RP2 \ {[0 : 0 : 1]}, ax + by + c = 0 7→ [a : b : c]. 于是，只要将 RP2 的所有结构搬到“R 2 中的所有直线构成的集合”上，就可以给出后 者一个光滑流形的结构. [这个方法实际上是视 RP2 为 R 2 加上“无穷远直线”，从而可以把 R 2 中的 直线延拓成 RP2 中的直线，再利用 RP2 中的“点–直线对偶”把直线转化成 RP2 中的点，从而可以利用 RP2 的光滑流形结构。读者也可以尝试直接由局部的参数化构造其流形结构. ] 15
1.2 光滑流形 1.2.3 光滑函数与光滑映射 有了光滑结构（即坐标卡的相容性），就可以定义分析中的光滑对象了： ¶ 光滑流形上的光滑函数 首先给出流形上光滑函数的定义： 定义 1.2.16. （光滑函数） ♣ 令 (M, [A]) 为一个光滑流形，而 f : M → R 为 M 上的一个函数. (1) 若存在一个包含点 p（即 p ∈ Uα）的坐标卡 (ϕα, Uα, Vα) ∈ A，使得函数 f ◦ ϕ −1 α : Vα → R 在点 ϕα(p) 处光滑，则称函数 f 在点 p ∈ M 处光滑. (2) 若 f 在所有的 p ∈ M 处都光滑，则称 f 是 M 上的一个光滑函数. 假设 f ◦ ϕ −1 α 在 ϕα(p) 处光滑，而 (ϕβ, Uβ, Vβ) 是 A 中另一个包含点 p 的坐标卡， 则由坐标卡的相容性，函数 f ◦ ϕ −1 β = (f ◦ ϕ −1 α ) ◦ (ϕα ◦ ϕ −1 β ) 在 ϕβ(p) 处必然是光滑的. 因此，函数的光滑性与给定的图册中坐标卡的选取无关. 当 然，如果改变流形上 M 上的光滑结构，则有函数的光滑性可能会改变. 注 1.2.17. 根据定义和链式法则，如果 f : M → R 在 p ∈ M 处光滑，并且 h : R → R 在 f(p) 处光滑，那么 h ◦ f 在 p 处光滑. 例 1.2.18. 考虑 S n 上的函数. (1) S n 上的每个坐标函数 fi(x 1 , · · · , xn+1) = x i 都是光滑函数，因为 fi ◦ ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 2y i 1+|y| 2 , 1 ≤ i ≤ n ± 1−|y| 2 1+|y| 2 , i = n + 1 是 R n 上的光滑函数. (2)“纬度函数”是 S 2 上的光滑函数，因为它能表示为“高度函数”x 3 和一个光滑函 数的复合. (3) 然而，“经度”甚至不是整个 S 2 上良好定义的实值函数. 对于任何光滑流形 M，记 M 上全体光滑函数的集合为 C∞(M). 当需要强调所考 虑的是实值函数或者复值函数时，将分别记为 C∞(M, R) 或者 C∞(M, C). 根据 (实或 复) 数域上的代数结构，易见 C∞(M) 是一个 (交换的) 代数，即 它是一个线性空间：如果 f, g 是光滑的，那么 af + bg 是光滑的; 它带有乘法运算（如果 f, g 是光滑的，那么 fg 是光滑的），且该乘法是双线性的， 满足交换律、结合律和分配律. 16
1.2 光滑流形 ¶ 流形间的光滑映射 接下来考虑两个光滑流形之间的光滑映射. 跟光滑函数的定义方式类似，为了定义 光滑流形之间映射的光滑性，要把所考虑的映射限制到合适的坐标卡上： 定义 1.2.19. （光滑映射） ♣ 设 M, N 为光滑流形，而 f : M → N 是一个连续映射. 如果对于 M 的任意坐标 卡a (ϕα, Uα, Vα) 和 N 的任意坐标卡 (ψβ, Xβ, Yβ), 映射 ψβ ◦ f ◦ ϕ −1 α : ϕα(Uα ∩ f −1 (Xβ)) → ψβ(Xβ) (作为欧氏空间开集间的映射）是光滑的，则称 f 为光滑映射. a本书在提到“光滑流形 M 的任意坐标卡”时, 均默认是任意“在给定的图册 A 里”的坐标卡. 图 1.5: 光滑映射 类似地可以定义 C k 流形之间的 C k 映射，或者 C ω 流形之间的 C ω 映射。 注 1.2.20. 在定义中要求映射 f 是连续的，这是为了保证映射 ψβ ◦ f ◦ ϕ −1 α 是定义在 ϕα(p) 的邻域里的. 一般而言，即使每个 ψβ ◦ f ◦ ϕ −1 α 都光滑映射，也并不蕴含 f 的连 续性，反例见习题. 另外一种等价的定义方式是假设“每个点 p 有一个 A 中的坐标邻域 U，使得 f(U) 包含在 N 的某个坐标卡中”. 参见 [2]. 容易验证以下命题 命题 1.2.21. （“光滑性”不依赖于等价的光滑结构的选取） ♠ 如果 f : (M, A) → (N, B) 是光滑的, A1 是 M 上与 A 相容的图册，而 B1 是 N 上与 B 相容的的图册，那么 f : (M, A1) → (N, B1) 是光滑的. 记从 M 到 N 的全体光滑映射所组成的集合为 C∞(M, N). 可以证明 命题 1.2.22. （光滑映射的复合） ♠ 如果 f ∈ C∞(M, N)，且 g ∈ C∞(N, P), 那么 g ◦ f ∈ C∞(M, P). 作为推论，任意光滑映射 f : M → N 都诱导了相应的光滑函数空间的拉回映射 f ∗ : C ∞(N) → C ∞(M), g 7→ g ◦ f. 拉回映射将会在本书后文中扮演重要角色. 17
1.2 光滑流形 ¶ 光滑映射的例子 例 1.2.23. 如果赋予 R 以标准的光滑结构(即总是默认的光滑结构 {(φ1(x) = x, R, R)}), 则 映射 f : M → R 是一个（在定义1.2.19意义下的）光滑映射当且仅当它是一个（在定 义1.2.16下的）光滑函数. 更一般地，映射 f = (f1, · · · , fk) : M → R k 是一个光滑映射当且仅当它的每个分量 fi 是 M 上的光滑函数. 例 1.2.24. 一般线性群 GL(n, R) 是 R n 2 中的开集，从而是一个光滑流形. 用这个只有 一个坐标卡的标准图册，容易验证（这些事实表明 GL(n, R) 是一个 Lie 群，见后文.） (1) 行列式函数 det : GL(n, R) → R, A 7→ det A 是一个光滑函数, (2) 矩阵乘法映射 m : GL(n, R) × GL(n, R) → GL(n, R), (A, B) 7→ AB 是一个光滑映射, (3) 矩阵取逆映射 i : GL(n, R) → GL(n, R), A 7→ A −1 是一个光滑映射. 例 1.2.25. 嵌入映射 ι : S n ,→ R n+1 是光滑的, 因为 ι ◦ ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 1 1 + |y| 2 2y 1 , · · · , 2y n , ±(1 − |y| 2 ) 是从 R n 到 R n+1 的光滑映射. 注意到由定义, R n+1 中任意函数 g 在映射 ι 下的拉回函 数 ι ∗ g 就是 g 在 S n 上的限制: ι ∗ g = g|Sn . 因此 R n+1 中任意光滑函数限制到 S n 上之后是 S n 上的光滑函数. 例 1.2.26. 投影映射 π : R n+1 \ {0} → RPn 是光滑的，因为对于每个 i， ϕi ◦ π(x 1 , · · · , xn+1) = Ç x 1 x i , · · · , x i−1 x i , x i+1 x i , · · · , x n+1 x i å 在 π −1 (Ui) = {(x 1 , · · · , xn+1) : x i 6= 0} 上都是光滑的. ¶ 微分同胚 跟欧氏空间开集情形类似，可以定义光滑流形之间的微分同胚。它们给出了“光滑 范畴”中对象的“等价”： 定义 1.2.27. （微分同胚） ♣ 令 M, N 为光滑流形. 若映射 f : M → N 是一个光滑双射, 且其逆映射 f −1 也是 光滑的，则称 f 是一个 微分同胚. 18