《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章光滑向量场 3.2 光滑向量场的积分曲线.pdf_大学文库

3.2 光滑向量场的积分曲线例 3.2.4. 考虑 R 2 上的向量场 X = x ∂ ∂y −y ∂ ∂x . 记其积分曲线为 γ(t) = (x(t), y(t)), 则 x ′ (t) ∂ ∂x + y ′ (t) ∂ ∂y = ˙γ(t) = Xγ(t) = x(t) ∂ ∂y − y(t) ∂ ∂x, 即 x ′ (t) = −y(t), y′ (t) = x(t). 该方程组的满足初值条件 γ(0) = (a, b) 解是 x(t) = a cost − b sin t, y(t) = a sin t + b cost. 它们是以原点为圆心的圆周，通过角度给出参数化 (逆时针方向). 例 3.2.5. 若 Xq = 0，则 M 上的“常曲线” γq : R → M, γq(t) ≡ q. 是 X 的经过 q 的积分曲线，因为它满足 γ˙ q(t) = 0 = Xq = Xγq(t) . ¶ 局部坐标卡中的常微分方程：存在性，唯一性和光滑性为了研究积分曲线更为深入的性质，需要将有关流形上切向量的方程 γ˙(t) = Xγ(t) 转化为有关欧氏区域上函数的常微分方程组. 为了做到这一点，首先注意到以下关于向量场的非常简洁的局部公式，其证明留作练习: 引理 3.2.6 ♦ 令 X 为 M 上的光滑向量场. 那么在局部坐标卡 (ϕ, U, V ) 上有 X = PX(x i )∂i , 其中 x i : U → R 是由 ϕ 定义的第 i 个坐标函数. 令 γ : I → M 为 X 的积分曲线. 为了研究在给定点 γ(t) 处的方程 γ˙(t) = Xγ(t) , 不失一般性，可以假设 γ(t) ∈ U, 其中 (ϕ, U, V ) 是坐标卡. 通过使用局部坐标卡映射 ϕ, 可以将点 γ(t) ∈ U 转化成 ϕ(γ(t)) = (x 1 (γ(t)), · · · , xn (γ(t))) ∈ R n . 如果记 y i = x i ◦ γ : I → R, 那么能把定义积分曲线的方程转化为关于单变量函数 y i 的方程. 具体而言，根据之前的引理，有 γ˙(t) = (dγ)t( d dt) = X i (dγ)t( d dt)(x i )∂i = X i (x i ◦ γ) ′ (t)∂i = X i y˙ i (t)∂i . 因此积分曲线方程 γ˙(t) = Xγ(t) 变为 X i y˙ i (t)∂i = X i Xi (γ(t))∂i = X i Xi ◦ ϕ −1 (y 1 (t), · · · , yn (t))∂i , ∀t ∈ I. 于是，积分曲线方程被转化为以下关于单变量函数 y i 的常微分方程组: y˙ i (t) = Xi ◦ ϕ −1 (y 1 , · · · , yn ), ∀t ∈ I, ∀1 ≤ i ≤ n. 这是关于 (单变量) 函数 y i = x i ◦ γ : R → R 的一阶常微分方程组. 反过来，这个常微分方程组的任意解都定义了向量场 X 在开集 U 上的积分曲线. 回顾常微分方程组的基本定理（参见 [5]，附录 D）: 75

3.2 光滑向量场的积分曲线定理 3.2.7. （一阶常微分方程组的基本定理） ♥ 假设 V ⊂ R n 是开集, 且 F = (F 1 , · · · , F n ) : V → R n 光滑. 考虑初值问题    y˙ i (t) = F i (y 1 (t), · · · , yn (t)), i = 1, · · · , n y i (t0) = c i , i = 1, · · · , n (3.2.1) 那么 (1) (存在性) 对于任意 t0 ∈ R 和 c0 ∈ V , 存在开区间 I0 3 t0 和开集 V0 3 c0 使得对于任意 c = (c 1 , · · · , cn ) ∈ V0, 常微分方程组 (3.2.1) 在 t ∈ I0 上有光滑解 yc(t) = (y 1 (t), · · · , yn (t)) ∈ V . (2) (唯一性) 如果 y1 是常微分方程组 (3.2.1) 在 t ∈ I0 上的解，y2 是常微分方程组 (3.2.1) 在 t ∈ J0 上的解，那么在 t ∈ I0 ∩ J0 上有 y1 = y2. (3) (光滑性)(1) 中的解函数 Y (c, t) := yc(t) 在 (c, t) ∈ V0 × I0 上光滑. 由此可得定理 3.2.8. （积分曲线局部存在性，唯一性和光滑性） ♥ 假设 X 是 M 上的光滑向量场. 那么对于任意 p ∈ M, 存在 p 的邻域 Up, 正数 εp > 0 和光滑映射 Γ : (−εp, εp) × Up → M 使得对于任意 q ∈ U, 曲线 γq : (−εp, εp) → M, γq(t) := Γ(t, q) 是 X 的满足 γ(0) = q 的积分曲线. 此外，这个积分曲线在以下意义上是唯一的：如果 σ : I → M 是 X 的另一条满足 σ(0) = q 的积分曲线, 那么 σ(t) = γq(t), ∀t ∈ I ∩ (−εp, εp). ¶ 重新参数化注意积分曲线都是指“参数曲线”. 参数化是定义中的一部分. “相同几何图像”的不同参数化代表了不同的曲线. 一般地，积分曲线的重参数化不再是积分曲线. 然而，正如注3.2.3所见的一样，线性重参数化生成了积分曲线: 引理 3.2.9. （线性重参数化） ♦ 如果 γ : I → M 是向量场 X 的积分曲线, 那么 (1) 令 Ia = {t | t + a ∈ I}, 则 γa : Ia → M, γa(t) := γ(t + a) 是 X 的积分曲线. (2) 令 I a = {t | at ∈ I} (a 6= 0), 则 γ a : I a → M, γa (t) := γ(at) 是 Xa = aX 的积分曲线. 76

3.2光滑向量场的积分曲线该引理的证明比较容易，因而省略，作为唯一性和平移重参数化的推论，对于任意pEM，从p出发的积分曲线有一个最大存在区间Jp，从而有极大积分曲线p:Jp→M.例如，前面几个例子中积分曲线的最大定义区间均为R，而下面的例3.2.13则给出了一个最大存在区间不是R的积分曲线。再次利用唯一性和平移重参数化，可得命题3.2.10（局部流的加性）对于 M 上光滑向量场 X,若t,s,t + sE Jp，则r(s)(t)=p(t+ s).福证明固定8，则两条曲线(t) =(s)(t) 和2(t) =p(t+s)口都是从同一点p(s）出发的X的积分曲线，由积分曲线的唯一性可知它们相同.流映射把所有的积分曲线放在一起考虑，可以得到映射重: M = [(t,p) I pE M,tE Jp) → M, (t,p) μ (t,p) :=p(t),其中p(t)是从p出发的极大积分曲线.于是，命题3.2.10可被写成重(t,雪(s, p)) = (t + 8,p)根据定理3.2.8，对于任意pEM，存在p的邻域U和区间Ip=（-Ep，ep）使得Ip×UpCM，且Φ在Ip×Up上是光滑映射。下面证明重在整个M上是光滑映射（特别地，由证明可见M是开集）.需要做的是对于任意p以及“不太小”的to，证明重在(to,P)EM 附近的光滑性.证明的基本想法是利用加法性质即p(to+t)=(to)(t)，将点（p,to）附近的光滑性转化为（p(to),0)附近的光滑性。为此，需要将从p=p(0)到p(to）的这一段积分曲线分为很多段“短”积分曲线，短到使得光滑性可以对一致的t区间成立，从而利用平移重参数化把光滑性传递到所需要的点。定理3.2.11.（流映射的光滑性）对于任意完备向量场X.流Φ：R×M→M是光滑的证明设(to,p)EM，则toEJp，于是存在充分小的正数>0使得[-e,to+e]EJp考虑K=p([-E,to+l).对于任意qEM,存在邻域Ugq和区间Ig=（-q,p)使得lgxU:I×U→M是光滑的.由K的紧性，在K中存在点Pi,Pm使得开集Up1,,Upm覆盖K.记以及U:=UpU...UUpmI= (-eo,eo) := Ipr n..nIpm77

3.2 光滑向量场的积分曲线该引理的证明比较容易，因而省略. 作为唯一性和平移重参数化的推论，对于任意 p ∈ M，从 p 出发的积分曲线有一个最大存在区间Jp，从而有极大积分曲线 γp : Jp → M. 例如，前面几个例子中积分曲线的最大定义区间均为 R，而下面的例3.2.13则给出了一个最大存在区间不是 R 的积分曲线。再次利用唯一性和平移重参数化，可得命题 3.2.10. （局部流的加性） ♠ 对于 M 上光滑向量场 X，若 t, s, t + s ∈ Jp，则 γγp(s) (t) = γp(t + s). 证明固定 s，则两条曲线 γ1(t) = γγp(s) (t) 和 γ2(t) = γp(t + s) 都是从同一点 γp(s) 出发的 X 的积分曲线，由积分曲线的唯一性可知它们相同. □ ¶ 流映射把所有的积分曲线放在一起考虑，可以得到映射 Φ : M = {(t, p) | p ∈ M, t ∈ Jp} −→ M, (t, p) 7→ Φ(t, p) := γp(t), 其中 γp(t) 是从 p 出发的极大积分曲线. 于是，命题3.2.10可被写成 Φ(t, Φ(s, p)) = Φ(t + s, p). 根据定理3.2.8，对于任意 p ∈ M, 存在 p 的邻域 Up 和区间 Ip = (−εp, εp) 使得 Ip × Up ⊂ M，且 Φ 在 Ip × Up 上是光滑映射。下面证明 Φ 在整个 M 上是光滑映射 (特别地，由证明可见 M 是开集). 需要做的是对于任意 p 以及“不太小”的 t0, 证明 Φ 在 (t0, p) ∈ M 附近的光滑性. 证明的基本想法是利用加法性质即 γp(t0 + t) = γγp(t0) (t)，将点 (p, t0) 附近的光滑性转化为 (γp(t0), 0) 附近的光滑性. 为此，需要将从 p = γp(0) 到 γp(t0) 的这一段积分曲线分为很多段“短”积分曲线, 短到使得光滑性可以对一致的 t 区间成立，从而利用平移重参数化把光滑性传递到所需要的点。定理 3.2.11. （流映射的光滑性） ♥ 对于任意完备向量场 X, 流 Φ : R × M → M 是光滑的. 证明设 (t0, p) ∈ M，则 t0 ∈ Jp，于是存在充分小的正数 ε > 0 使得 [−ε, t0 + ε] ∈ Jp. 考虑 K = γp([−ε, t0 +ε]). 对于任意 q ∈ M, 存在邻域 Uq 3 q 和区间 Iq = (−εq, εp) 使得 Φ|Iq×Uq : Iq × Uq → M 是光滑的. 由 K 的紧性，在 K 中存在点 p1, · · · , pm 使得开集 Up1 , · · · , Upm 覆盖 K. 记 U := Up1 ∪ · · · ∪ Upm 以及 I = (−ε0, ε0) := Ip1 ∩ · · · ∩ Ipm. 77

3.2 光滑向量场的积分曲线则 U 是 K 的开邻域, I 是包含 0 的开区间, 而映射 Φ|I×U : I × U → M 是光滑的. 特别地，对于任意 s0 ∈ I, 映射 φs0 = Φ(s0, ·) : U → M 是光滑的. 现在取 N 充分大使得 s0 := t0/N ∈ I. 令 U1 = U，然后迭代地定义 Uk+1 := φ −1 s0 (Uk) ∩ U, k = 1, · · · , N. 那么对于任意 k = 1, · · · , N + 1, Uk 是开集, 并且 φs0 : Uk → Uk−1 是光滑的. 最后，考虑开集 Φ| −1 I×U (UN+1). 因为 Φ(s0, Φ(s0, · · · , Φ(s0, Φ(0, p))· · ·)) = Φ(t0, p) = γp(t0) ∈ K ⊂ U, 所以 (0, p) ∈ Φ| −1 I×U (UN+1). 因此存在 (0, p) 的邻域 I0 ×U0 ⊂ Φ| −1 I×U (UN+1), 即 Φ|I0×U0 : I0 × U0 → UN+1 是光滑的. 由于以下光滑映射的复合 (t0 + I0) × U0 −→ I0 × U0 Φ −→ UN+1 ϕs0 −→ UN ϕs0 −→ · · · ϕs0 −→ U1 (t, p) 7→ (t − t0, p) 7→ Φ(t − t0, p) 7→ · · · 7→ Φ(t, p) 恰好就是 Φ，故 Φ 在 (t0 + I0) × U0 上光滑 (特别地，(t0 + I0) × U0 ⊂ M，从而 M 是开集)，从而完成了证明. □ 3.2.2 完备向量场 ¶ 完备/不完备向量场定义 3.2.12. （完备向量场） ♣ 设 X 是 M 上的光滑向量场。若对于任意 p ∈ M，满足 γ(0) = p 的积分曲线 γ 的最大定义区间均为 R，则称 X 是完备向量场. 下面的例子表明不是所有光滑向量场都是完备的. 例 3.2.13. 考虑 R 上的向量场 X = t 2 d dt. 令 γ(t) = (x(t)) 为它的积分曲线. 那么 x ′ (t) d dt = Xγ(t) = x(t) 2 d dt =⇒ x ′ (t) = x(t) 2 . 在初值条件 x(0) = c 下，该常微分方程的解为 xc(t) =    1 −t+1/c , 若c 6= 0, 0, 若c = 0. 于是，γc(t) 的最大存在区间为 Jc =    (−∞, 1/c), 若c > 0, R, 若c = 0, (1/c, +∞), 若c < 0. 因此从任意 c 6= 0 出发的积分曲线的最大存在区间都不是 R，从而 X 不完备. 设 X 是 M 上的完备向量场，则 M = R × M，且 Φ : R × M → M 是光滑映射。于是对于任意 t ∈ R，映射 φt : M → M, φt(p) := Φ(t, p) = γp(t) 78

3.2光滑向量场的积分曲线是光滑映射，且由定义以及命题3.2.10易得命题3.2.14（流的群性质）若X是流形M上的完备向量场，则光滑映射族【tltER满足(1) Φo = IdM,(2)对于任意 t,s E R,Φt oΦs = Φt+s(3）对于任意tER，pt可逆且（Φt)-1=Φ-t:于是完备向量场生成了流形到自身的一族微分同胚，下一节将进一步研究它们。紧支向量场是完备的一个自然的问题是：什么时候向量场是完备的？根据积分曲线的局部存在性定理，在积分曲线的任意一点（(t)处都可以将的定义域“向前延伸一点点”至某个t+ε处。那么，为什么还会存在不完备的向量场呢？原因在于每一点处“能向前延伸的幅度”可能会越来越小。换而言之，如果有一个一致的常数e0>0，使得任意点处的积分曲线都能“向前延伸0”，那么向量场就完备了。问题是在什么条件下，从每点处的常数能够给出全局的一致常数？答案是显然的：紧性！下面证明紧流形上任意向量场都是完备的。事实上，还可以证明一个稍微更一般的结果：根据例3.2.5，在向量场的零点处的积分曲线都是完备的，于是只需要在向量场的非零点处讨论向量场的完备性。类比于函数的情况，定义向量场的支集为supp(X)= (pEM /X(p) +0)若一个向量场的支集为紧集，则称它是紧支向量场定理3.2.15.（紧支向量场完备）光滑流形M上任意具有紧支集的光滑向量场X是完备的.O证明令C=supp(X).根据例3.2.5，X的经过任意qEM\C的积分曲线都是常数曲线g，从而其最大存在区间为R.下面假设gEC，则从g出发的积分曲线都会一直保持在C中由定理3.2.8，存在区间Ig=（Eg,eg),q的邻域U和光滑映射Ig×Ug→C使得对于所有pEUg,p(t)=I(t,p)是X的从p出发的积分曲线。由于U.UC,且C是紧集，故可以在C中找到有限多个点q1，..·qN使得{Uq..，UaN}覆盖C.令I=0gk=(-80,80),则对于任意gEC,存在从q出发的积分曲线%：I→C.记从pEC点出发的积分曲线的最大存在区间为Jp如果Jp≠R，不失一般性，可假设supJp=cc,矛盾.显然，紧流形上的任意光滑向量场都是紧支向量场，故推论3.2.16紧流形上任意光滑向量场是完备的.279

3.2 光滑向量场的积分曲线是光滑映射，且由定义以及命题3.2.10易得命题 3.2.14. （流的群性质） ♠ 若 X 是流形 M 上的完备向量场，则光滑映射族 {φt}t∈R 满足 (1) φ0 = IdM, (2) 对于任意 t, s ∈ R，φt ◦ φs = φt+s, (3) 对于任意 t ∈ R，φt 可逆且 (φt) −1 = φ−t . 于是完备向量场生成了流形到自身的一族微分同胚，下一节将进一步研究它们。 ¶ 紧支向量场是完备的一个自然的问题是：什么时候向量场是完备的？根据积分曲线的局部存在性定理，在积分曲线的任意一点 γ(t) 处都可以将 γ 的定义域“向前延伸一点点”至某个 t + ε 处。那么，为什么还会存在不完备的向量场呢？原因在于每一点处“能向前延伸的幅度”可能会越来越小。换而言之，如果有一个一致的常数 ε0 > 0，使得任意点处的积分曲线都能“向前延伸 ε0”，那么向量场就完备了。问题是在什么条件下，从每点处的常数能够给出全局的一致常数？答案是显然的：紧性！下面证明紧流形上任意向量场都是完备的。事实上，还可以证明一个稍微更一般的结果：根据例3.2.5，在向量场的零点处的积分曲线都是完备的，于是只需要在向量场的非零点处讨论向量场的完备性。类比于函数的情况，定义向量场的支集为 supp(X) = {p ∈ M | X(p) 6= 0}. 若一个向量场的支集为紧集，则称它是✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 紧支向量场。定理 3.2.15. （紧支向量场完备）光滑流形 M 上任意具有紧支集的光滑向量场 ♥ X 是完备的. 证明令 C = supp(X). 根据例3.2.5，X 的经过任意 q ∈ M \ C 的积分曲线都是常数曲线 γq，从而其最大存在区间为 R. 下面假设 q ∈ C，则从 q 出发的积分曲线都会一直保持在 C 中. 由定理3.2.8, 存在区间 Iq = (−εq, εq), q 的邻域 Uq 和光滑映射 Γ : Iq ×Uq → C 使得对于所有 p ∈ Uq, γp(t) = Γ(t, p) 是 X 的从 p 出发的积分曲线. 由于 ∪qUq ⊃ C, 且 C 是紧集, 故可以在 C 中找到有限多个点 q1, · · · qN 使得 {Uq1 , · · · , UqN } 覆盖 C. 令 I = \ k Iqk = (−ε0, ε0), 则对于任意 q ∈ C, 存在从 q 出发的积分曲线 γq : I → C. 记从 p ∈ C 点出发的积分曲线的最大存在区间为 Jp. 如果 Jp 6= R, 不失一般性，可假设 sup Jp = c c, 矛盾. □ 显然，紧流形上的任意光滑向量场都是紧支向量场，故推论 3.2.16 紧流形上任意光滑向量场是完备的 ♥ . 79

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章 光滑向量场 3.2 光滑向量场的积分曲线

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