1.2光滑流形1.2光滑流形上一节给出了拓扑流形的概念。作为“拓扑范畴”的子范畴，对于拓扑流形人们关注的还是连续映射（以及同胚）。为了能够在流形上运用强大的分析工具，需要对流形和映射提出光滑性的要求。本节给出光滑流形的定义与基本例子，并进而给出光滑流形间光滑映射的定义。它们是“光滑流形范畴”的基本要素，是本书的主要研究对象。1.2.1光滑流形：定义光滑函数和光滑映射：欧氏情形为了从拓扑流形过渡到光滑流形，先简要回顾一下数学分析中光滑函数和微分同胚的概念。设U是Rn中的一个开集，而f：U→R是U上的一个连续函数。若的所有不超过k阶的偏导数alalfalalf" = (orl).. (on))a=a1+.+an≤k都是U上的连续函数，则称是一个Ck-函数。若对于任意正整数k，f都是Ck函数，则称f是一个C函数，或者光滑函数，。若是光滑函数，并且f在U中任意一点的Taylor级数都在该点的某个小邻域内收敛于函数f自身，则称于是一个解析函数（或者Cw函数）注意并不是所有光滑函数都是解析的，下一节中将会给出一个具体例子。类似的，设U是Rn中的一个开集，V是Rm中的一个开集，而f=(fi,...,fm):U→V是从U到V的一个连续映射.如果映射f的任一分量fi（1≤i≤m）都是一个Coo函数(或者Ck函数，或C函数)，则称于是Coo映射（或者 Ck映射，或Cw映射).1正如连续映射是“拓扑范畴”中的态射那样，光滑映射是“光滑范畴”中的态射，是分析中最基本的研究对象。类似地，可以定义“光滑范畴”中的同胚，即定义1.2.1.（微分同胚）若一个光滑映射f：U→V既是单射也是满射，并且f-1：V→U也是一个光滑映射，则称于为一个微分同胚品根据定义，很容易得到.恒等映射Id：U一U是一个微分同胚。如果f：U→V是一个微分同胚，那么f-1：V→U也是微分同胚。如果f：U→V和g：V→W均为微分同胚，那么gof：U→W也是微分同胚于是，微分同胚是欧氏开集之间的一个等价关系，微分同胚的开集具有完全相同的分析性质。1本书主要考虑C函数和C映射。后文中大多数定义和定理都能拓展到C*的情况.不过，C"映射的理论会有较大的差异。9
1.2 光滑流形 1.2 光滑流形 上一节给出了拓扑流形的概念。作为“拓扑范畴”的子范畴，对于拓扑流形人们关 注的还是连续映射（以及同胚）。为了能够在流形上运用强大的分析工具，需要对流形和 映射提出光滑性的要求。本节给出光滑流形的定义与基本例子，并进而给出光滑流形间 光滑映射的定义。它们是“光滑流形范畴”的基本要素，是本书的主要研究对象。 1.2.1 光滑流形：定义 ¶ 光滑函数和光滑映射: 欧氏情形 为了从拓扑流形过渡到光滑流形，先简要回顾一下数学分析中光滑函数和微分同胚 的概念。设 U 是 R n 中的一个开集, 而 f : U → R 是 U 上的一个连续函数. 若 f 的所有不超过 k 阶的偏导数 ∂ α f := ∂ |α|f ∂xα := ∂ |α|f (∂x1) α1 · · ·(∂xn) αn , |α| = α1 + · · · + αn ≤ k 都是 U 上的连续函数，则称 f 是一个 C k -函数。 若对于任意正整数 k, f 都是 C k 函数，则称 f 是一个 C∞ 函数，或者光滑函数. 若 f 是光滑函数，并且 f 在 U 中任意一点的 Taylor 级数都在该点的某个小邻域 内收敛于函数 f 自身，则称 f 是一个解析函数 (或者 C ω 函数). 注意并不是所有光滑函数都是解析的，下一节中将会给出一个具体例子。 类似的，设 U 是 R n 中的一个开集，V 是 R m 中的一个开集，而 f = (f1, · · · , fm) : U → V 是从 U 到 V 的一个连续映射. 如果映射 f 的任一分量 fi（1 ≤ i ≤ m）都是一个 C∞ 函 数 (或者 C k 函数, 或 C ω 函数)，则称 f 是 C∞ 映射 (或者 C k 映射，或 C ω 映射) . 1 正如连续映射是“拓扑范畴”中的态射那样，光滑映射是“光滑范畴”中的态射，是 分析中最基本的研究对象。类似地，可以定义“光滑范畴”中的同胚，即 定义 1.2.1. （微分同胚） ♣ 若一个光滑映射 f : U → V 既是单射也是满射，并且 f −1 : V → U 也是一个光滑 映射，则称 f 为一个微分同胚. 根据定义，很容易得到 恒等映射 Id : U → U 是一个微分同胚。 如果 f : U → V 是一个微分同胚，那么 f −1 : V → U 也是微分同胚. 如果 f : U → V 和 g : V → W 均为微分同胚，那么 g ◦ f : U → W 也是微分同胚. 于是，微分同胚是欧氏开集之间的一个等价关系，微分同胚的开集具有完全相同的分析 性质。 1本书主要考虑 C ∞ 函数和 C ∞ 映射. 后文中大多数定义和定理都能拓展到 C k 的情况. 不过, C ω 映射的理 论会有较大的差异. 9
1.2光滑流形相容坐标卡下面考虑定义在流形上的函数的光滑性。按照数学分析中的经验，光滑性是一个局部性质，即函数在一点是否光滑仅与函数在该点附近的取值有关。设M是一个拓扑流形。因为M上任意一点的附近都有坐标卡（,U,V)，该坐标卡将M中的开集U与R"中的开集V等同起来，所以可以自然地将U上的函数f等同于V上的函数fo-I，然后由fo-1的光滑性去定义f自身的光滑性.这个想法虽然在大方向上是没错的，但有一个很大的问题：M上每一点附近都存在着许多不同的坐标卡，有可能会出现“在某给定点处，于关于一个坐标卡是光滑的，而关于另一个坐标卡是不光滑的”这种现象。这显然是不合理的：因为函数在一点处的光滑性应该是函数本身的性质，与特定坐标卡选取无关事实上，上述“不合理现象”并不少见，而是出现于所有拓扑流形。例如，例1.2.2.考虑M=R，并取U=R,V=R以及(c)=a3，则(,U,V)是一个坐标卡。但是在这个坐标卡下，甚至连多项式函数f(r)=r"（其中自然数n不是3的倍数）都不光滑，因为fo-1(a）=an/3在=0处不是光滑函数！当然，如果我们取的坐标映射是()=或者(a)=er（此时V=(0,+oo)，则多项式函数f(a)=rn在这样的坐标卡中依然是光滑的。解决这个问题的关键在于从思想上认识到“光滑性”并不是流形的拓扑结构自带的性质，而是额外附加在拓扑流形上的一个新的数学结构。实际解决办法也不复杂：因为同一点附近的坐标卡太多，其中很多坐标卡对于定义函数的光滑性而言会给出不一致的结论，所以为了定义函数的光滑性，要做的是去掉大部分坐标卡，仅保留那些能给出一致结果的坐标卡。具体而言，如果和都是同一点附近的坐标映射，我们希望映射fo-1和f-1同时是光滑或非光滑的.这相当于要求0-1是光滑的.（注：即使f-1和f0-1都是光滑的，我们仍然希望映射0-1是光滑的，因为在这个条件下，f-1和f-1的微分才能通过链式法则联系起来）在这种需求之下，我们定义定义1.2.3.（相容性与转移映射）设M是n维光滑流形，（a,Ua,Va）和（B,U,VB）是M上的两个坐标卡.如果UαnUB=の，或者当UαnUB≠0时，二者之间的转移映射PaB=Pβ OP : P(UanUp)→PB(UanUp)是微分同胚，则称这两个坐标卡是相容的%关于这个定义，需要指出的是：。因为（UnU）和（UnU）在Rn都是开集，所以定义中涉及的B的光滑性是熟悉的欧氏空间开集间映射的光滑性。相容性是相互的：若αβ是微分同胚，则Bα=（αβ）-1也是微分同胚10
1.2 光滑流形 ¶ 相容坐标卡 下面考虑定义在流形上的函数的光滑性。按照数学分析中的经验，光滑性是一个局 部性质，即函数在一点是否光滑仅与函数在该点附近的取值有关。设 M 是一个拓扑流 形。因为 M 上任意一点的附近都有坐标卡 (ϕ, U, V ), 该坐标卡将 M 中的开集 U 与 R n 中的开集 V 等同起来，所以可以自然地将 U 上的函数 f 等同于 V 上的函数 f ◦ϕ −1 , 然 后由 f ◦ ϕ −1 的光滑性去定义 f 自身的光滑性. 这个想法虽然在大方向上是没错的，但 有一个很大的问题：M 上每一点附近都存在着许多不同的坐标卡，有可能会出现“在某 给定点处，f 关于一个坐标卡是光滑的，而关于另一个坐标卡是不光滑的”这种现象。这 显然是不合理的，因为函数 f 在一点处的光滑性应该是函数本身的性质，与特定坐标卡 选取无关. 事实上，上述“不合理现象”并不少见，而是出现于所有拓扑流形。例如， 例 1.2.2. 考虑 M = R，并取 U = R, V = R 以及 ϕ(x) = x 3，则 (ϕ, U, V ) 是一个坐 标卡。但是在这个坐标卡下，甚至连多项式函数 f(x) = x n（其中自然数 n 不是 3 的倍 数）都不光滑，因为 f ◦ ϕ −1 (x) = x n/3 在 x = 0 处不是光滑函数！当然，如果我们取的 坐标映射 ϕ 是 ϕ(x) = x 或者 ϕ(x) = e x（此时 V = (0, +∞)，则多项式函数 f(x) = x n 在这样的坐标卡中依然是光滑的。 解决这个问题的关键在于从思想上认识到“光滑性”并不是流形的拓扑结构自带的 性质，而是额外附加在拓扑流形上的一个新的数学结构。实际解决办法也不复杂：因为 同一点附近的坐标卡太多，其中很多坐标卡对于定义函数的光滑性而言会给出不一致的 结论，所以为了定义函数的光滑性，要做的是去掉大部分坐标卡，仅保留那些能给出一 致结果的坐标卡。具体而言，如果 ϕ 和 ψ 都是同一点附近的坐标映射，我们希望映射 f ◦ ϕ −1 和 f ◦ ψ −1 同时是光滑或非光滑的. 这相当于要求 ϕ ◦ ψ −1 是光滑的. (注：即使 f ◦ φ −1 和 f ◦ ψ −1 都是光滑的, 我们仍然希望映射 φ ◦ ψ −1 是光滑的，因为在这个条件下，f ◦ φ −1 和 f ◦ ψ −1 的微分才能通过链式法则联系起来. ) 在这种需求之下，我们定义 定义 1.2.3. （相容性与转移映射） ♣ 设 M 是 n 维光滑流形, (ϕα, Uα, Vα) 和 (ϕβ, Uβ, Vβ) 是 M 上的两个坐标卡. 如果 Uα ∩ Uβ = ∅，或者当 Uα ∩ Uβ 6= ∅ 时，二者之间的转移映射 ϕαβ = ϕβ ◦ ϕ −1 α : ϕα(Uα ∩ Uβ) → ϕβ(Uα ∩ Uβ) 是微分同胚，则称这两个坐标卡是相容的. 关于这个定义，需要指出的是： 因为 ϕα(Uα ∩ Uβ) 和 ϕβ(Uα ∩ Uβ) 在 R n 都是开集, 所以定义中涉及的 ϕαβ 的光 滑性是熟悉的欧氏空间开集间映射的光滑性. 相容性是相互的：若 ϕαβ 是微分同胚，则 ϕβα = (ϕαβ) −1 也是微分同胚. 10
1.2光滑流形UaUpOBpa(Ua)p(Up)=邮o中YR图1.2:转移映射光滑流形的定义所谓的光滑结构，就是一组两两相容且覆盖整个流形的坐标卡：定义1.2.4.（图册及其等价性）(1）流形M上的一个光滑图册A指的是一族满足U。U&=M的坐标卡(Pα,U。，Va)，使得A中所有坐标卡都是彼此相容的(2）若M上的两个光滑图册A1，A2的并集依然是M上的光滑图册，则称这两个图册是等价的图册8例1.2.5.在R上定义三个图册，A=（pi,R,R)(1≤i≤3)，其中1()=, (2()=2, 2()=r3则A1,A2是等价的，但是A1,A3是不等价的，因为P31(μ)= (1 01() = 21/3不是R上的光滑函数显然，光滑图册之间的等价性是M上所有光滑图册集合上的一个等价关系。定义1.2.6.（光滑结构与光滑流形）拓扑流形M上光滑图册的等价类称为M上的一个光滑结构.赋予了光滑结构的n维拓扑流形被称为n维光滑流形因此一个光滑流形是一对（M.[AI)下文中，在不会引起混淆的情况下，我们总是省略[A]而直接说光滑流形M".注意根据这个定义，例1.2.2中所给出的坐标卡(r)=r3也给出了R上的一个光滑结构，只是它跟我们熟悉的R上标准的光滑结构不同。注1.2.7(1）并非每个拓扑流形都可以被赋予光滑结构．这方面的第一个例子是1960年由M.Kervaire所构造的一个十维紧拓扑流形.后来根据S.Donaldson以及M.Freedman等人关于四维流形的深刻结果，大家发现有很多单连通四维流形上没有光滑结构，(2）类似地可以定义n-维Ck流形的概念。虽然拓扑流形跟光滑流形有本质区别，但是对于k≥1，Ck跟光滑流形则并没有本质区别：Whitney证明了任意Ck(k≥1)流形上均存在唯一（在微分同胚意义下，见本节后面的定义1.2.27）的相容光滑结构，证明可参见[2]（第51页定理2.9)。11
1.2 光滑流形 图 1.2: 转移映射 ¶ 光滑流形的定义 所谓的光滑结构，就是一组两两相容且覆盖整个流形的坐标卡： 定义 1.2.4. （图册及其等价性） ♣ (1) 流形 M 上的一个光滑图册 A 指的是一族满足 S α Uα = M 的坐标卡 (ϕα, Uα, Vα), 使得 A 中所有坐标卡都是彼此相容的. (2) 若 M 上的两个光滑图册 A1, A2 的并集依然是 M 上的光滑图册，则称这两 个图册是 等价的图册. 例 1.2.5. 在 R 上定义三个图册，Ai = (ϕi , R, R) (1 ≤ i ≤ 3), 其中 ϕ1(x) = x, ϕ2(x) = 2x, ϕ2(x) = x 3 . 则 A1, A2 是等价的，但是 A1, A3 是不等价的，因为 ϕ31(x) = ϕ1 ◦ ϕ −1 3 (x) = x 1/3 不是 R 上的光滑函数. 显然，光滑图册之间的等价性是 M 上所有光滑图册集合上的一个等价关系。 定义 1.2.6. （光滑结构与光滑流形） ♣ 拓扑流形 M 上光滑图册的等价类称为 M 上的一个光滑结构. 赋予了光滑结构的 n 维拓扑流形被称为 n 维光滑流形. 因此一个光滑流形是一对 (M, [A]). 下文中，在不会引起混淆的情况下，我们总是省 略 [A] 而直接说“光滑流形 M”. 注意根据这个定义，例1.2.2中所给出的坐标卡 ϕ(x) = x 3 也给出了 R 上的一个光滑结构，只是它跟我们熟悉的 R 上标准的光滑结构不同。 注 1.2.7. (1) 并非每个拓扑流形都可以被赋予光滑结构. 这方面的第一个例子是 1960 年由 M. Kervaire 所构造的一个十维紧拓扑流形. 后来根据 S. Donaldson 以及 M. Freedman 等人关于四维流形的深刻结果，大家发现有很多单连通四维流形上没有光滑结构. (2) 类似地可以定义 n-维 C k 流形的概念。虽然拓扑流形跟光滑流形有本质区别，但是 对于 k ≥ 1，C k 跟光滑流形则并没有本质区别：Whitney 证明了任意 C k (k ≥ 1) 流形上均存在唯一 (在微分同胚意义下，见本节后面的定义1.2.27) 的相容光滑结构，证明 可参见 [2]（第 51 页定理 2.9）。 11
1.2光滑流形1.2.2光滑流形的例子不难证明（留作习题）。任意光滑流形的开子集依然是光滑流形，。两个光滑流形的乘积依然是光滑流形。下面给出一些具体的光滑流形。单坐标卡流形由定义立刻可以得到命题1.2.8.（单个坐标卡与光滑结构）若拓扑流形M可以被单独一个坐标卡覆盖，那么这个坐标卡自动地给出了M上的一个光滑结构4特别地，。Rn和Rn中的任意开集都是光滑流形。一般线性群GL(n,R）是一个光滑流形下面则是一类非常常见的例子：例1.2.9.（映射的图像).对于任意欧氏开集UCRm和U上的任意连续映射f：U一Rn，定义f的图像为T(f) = (a,y) / re U,y = f(r)) c Rm+n.赋予(f）由Rm+n的欧氏拓扑所诱导的子空间拓扑，则I(f）是Hausdorff和第二可数的.它还是局部欧氏的，因为它有一个整体的坐标卡（,T(f),U)，其中p:r(f)→U,(r,y)=r是投影到分量的映射：[是一个同胚，因为显然连续、可逆，并且其逆映射-1 +U →F(f)-1() =(r,f(r)是连续的1因此I（f）是一个㎡维拓扑流形.因为它可以被单独一个坐标卡覆盖，所以它事实上是光滑流形。注1.2.10．这个例子告诉我们任意连续函数f：UCRn→R的图像T(f）上存在一个内蕴的光滑结构，使之成为一个光滑流形然而，一般而言，如果于仅仅连续而不光滑，那么T(f）上的这个光滑结构有可能跟Rn+1上我们熟悉的光滑结构不一致，从而它不是Rn+1的光滑子流形(定义见后文)。12
1.2 光滑流形 1.2.2 光滑流形的例子 不难证明（留作习题） 任意光滑流形的开子集依然是光滑流形， 两个光滑流形的乘积依然是光滑流形。 下面给出一些具体的光滑流形。 ¶ 单坐标卡流形 由定义立刻可以得到 命题 1.2.8. （单个坐标卡与光滑结构） ♠ 若拓扑流形 M 可以被单独一个坐标卡覆盖，那么这个坐标卡自动地给出了 M 上 的一个光滑结构. 特别地， R n 和 R n 中的任意开集都是光滑流形. 一般线性群 GL(n, R) 是一个光滑流形. 下面则是一类非常常见的例子： 例 1.2.9. (映射的图像). 对于任意欧氏开集 U ⊂ R m 和 U 上的任意连续映射 f : U → R n , 定义 f 的图像为 Γ(f) = {(x, y) | x ∈ U, y = f(x)} ⊂ R m+n . 赋予 Γ(f) 由 R m+n 的欧氏拓扑所诱导的子空间拓扑, 则 Γ(f) 是 Hausdorff 和第二可数 的. 它还是局部欧氏的，因为它有一个整体的坐标卡 (ϕ, Γ(f), U), 其中 ϕ : Γ(f) → U, ϕ(x, y) = x 是投影到分量的映射. [φ 是一个同胚，因为 φ 显然连续、可逆，并且其逆映射 φ −1 : U → Γ(f), φ −1 (x) = (x, f(x)) 是连续的.] 因此 Γ(f) 是一个 m 维拓扑流形. 因为它可以被单独一个坐标卡覆盖，所以它 事实上是光滑流形。 注 1.2.10. 这个例子告诉我们 任意✿✿✿✿✿ 连续函数 f : U ⊂ R n → R 的图像 Γ(f) 上存在一个内蕴的光滑结构，使 之成为一个光滑流形 ✿✿✿✿ . 然而，一般而言，如果 f 仅仅连续而不光滑，那么 Γ(f) 上的这个光滑结构✿✿✿✿✿✿✿ 有可能跟 R n+1 上我们熟悉的光滑结构不一致，从而它不是 R n+1 的✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 光滑子流形(定义见后文). 12
1.2光滑流形球面上的光滑结构例1.2.11．（球面).对于任意的n≥0,考虑Rn+1中的单位球面S" = ((rl,...,a",an+1) I (αl)?+...+(r")? +(an+1)=1)cRn+1在子空间拓扑下它是Hausdorff和第二可数的：为了证明它是局部欧氏的，可以考虑用两个开子集去覆盖Sn：U+= sn/[(0, ...,0, -1),U_ = Sn /(0, ..,0,1))然后通过球极投影定义两个坐标卡（+,U+,Rn）和（-,U_,R")1+( ) +( ).容易验证±是连续和可逆的，并且其逆映射1 )也是连续的.于是在集合-(U+nU-)=Rn/0)上,p-+(yl,..,y") =p+op-'(y,...,y")(+ (221+)6),.是Rn|[0]到自身的微分同胚.因此这两个坐标卡是相容的R"+1Utns"S图1.3:球极投影图1.4:用半球覆盖球面注1.2.12.也可以用2n+2个半球面（以及用对应的坐标投影给出的坐标卡）去覆盖Sn.具体来说，对于任意1≤i≤n+1，令Ut = ((rl,...,rn+l) E sn : r>0)为在第i个方向上的“上半球面"，并定义映射t：U+t→Bn(1)为投影映射pt(rl,,an+1) =(rl,..,ai-1,ai+1,an+1),其中Bn(1）是Rn中的单位开球体.可以验证每个（st,U+,Bn(1))都是坐标卡.类似地，可以在每个“下半球面”定义坐标卡（,U，B"(1)).[验证：上述通过半球面定义的Sn上的坐标卡是两两相容的.]13
1.2 光滑流形 ¶ 球面上的光滑结构 例 1.2.11. (球面). 对于任意的 n ≥ 0, 考虑 R n+1 中的单位球面 S n = {(x 1 , · · · , xn , xn+1) | (x 1 ) 2 + · · · + (x n ) 2 + (x n+1) 2 = 1} ⊂ R n+1 . 在子空间拓扑下它是 Hausdorff 和第二可数的. 为了证明它是局部欧氏的，可以考虑用 两个开子集去覆盖 S n： U+ = S n \ {(0, · · · , 0, −1)}, U− = S n \ {(0, · · · , 0, 1)} 然后通过球极投影定义两个坐标卡 (ϕ+, U+, R n ) 和 (ϕ−, U−, R n ), ϕ±(x 1 , · · · , xn , xn+1) = 1 1 ± x n+1 (x 1 , · · · , xn ). 容易验证 ϕ± 是连续和可逆的，并且其逆映射 ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 1 1 + (y 1) 2 + · · · + (y n) 2 2y 1 , · · · , 2y n , ±(1 − (y 1 ) 2 − · · · − (y n ) 2 ) 也是连续的. 于是在集合 ϕ−(U+ ∩ U−) = R n \ {0} 上， ϕ−+(y 1 , · · · , yn ) = ϕ+ ◦ ϕ −1 − (y 1 , · · · , yn ) = ϕ+ Å 1 1 + |y| 2 2y 1 , · · · , 2y n , −1 + |y| 2 ã = 1 |y| 2 (y 1 , · · · , yn ), 是 R n \ {0} 到自身的微分同胚. 因此这两个坐标卡是相容的. 图 1.3: 球极投影 图 1.4: 用半球覆盖球面 注 1.2.12. 也可以用 2n + 2 个半球面（以及用对应的坐标投影给出的坐标卡）去覆盖 S n . 具体来说，对于任意 1 ≤ i ≤ n + 1, 令 U + i = {(x 1 , · · · , xn+1) ∈ S n : x i > 0} 为在第 i 个方向上的“上半球面”，并定义映射 ϕ + i : U + i → Bn (1) 为投影映射 ϕ + i (x 1 , · · · , xn+1) = (x 1 , · · · , xi−1 , xi+1, xn+1), 其中 Bn (1) 是 R n 中的单位开球体. 可以验证每个 (ϕ + i , U + i , Bn (1)) 都是坐标卡. 类似 地，可以在每个“下半球面”定义坐标卡 (ϕ − i , U − i , Bn (1)). [验证：上述通过半球面定义 的 S n 上的坐标卡是两两相容的. ] 13
1.2光滑流形实射影空间上的光滑结构例1.2.13.(实射影空间)Rn+1中全体经过原点的直线的集合RPn被称为n维实射影空间．为了赋予RIPn拓扑结构，我们将其视为如下的商空间：RPn = Rn+1 - {(0, **,0)/ ~其中等价关系～为：(rl,..: ,an+1) ~ (tal,..*,tan+1),Vt+0.也可以通过粘合对径点，将RPn视为Sn的商空间Rpn = sn/ α~±a)由以上这些描述可以证明Ripn是Hausdorff和第二可数的，而且它还是紧致的，通常人们将包含（cl,，an+1）的RPn中的等价类记为[cl：：an+1].下面在RIPn上构造局部坐标卡.考虑以下开集U, = [[rl :*..: an+] I r" +0],1<i<n+l.对于任意的i，定义i:Ui→R"为ai+12n+1a-1Pi([el .... : an+1])r不难验证每个都是良定的，连续的，并且其逆映射.'(g',...,y") = [y' ....gi-.1:y......y"].是连续的.因此每个（piUi,R"）都是坐标卡，进而RPn是一个拓扑流形最后说明RIPn是光滑流形不失一般性，下面验证P1,n+1是一个从P1(UinUn+1) = [(y), .**,y") / y" + 0) =: Vn到Pn+1(UinUn+1) = [(y), .**,y") I y + 0) =: Vi14
1.2 光滑流形 ¶ 实射影空间上的光滑结构 例 1.2.13. (实射影空间). R n+1 中全体经过原点的直线的集合 RPn 被称为 n 维实射影空间. 为了赋予 RPn 拓扑结构，我们将其视为如下的商空间： RPn = R n+1 − {(0, · · · , 0)} ∼, 其中等价关系 ∼ 为： (x 1 , · · · , xn+1) ∼ (tx1 , · · · , txn+1), ∀t 6= 0. 也可以通过粘合对径点，将 RPn 视为 S n 的商空间 RPn = S n / {x ∼ ±x}. 由以上这些描述可以证明 RPn 是 Hausdorff 和第二可数的，而且它还是紧致的. 通常人们将包含 (x 1 , · · · , xn+1) 的 RPn 中的等价类记为 [x 1 : · · · : x n+1]. 下面在 RPn 上构造局部坐标卡. 考虑以下开集 Ui = {[x 1 : · · · : x n+1] | x i 6= 0}, 1 ≤ i ≤ n + 1. 对于任意的 i, 定义 ϕi : Ui → R n 为 ϕi([x 1 : · · · : x n+1]) = Ç x 1 x i , · · · , x i−1 x i , x i+1 x i , · · · , x n+1 x i å . 不难验证每个 ϕi 都是良定的，连续的，并且其逆映射 ϕ −1 i (y 1 , · · · , yn ) = [y 1 : · · · : y i−1 : 1 : y i : · · · : y n ]. 是连续的. 因此每个 (ϕi , Ui , R n ) 都是坐标卡，进而 RPn 是一个拓扑流形. 最后说明 RPn 是光滑流形. 不失一般性，下面验证 ϕ1,n+1 是一个从 ϕ1(U1 ∩ Un+1) = {(y 1 , · · · , yn ) | y n 6= 0} =: Vn 到 ϕn+1(U1 ∩ Un+1) = {(y 1 , · · · , yn ) | y 1 6= 0} =: V1. 14
1.2光滑流形的微分同胚，事实上，根据定义P1,n+i(yl,...,y")=n+1op-'(yl,...,y")= pn+1([1 : gl ....: y")-(G)它显然是从Vn到Vi的微分同胚.类似地可以证明其他转移映射Pii都是微分同胚注1.2.14.类似地，Cn+1中所有经过原点的“复直线”的集合CPpn = Cn+1 - [0]/ ~被称为n维复射影空间重复上面的论证可以验证它是一个光滑流形（事实上因为上面所给出的转移映射此时事实上是全纯映射，所以CP”还是复流形)。更一般的，对于任意有限维向量空间V，它的全体k维子空间构成的集合Gr(k,V)=(WcVIW是V的k维子空间)被称为Grassmann流形.可以证明，它们都是光滑流形（具体细节请参考[5】第22-24页）.这些流形在现代几何、拓扑、代数与数学物理中均扮演着重要角色还可以考虑不必经过原点的直线：例1.2.15.（R2中的全部直线)：R2中全部直线的集合（赋予如下所给出的结构）是一个光滑流形。为了说明这一点，只需要注意到R?中的任意直线可以被表示为如下的形式：ar+by+ c=0其中a,b,cER且（a,b)不全是0.因为两个这样的三元组（a,b,c)和(a,b,c）定义了相同的直线当且仅当[a:b:c]=[a':b':c]即它们对应于RIP2中相同的点，所以R2中的每条直线都唯一对应于RIP2中除了[0：0：1]之外的一个元素，且反之亦然，由此可得一个良定的双射[其的像集是一个Mobius带]：[R2中的直线→RP2|{[0：0：1]ar+by+c=0-[a:b:cl.于是，只要将RP2的所有结构搬到“R2中的所有直线构成的集合”上，就可以给出后者一个光滑流形的结构，[这个方法实际上是视RP2为R2加上“无穷远直线”，从而可以把R2中的直线延拓成RP2中的直线，再利用RIP2中的“点-直线对偶”把直线转化成RP2中的点，从而可以利用RP2的光滑流形结构。读者也可以尝试直接由局部的参数化构造其流形结构]15
1.2 光滑流形 的微分同胚. 事实上，根据定义 ϕ1,n+1(y 1 , · · · , yn ) = ϕn+1 ◦ ϕ −1 1 (y 1 , · · · , yn ) = ϕn+1([1 : y 1 : · · · : y n ]) = Å 1 y n , y 1 y n , · · · , y n−1 y n ã . 它显然是从 Vn 到 V1 的微分同胚. 类似地可以证明其他转移映射 ϕij 都是微分同胚. 注 1.2.14. 类似地，C n+1 中所有经过原点的“复直线”的集合 CPn = C n+1 − {0}/ ∼ 被称为 n 维复射影空间. 重复上面的论证可以验证它是一个光滑流形 (事实上因为上面所给 出的转移映射此时事实上是全纯映射，所以 CPn 还是复流形)。更一般的，对于任意有限维向量空 间 V ，它的全体 k 维子空间构成的集合 Gr(k, V ) = {W ⊂ V | W是V 的k维子空间} 被称为 Grassmann 流形. 可以证明，它们都是光滑流形 (具体细节请参考 [5] 第 22-24 页). 这些流形在现代几何、拓扑、代数与数学物理中均扮演着重要角色. 还可以考虑不必经过原点的直线： 例 1.2.15. (R 2 中的全部直线). R 2 中全部直线的集合（赋予如下所给出的结构）是一 个光滑流形. 为了说明这一点，只需要注意到 R 2 中的任意直线可以被表示为如下的形 式： ax + by + c = 0, 其中 a, b, c ∈ R 且 (a, b) 不全是 0. 因为两个这样的三元组 (a, b, c) 和 (a ′ , b′ , c′ ) 定义了 相同的直线当且仅当 [a : b : c] = [a ′ : b ′ : c ′ ], 即它们对应于 RP2 中相同的点，所以 R 2 中的每条直线都唯一对应于 RP2 中除了 [0 : 0 : 1] 之外的一个元素，且反之亦然. 由此可得一个良定的双射[其的像集是一个 Möbius 带!] φ : {R 2中的直线} → RP2 \ {[0 : 0 : 1]}, ax + by + c = 0 7→ [a : b : c]. 于是，只要将 RP2 的所有结构搬到“R 2 中的所有直线构成的集合”上，就可以给出后 者一个光滑流形的结构. [这个方法实际上是视 RP2 为 R 2 加上“无穷远直线”，从而可以把 R 2 中的 直线延拓成 RP2 中的直线，再利用 RP2 中的“点–直线对偶”把直线转化成 RP2 中的点，从而可以利用 RP2 的光滑流形结构。读者也可以尝试直接由局部的参数化构造其流形结构. ] 15
1.2光滑流形1.2.3光滑函数与光滑映射有了光滑结构（即坐标卡的相容性），就可以定义分析中的光滑对象了：光滑流形上的光滑函数首先给出流形上光滑函数的定义定义1.2.16.（光滑雨数）令（M,[AI）为一个光滑流形，而f：M→R为M上的一个函数(1）若存在一个包含点p（即pEUα）的坐标卡（Pa,Ua,Va)EA，使得函数foPl: Va→R在点α(p)处光滑，则称函数在点pEM处光滑(2）若f在所有的pEM处都光滑，则称是M上的一个光滑函数假设fo1在α(p）处光滑，而（pB,UV）是A中另一个包含点p的坐标卡，则由坐标卡的相容性，函数foPBl=(foPl)o(Pa0PBl)在B(p）处必然是光滑的。因此，函数的光滑性与给定的图册中坐标卡的选取无关．当然，如果改变流形上M上的光滑结构，则有函数的光滑性可能会改变，注1.2.17.根据定义和链式法则，如果f：M→R在pEM处光滑，并且h：R→R在f(p)处光滑，那么hof在p处光滑例1.2.18.考虑Sn上的函数(1)Sn上的每个坐标函数fi(rl,..:，an+1)=r都是光滑函数，因为r1<i≤nfiop-'(yl,...,y") =【+，=n+1是Rn上的光滑函数(2）“纬度函数”是S?上的光滑函数，因为它能表示为“高度函数”3和一个光滑函数的复合(3）然而，“经度”甚至不是整个S2上良好定义的实值函数.对于任何光滑流形M，记M上全体光滑函数的集合为Cα(M).当需要强调所考虑的是实值函数或者复值函数时，将分别记为C（M,R）或者C（M,C)根据（实或复）数域上的代数结构，易见C(M)是一个（交换的）代数，即。它是一个线性空间：如果f,9是光滑的，那么af+bg是光滑的：。它带有乘法运算（如果f，9是光滑的，那么f9是光滑的），且该乘法是双线性的满足交换律、结合律和分配律16
1.2 光滑流形 1.2.3 光滑函数与光滑映射 有了光滑结构（即坐标卡的相容性），就可以定义分析中的光滑对象了： ¶ 光滑流形上的光滑函数 首先给出流形上光滑函数的定义： 定义 1.2.16. （光滑函数） ♣ 令 (M, [A]) 为一个光滑流形，而 f : M → R 为 M 上的一个函数. (1) 若存在一个包含点 p（即 p ∈ Uα）的坐标卡 (ϕα, Uα, Vα) ∈ A，使得函数 f ◦ ϕ −1 α : Vα → R 在点 ϕα(p) 处光滑，则称函数 f 在点 p ∈ M 处光滑. (2) 若 f 在所有的 p ∈ M 处都光滑，则称 f 是 M 上的一个光滑函数. 假设 f ◦ ϕ −1 α 在 ϕα(p) 处光滑，而 (ϕβ, Uβ, Vβ) 是 A 中另一个包含点 p 的坐标卡， 则由坐标卡的相容性，函数 f ◦ ϕ −1 β = (f ◦ ϕ −1 α ) ◦ (ϕα ◦ ϕ −1 β ) 在 ϕβ(p) 处必然是光滑的. 因此，函数的光滑性与给定的图册中坐标卡的选取无关. 当 然，如果改变流形上 M 上的光滑结构，则有函数的光滑性可能会改变. 注 1.2.17. 根据定义和链式法则，如果 f : M → R 在 p ∈ M 处光滑，并且 h : R → R 在 f(p) 处光滑，那么 h ◦ f 在 p 处光滑. 例 1.2.18. 考虑 S n 上的函数. (1) S n 上的每个坐标函数 fi(x 1 , · · · , xn+1) = x i 都是光滑函数，因为 fi ◦ ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 2y i 1+|y| 2 , 1 ≤ i ≤ n ± 1−|y| 2 1+|y| 2 , i = n + 1 是 R n 上的光滑函数. (2)“纬度函数”是 S 2 上的光滑函数，因为它能表示为“高度函数”x 3 和一个光滑函 数的复合. (3) 然而，“经度”甚至不是整个 S 2 上良好定义的实值函数. 对于任何光滑流形 M，记 M 上全体光滑函数的集合为 C∞(M). 当需要强调所考 虑的是实值函数或者复值函数时，将分别记为 C∞(M, R) 或者 C∞(M, C). 根据 (实或 复) 数域上的代数结构，易见 C∞(M) 是一个 (交换的) 代数，即 它是一个线性空间：如果 f, g 是光滑的，那么 af + bg 是光滑的; 它带有乘法运算（如果 f, g 是光滑的，那么 fg 是光滑的），且该乘法是双线性的， 满足交换律、结合律和分配律. 16
1.2光滑流形流形间的光滑映射接下来考虑两个光滑流形之间的光滑映射，跟光滑函数的定义方式类似，为了定义光滑流形之间映射的光滑性，要把所考虑的映射限制到合适的坐标卡上：定义1.2.19.（光滑映射）设M,N为光滑流形，而f:M→N是一个连续映射：如果对于 M 的任意坐标卡(PaUVa）和N的任意坐标卡（B,X,Y)，映射go f op-l : pa(Uanf-1(Xp)) -→ p(Xp)（作为欧氏空间开集间的峡射）是光滑的，则称f为光滑映射“本书在提到“光滑流形M的任意坐标卡”时，均默认是任意“在给定的图册A里”的坐标卡XF(p)W(x)00yofog-1图1.5:光滑映射类似地可以定义Ck流形之间的Ck映射，或者Cw流形之间的Cw映射。注1.2.20.在定义中要求映射f是连续的，这是为了保证映射Φβ°f-1是定义在Pα(p)的邻域里的。一般而言，即使每个βofo-1都光滑映射，也并不蕴含f的连续性，反例见习题.另外一种等价的定义方式是假设“每个点p有一个A中的坐标邻域U，使得f(U)包含在N的某个坐标卡中”，参见[2]容易验证以下命题命题1.2.21（“光滑性”不依赖于等价的光滑结构的选取）如果f：(M,A)→(N,B)是光滑的，Ai是M上与A相容的图册，而BI是N上与B相容的的图册，那么f(M.A1)→(N,B1）是光滑的记从M到N的全体光滑映射所组成的集合为Cα(M,N).可以证明命题1.2.22.（光滑映射的复合）如果 f eC(M,N), 且 g EC(N, P), 那么 go f EC(M, P)作为推论，任意光滑映射f：M→N都诱导了相应的光滑函数空间的拉回映射f*: C(N) →C(M), gμgo f.拉回映射将会在本书后文中扮演重要角色17
1.2 光滑流形 ¶ 流形间的光滑映射 接下来考虑两个光滑流形之间的光滑映射. 跟光滑函数的定义方式类似，为了定义 光滑流形之间映射的光滑性，要把所考虑的映射限制到合适的坐标卡上： 定义 1.2.19. （光滑映射） ♣ 设 M, N 为光滑流形，而 f : M → N 是一个连续映射. 如果对于 M 的任意坐标 卡a (ϕα, Uα, Vα) 和 N 的任意坐标卡 (ψβ, Xβ, Yβ), 映射 ψβ ◦ f ◦ ϕ −1 α : ϕα(Uα ∩ f −1 (Xβ)) → ψβ(Xβ) (作为欧氏空间开集间的映射）是光滑的，则称 f 为光滑映射. a本书在提到“光滑流形 M 的任意坐标卡”时, 均默认是任意“在给定的图册 A 里”的坐标卡. 图 1.5: 光滑映射 类似地可以定义 C k 流形之间的 C k 映射，或者 C ω 流形之间的 C ω 映射。 注 1.2.20. 在定义中要求映射 f 是连续的，这是为了保证映射 ψβ ◦ f ◦ ϕ −1 α 是定义在 ϕα(p) 的邻域里的. 一般而言，即使每个 ψβ ◦ f ◦ ϕ −1 α 都光滑映射，也并不蕴含 f 的连 续性，反例见习题. 另外一种等价的定义方式是假设“每个点 p 有一个 A 中的坐标邻域 U，使得 f(U) 包含在 N 的某个坐标卡中”. 参见 [2]. 容易验证以下命题 命题 1.2.21. （“光滑性”不依赖于等价的光滑结构的选取） ♠ 如果 f : (M, A) → (N, B) 是光滑的, A1 是 M 上与 A 相容的图册，而 B1 是 N 上与 B 相容的的图册，那么 f : (M, A1) → (N, B1) 是光滑的. 记从 M 到 N 的全体光滑映射所组成的集合为 C∞(M, N). 可以证明 命题 1.2.22. （光滑映射的复合） ♠ 如果 f ∈ C∞(M, N)，且 g ∈ C∞(N, P), 那么 g ◦ f ∈ C∞(M, P). 作为推论，任意光滑映射 f : M → N 都诱导了相应的光滑函数空间的拉回映射 f ∗ : C ∞(N) → C ∞(M), g 7→ g ◦ f. 拉回映射将会在本书后文中扮演重要角色. 17
1.2光滑流形光滑映射的例子例1.2.23.如果赋予R以标准的光滑结构(即总是默认的光滑结构(s1(）=z,R,R)，则映射fM一R是一个（在定义1.2.19意义下的）光滑映射当且仅当它是一个（在定义1.2.16下的）光滑函数.更一般地，映射f = (f1,.-*, fa): M -→ Rk是一个光滑映射当且仅当它的每个分量fi是M上的光滑函数，例1.2.24.一般线性群GL(n，R）是Rn中的开集，从而是一个光滑流形.用这个只有一个坐标卡的标准图册，容易验证（这些事实表明GL(n,R）是一个Lie群，见后文.）(1)行列式函数det :GL(n,R)→R, A→det A是一个光滑函数，(2）矩阵乘法映射m : GL(n, R)× GL(n,R)→GL(n,R), (A,B)- AB是一个光滑映射，(3）矩阵取逆映射i: GL(n,R) →GL(n,R), A→ A-1是一个光滑映射.例1.2.25.嵌入映射:Sn→Rn+1是光滑的，因为)= (2()是从R"到Rn+1的光滑映射。注意到由定义，Rn+1中任意函数g在映射下的拉回函数*g就是g在sn上的限制：t*g = glsn.因此Rn+1中任意光滑函数限制到Sn上之后是Sn上的光滑函数投影映射π：Rn+1|[0]→RIPn是光滑的，因为对于每个i,例1.2.26.#i-1i+1an+1Pi0 r(rl,...,an+1) =Ti在-1(U)=[(l,..,an+1)：0)上都是光滑的微分同胚跟欧氏空间开集情形类似，可以定义光滑流形之间的微分同胚。它们给出了“光滑范畴”中对象的“等价”：定义1.2.27（微分同胚）令M,N为光滑流形.若映射f：M→N是一个光滑双射，且其逆映射-1也是光滑的，则称于是一个微分同胚品18
1.2 光滑流形 ¶ 光滑映射的例子 例 1.2.23. 如果赋予 R 以标准的光滑结构(即总是默认的光滑结构 {(φ1(x) = x, R, R)}), 则 映射 f : M → R 是一个（在定义1.2.19意义下的）光滑映射当且仅当它是一个（在定 义1.2.16下的）光滑函数. 更一般地，映射 f = (f1, · · · , fk) : M → R k 是一个光滑映射当且仅当它的每个分量 fi 是 M 上的光滑函数. 例 1.2.24. 一般线性群 GL(n, R) 是 R n 2 中的开集，从而是一个光滑流形. 用这个只有 一个坐标卡的标准图册，容易验证（这些事实表明 GL(n, R) 是一个 Lie 群，见后文.） (1) 行列式函数 det : GL(n, R) → R, A 7→ det A 是一个光滑函数, (2) 矩阵乘法映射 m : GL(n, R) × GL(n, R) → GL(n, R), (A, B) 7→ AB 是一个光滑映射, (3) 矩阵取逆映射 i : GL(n, R) → GL(n, R), A 7→ A −1 是一个光滑映射. 例 1.2.25. 嵌入映射 ι : S n ,→ R n+1 是光滑的, 因为 ι ◦ ϕ −1 ± (y 1 , · · · , yn ) = 1 1 + |y| 2 2y 1 , · · · , 2y n , ±(1 − |y| 2 ) 是从 R n 到 R n+1 的光滑映射. 注意到由定义, R n+1 中任意函数 g 在映射 ι 下的拉回函 数 ι ∗ g 就是 g 在 S n 上的限制: ι ∗ g = g|Sn . 因此 R n+1 中任意光滑函数限制到 S n 上之后是 S n 上的光滑函数. 例 1.2.26. 投影映射 π : R n+1 \ {0} → RPn 是光滑的，因为对于每个 i， ϕi ◦ π(x 1 , · · · , xn+1) = Ç x 1 x i , · · · , x i−1 x i , x i+1 x i , · · · , x n+1 x i å 在 π −1 (Ui) = {(x 1 , · · · , xn+1) : x i 6= 0} 上都是光滑的. ¶ 微分同胚 跟欧氏空间开集情形类似，可以定义光滑流形之间的微分同胚。它们给出了“光滑 范畴”中对象的“等价”： 定义 1.2.27. （微分同胚） ♣ 令 M, N 为光滑流形. 若映射 f : M → N 是一个光滑双射, 且其逆映射 f −1 也是 光滑的，则称 f 是一个 微分同胚. 18