4.2Lie同态与指数映射4.2Lie同态与指数映射作为一类非常特殊的光滑流形，Lie群的独特点之一在于它有一个整体的线性化即Lie代数：从源头上看，如果视Lie群为连续变换群，那么Lie代数的元素就是所有单参数变换子群所对应的线性化即“无穷小变换”。于是，一个自然的问题是：如何从“无穷小变换”通过某种“去线性化”回归到Lie群中的单参数变换子群？这就是本节构建并研究的从Lie代数到Lie群的指数映射，它能够帮助从Lie代数的线性信息出发再现Lie群的非线性信息，因而在Lie理论中起到了非常根本的作用。4.2.1Lie同态Lie群/Lie代数同态跟流形、群等范畴类似，Lie群和Lie代数都各自构成一个重要的范畴，自然需要研究这些范畴中“保持相应对象本性”的态射。对于Lie群范畴而言，就是Lie群同态：定义4.2.1:（Lie群同态）令G,H 为Lie群（1）若映射Φ：G→H是光滑的，而且是群同态，即Vg1, 92 E G,(g1 : 92) = Φ(91) : Φ(92),则称它是一个Lie群同态(2)若Lie群同态Φ：G→H可逆，且Φ-1：H→G也是Lie群同态，则称Φ是Lie群同构，并称G和H是同构的Lie群由定义可知，同构的Lie群作为微分流形是微分同胚的，作为群是群同构的例4.2.2.对任意的Lie群G与任意的元素aEG.容易验证共轭映射c(g)=LgoRg-1 :G→G,→grg-1是Lie群同态，且(c(g))-1=c(g-1)，于是所有c(g)都是Lie群同构.注4.2.3.在习题1中已经看到，对于任意连通拓扑群G，以及单位元eEG的任意邻域U，都有G=Uo,Un.于是如果G是连通Lie群，则任意Lie群同态ΦG→H被它在e的任意邻域U上的限制lu所决定类似地，Lie代数范畴的态势就是Lie代数同态：定义4.2.4.（Lie代数同态）令g,h为Lie代数(1）若L：g→h是线性映射，且VXi,X2Eg,L([X1,X2)) =[L(X1), L(X2)],则称它是一个Lie代数同态(2）若Lie代数同态L：g→ h可逆，则称L是一个Lie代数同构，并称g和 h是同构的Lie代数R100
4.2 Lie 同态与指数映射 4.2 Lie 同态与指数映射 作为一类非常特殊的光滑流形，Lie 群的独特点之一在于它有一个整体的线性化即 Lie 代数：从源头上看，如果视 Lie 群为连续变换群，那么 Lie 代数的元素就是所有单 参数变换子群所对应的线性化即“无穷小变换”。于是，一个自然的问题是：如何从“无 穷小变换”通过某种“去线性化”回归到 Lie 群中的单参数变换子群？这就是本节构建 并研究的从 Lie 代数到 Lie 群的指数映射，它能够帮助从 Lie 代数的线性信息出发再现 Lie 群的非线性信息，因而在 Lie 理论中起到了非常根本的作用。 4.2.1 Lie 同态 ¶ Lie 群/Lie 代数同态 跟流形、群等范畴类似，Lie 群和 Lie 代数都各自构成一个重要的范畴，自然需要研 究这些范畴中“保持相应对象本性”的态射。对于 Lie 群范畴而言，就是 Lie 群同态： 定义 4.2.1. （Lie 群同态） ♣ 令 G, H 为 Lie 群. (1) 若映射 φ : G → H 是光滑的，而且是群同态，即 φ(g1 · g2) = φ(g1) · φ(g2), ∀g1, g2 ∈ G, 则称它是一个 Lie 群同态 (2) 若 Lie 群同态 φ : G → H 可逆，且 φ −1 : H → G 也是 Lie 群同态，则称 φ 是 Lie 群同构，并称 G 和 H 是同构的 Lie 群. 由定义可知, 同构的 Lie 群作为微分流形是微分同胚的，作为群是群同构的. 例 4.2.2. 对任意的 Lie 群 G 与任意的元素 a ∈ G, 容易验证共轭映射 c(g) = Lg ◦ Rg−1 : G → G, x 7→ gxg−1 是 Lie 群同态，且 (c(g))−1 = c(g −1 )，于是所有 c(g) 都是 Lie 群同构. 注 4.2.3. 在习题 1 中已经看到，对于任意连通拓扑群 G, 以及单位元 e ∈ G 的任意邻 域 U，都有 G = ∪∞ n=1U n . 于是如果 G 是连通 Lie 群，则任意 Lie 群同态 φ : G → H 被 它在 e 的任意邻域 U 上的限制 φ|U 所决定. 类似地，Lie 代数范畴的态势就是 Lie 代数同态: 定义 4.2.4. （Lie 代数同态） ♣ 令 g, h 为 Lie 代数. (1) 若 L : g → h 是线性映射，且 L([X1, X2]) = [L(X1), L(X2)], ∀X1, X2 ∈ g, 则称它是一个 Lie 代数同态. (2) 若 Lie 代数同态 L : g → h 可逆，则称 L 是一个 Lie 代数同构，并称 g 和 h 是同构的 Lie 代数. 100
4.2Lie同态与指数映射注意若Lie代数同态L：g→h是可逆的，那么其逆映射L-1：h→g也自动是Lie代数同态这里我们再一次见证了这样一个现象：“线性对象更容易处理”例4.2.5.对任意XEGL(nR)，易验证伴随映射A-XAX-1Adx : g(n, R) → gl(n, R),是Lie代数同态，且Adx=Adx-1，于是所有Adx都是Lie代数同构。Lie群同态诱导的Lie代数同态假设@：G一→H是一个Lie群同态，那么它在e处的微分就给出了个线性映射doe:T.G→T.H.于是在等同与TeG~gTH~h之下，可诱导出一个从g到h的映射，dp:g→h.可以更具体地把该映射写出来：G上的任意左不变向量场XEg对应于TG中的向量Xe，于是X在该诱导映射下的像do(X）是H上由dpe(Xe）生成的左不变向量场，从而(do(X)h = dLn(dpe(Xe)例4.2.6.从GL(n,R）上的共轭映射c(X)：GL(n,R)一→GL(n,R)出发.在恒等矩阵In处取微分，可得dIdX(I+tA)X-1=XAX-1c(X)(I +tA) =(dc(X))1n (A) =dtt=0dt也就是说，此时诱导映射是Lie代数同态dc(X) = Adx : g(n, R) → g(n, R).下面证明诱导映射do总是一个Lie代数同态为此，需要下述引理：引理4.2.7.（X与do(X）的相关性）设 Φ : G → H 为 Lie 群同态, 则向量场 X E g 与向量场 do(X) E h 是 Φ 相关的.证明任取XEg.记h=Φ(g)由于Φ是一个群同态，Φo Lg=Lhop于是dpg(Xg) = dog o(dLg)e(Xe) = dLn o dpe(Xe) = (dp(X)n口这就证明了引理作为推论，可以证明定理4.2.8.（从Lie群同态到Lie代数同态）如果p:G→H是Lie群同态，那么诱导映射d:g→h是Lie代数同态?证明令X,YEg.由上述引理，101
4.2 Lie 同态与指数映射 注意若 Lie 代数同态 L : g → h 是可逆的, 那么其逆映射 L −1 : h → g 也自动是 Lie 代数同态. 这里我们再一次见证了这样一个现象：“线性对象更容易处理”. 例 4.2.5. 对任意 X ∈ GL(n, R), 易验证伴随映射 AdX : gl(n, R) → gl(n, R), A 7→ XAX−1 是 Lie 代数同态，且 AdX = AdX−1 , 于是所有 AdX 都是 Lie 代数同构. . ¶ Lie 群同态诱导的 Lie 代数同态 假设 φ : G → H 是一个 Lie 群同态, 那么它在 e 处的微分就给出了一个线性映射 dφe : TeG → TeH. 于是在等同 TeG ' g 与 TeH ' h 之下，可诱导出一个从 g 到 h 的映射， dφ : g → h. 可以更具体地把该映射写出来：G 上的任意左不变向量场 X ∈ g 对应于 TeG 中的向量 Xe, 于是 X 在该诱导映射下的像 dφ(X) 是 H 上由 dφe(Xe) 生成的左不变向量场, 从而 (dφ(X))h = dLℏ(dφe(Xe)). 例 4.2.6. 从 GL(n, R) 上的共轭映射 c(X) : GL(n, R) → GL(n, R) 出发. 在恒等矩阵 In 处取微分, 可得 (dc(X))In (A) = d dt t=0 c(X)(I + tA) = d dt t=0 X(I + tA)X−1 = XAX−1 . 也就是说, 此时诱导映射是 Lie 代数同态 dc(X) = AdX : gl(n, R) → gl(n, R). 下面证明诱导映射 dφ 总是一个 Lie 代数同态. 为此，需要下述引理： 引理 4.2.7. （X 与 dφ(X) 的相关性） ♦ 设 φ : G → H 为 Lie 群同态，则向量场 X ∈ g 与向量场 dφ(X) ∈ h 是 φ 相关的. 证明 任取 X ∈ g. 记 h = φ(g). 由于 φ 是一个群同态, φ ◦ Lg = Lh ◦ φ. 于是 dφg(Xg) = dφg ◦ (dLg)e(Xe) = dLh ◦ dφe(Xe) = (dφ(X))h. 这就证明了引理. □ 作为推论, 可以证明 定理 4.2.8. （从 Lie 群同态到 Lie 代数同态） ♥ 如果 φ : G → H 是 Lie 群同态, 那么诱导映射 dφ : g → h 是 Lie 代数同态. 证明 令 X, Y ∈ g. 由上述引理, 101
4.2Lie同态与指数映射。X与do(X)是Φ相关的,Y与do(Y)是Φ相关的，从而[X,Y]与[do(X),do(Y)]是相关的。[X,Y] 与do([X,Y])是相关的于是立即可以得出[do(X),do(Y)le= doe([X,Yle) = (do([X,YD)e由于d([X,YI)和[do(X),do(Y)]都是左不变向量场，dp([X,YI)=[do(X),do(Y)]注意若Φ：G→H是Lie群同构，则诱导映射dp：g→h是Lie代数同构例4.2.9.考虑行列式映射det : GL(n, R) → R*它是从一般线性群到非零实数乘法群的Lie群同态，因为det(XY)=detXdetY,VX,Y E GL(n,R)则由det(X+tA)=(det X)det(I +tX-1A)=(det X)(1+ttr(X-1A)+O(t2))可知 (第二章习题)(ddet)x(A) = (det X)tr(X-IA),VX EGL(n,R),AE gl(n, R).通过取X=In，可见det诱导的Lie代数同态（注意R*的Lie代数是平凡Lie代数R）是ddet =tr : gl(n,R)→R, A→tr(A).特别的，由R上Lie代数平凡，可得下述熟知事实的一个“概念性”证明tr(AB) =tr(BA), VA,BEgl(n,R).例4.2.10.因为Lie群G中的每个元素gEG都给出了一个Lie群同构c(g):G→G, -grg-1,所以它们的诱导映射Adg= dc(g) : g→ g都是Lie代数同构.特别地，对于任意gEG，都有AdgEGL(g).把所有这些可逆线性映射放到一起，就得到了一个映射Ad:G →GL(Adg), g Adg事实上，映射Ad还是一个群同态：由定义知c(g192)=c(g1)oc(g2)，从而根据链式法则,(dc(g192))e= (dc(g1)e0 (dc(g92)e,即Ad(g192)=Ad(g1)oAd(g2)此外，Ad显然关于9连续，进而根据下一节将要证明的推论4.3.20，Ad是光滑映射，从而是一个Lie群同态。Lie群同态Ad把任意Lie群G实现为线性空间g上的矩阵Lie群（当然这个对应关系未必是单射或满射），被称为Lie群G的伴随表示，因为Ad是Lie群同态，再一次取它在相应Lie代数上的诱导映射，就得到另一个Lie代数同态ad : g → End(g).102
4.2 Lie 同态与指数映射 X 与 dφ(X) 是 φ 相关的, Y 与 dφ(Y ) 是 φ 相关的，从而 [X, Y ] 与 [dφ(X), dφ(Y )] 是 φ- 相关的. [X, Y ] 与 dφ([X, Y ]) 是 φ 相关的. 于是立即可以得出 [dφ(X), dφ(Y )]e = dφe([X, Y ]e) = (dφ([X, Y ]))e. 由于 dφ([X, Y ]) 和 [dφ(X), dφ(Y )] 都是左不变向量场, dφ([X, Y ]) = [dφ(X), dφ(Y )]. □ 注意若 φ : G → H 是 Lie 群同构，则诱导映射 dφ : g → h 是 Lie 代数同构. 例 4.2.9. 考虑行列式映射 det : GL(n, R) → R ∗ . 它是从一般线性群到非零实数乘法群的 Lie 群同态，因为 det(XY ) = det X det Y, ∀X, Y ∈ GL(n, R). 则由 det(X + tA) = (det X) det(I + tX−1A) = (det X)(1 + ttr(X−1A) + O(t 2 )) 可知 (第 二章习题) (d det)X(A) = (det X)tr(X−1A), ∀X ∈ GL(n, R), A ∈ gl(n, R). 通过取 X = In, 可见 det 诱导的 Lie 代数同态 (注意 R ∗ 的 Lie 代数是平凡 Lie 代数 R) 是 d det = tr : gl(n, R) → R, A 7→ tr(A). 特别的，由 R 上 Lie 代数平凡，可得下述熟知事实的一个“概念性”证明 tr(AB) = tr(BA), ∀A, B ∈ gl(n, R). 例 4.2.10. 因为 Lie 群 G 中的每个元素 g ∈ G 都给出了一个 Lie 群同构 c(g) : G → G, x 7→ gxg−1 , 所以它们的诱导映射 Adg = dc(g) : g → g 都是 Lie 代数同构. 特别地，对于任意 g ∈ G，都有 Adg ∈ GL(g). 把所有这些可逆线性 映射放到一起，就得到了一个映射 Ad : G → GL(Adg), g 7→ Adg. 事实上，映射 Ad 还是一个群同态：由定义知 c(g1g2) = c(g1) ◦ c(g2)，从而根据链式法 则，(dc(g1g2))e = (dc(g1))e ◦ (dc(g2))e，即 Ad(g1g2) = Ad(g1) ◦ Ad(g2). 此外，Ad 显然关于 g 连续，进而根据下一节将要证明的推论4.3.20，Ad 是光滑映射，从 而是一个 Lie 群同态。Lie 群同态 Ad 把任意 Lie 群 G 实现为线性空间 g 上的矩阵 Lie 群 (当然这个对应关系未必是单射或满射)，被称为 Lie 群 G 的伴随表示. 因为 Ad 是 Lie 群同态，再一次取它在相应 Lie 代数上的诱导映射，就得到另一个 Lie 代数同态 ad : g → End(g). 102
4.2Lie同态与指数映射该映射把Lie代数g中的每个元素自然地对应于线性空间g上的一个线性映射，从而把Lie代数g实现为线性空间g上的矩阵Lie代数（当然它未必是单射或满射)，被称为Lie代数g的伴随表示.Lie群和Lie代数的伴随表示在研究Lie群和Lie代数时起着非常重要的作用。注4.2.11抽象地来看，Lie理论的基本研究内容是两个范畴(1)Lie群范畴CIEgROuP。对象为Lie群，。态射为Lie群同态，(2）Lie代数范畴CI&ACGBRA。对象为Lie代数，。态射为Lie代数同态以及这两个范畴之间的函子CI&，该函子将。每个Lie群G对应于一个Lie代数g，。每个Lie群同态：G→H对应于一个Lie代数同态dp：g→h.4当然，这个对应并不是一对一的：很容易可以找出不同的Lie群，例如R和S1，它们具有完全相同的的Lie代数.不过，可以证明：如果仅仅考虑I&GROuP中由所有单连通Lie群所组成的子范畴，以及CI&ACG&BRA中由所有有限维Lie代数所组成的子范畴，那么函子CI&就是“可逆的”。事实上，根据Lie第三定理，任意有限维Lie代数都是某个单连通Lie群的Lie代数；反之，如果G是单连通Lie群，那么任意的Lie代数同态L：g→h可以被提升为一个Lie群同态Φ：G→H，使得L=do4.2.2指数映射Lie群的单参数子群令G为任意Lie群，g为它的Lie代数.由定义可知，任何XEg都是一个左不变向量场.一般而言G未必是紧的，从而X也未必是紧支的：尽管如此，得益于左平移映射，依然可以“一致地控制”左不变向量场在不同点的向量.由此可以证明（留作练习）引理4.2.12.（左不变向量场是完备的）任何Lie群G上的左不变向量场XEg都是完备的.V令oX：G→G为由左不变向量场XEg生成的流.完备性保证了X对所有的t是良定的微分同胚.不出意料的是，它跟Lie群的乘法关系密切：命题4.2.13.（Lie群上的流=右乘法）设G是Lie群，则对于任意gEG,XEg以及tER，有啦(g)=g啦(e)证明是标准的，留作练习。4根据范畴的定义，需要验证d(Id)=Id。与d(Φ1oΦ2)=dp1dp2，这些都可以容易地从定义推出103
4.2 Lie 同态与指数映射 该映射把 Lie 代数 g 中的每个元素自然地对应于线性空间 g 上的一个线性映射，从而把 Lie 代数 g 实现为线性空间 g 上的矩阵 Lie 代数 (当然它未必是单射或满射)，被称为 Lie 代 数 g 的伴随表示. Lie 群和 Lie 代数的伴随表示在研究 Lie 群和 Lie 代数时起着非常重 要的作用。 注 4.2.11. 抽象地来看，Lie 理论的基本研究内容是两个范畴 (1) Lie 群范畴 LIEGROUP 对象为 Lie 群, 态射为 Lie 群同态, (2) Lie 代数范畴 LIEALGEBRA 对象为 Lie 代数, 态射为 Lie 代数同态 以及这两个范畴之间的函子 LIE，该函子将 每个 Lie 群 G 对应于一个 Lie 代数 g, 每个 Lie 群同态 φ : G → H 对应于一个 Lie 代数同态 dφ : g → h. 4 当然，这个对应并不是一对一的：很容易可以找出不同的 Lie 群，例如 R 和 S 1，它们具 有完全相同的的 Lie 代数. 不过，可以证明：如果仅仅考虑 LIEGROUP 中由所有单连 通 Lie 群所组成的子范畴，以及 LIEALGEBRA 中由所有有限维 Lie 代数所组成的子 范畴，那么函子 LIE 就是“可逆的”。事实上，根据 Lie 第三定理, 任意有限维 Lie 代数 都是某个单连通 Lie 群的 Lie 代数; 反之, 如果 G 是单连通 Lie 群, 那么任意的 Lie 代数 同态 L : g → h 可以被提升为一个 Lie 群同态 φ : G → H，使得 L = dφ. 4.2.2 指数映射 ¶ Lie 群的单参数子群 令 G 为任意 Lie 群, g 为它的 Lie 代数. 由定义可知, 任何 X ∈ g 都是一个左不变 向量场. 一般而言 G 未必是紧的, 从而 X 也未必是紧支的. 尽管如此, 得益于左平移映 射, 依然可以“一致地控制”左不变向量场在不同点的向量. 由此可以证明(留作练习) 引理 4.2.12. （左不变向量场是完备的） ♦ 任何 Lie 群 G 上的左不变向量场 X ∈ g 都是完备的. 令 φ X t : G → G 为由左不变向量场 X ∈ g 生成的流. 完备性保证了 φ X t 对所有的 t 是良定的微分同胚. 不出意料的是，它跟 Lie 群的乘法关系密切： 命题 4.2.13. （Lie 群上的流 = 右乘法） ♠ 设 G 是 Lie 群，则对于任意 g ∈ G, X ∈ g 以及 t ∈ R，有 φ X t (g) = gφX t (e). 证明是标准的，留作练习。 4根据范畴的定义，需要验证 d(IdG) = Idg 与 d(ϕ1 ◦ ϕ2) = dϕ1 ◦ dϕ2, 这些都可以容易地从定义推出. 103
4.2Lie同态与指数映射于是Lie群G上左不变向量场X所生成流在G上的作用就是右乘oX = Rox(e).特别地，由流的群性质可知对于任意gEG，gΦ$+t(e) = Φ+s(g) =Φxpx(g) = Φ(gx (e) = gΦx(e)Φ (e)于是推论4.2.14（单参数子群）设 G 是 Lie 群，则对于任意 X E g，有Φxt(e) = Φx(e) (e).O换而言之，对于任意XEg，映射pX:R-G, t-(e)是一个群同态。此外，不难证明映射p是光滑映射（事实上，映射(t,X)→(e)是从R×g到G的光滑映射，见定理4.2.19的证明)，所以p是一个从R到G的Lie群同态，被称为Lie群G的单参数子群。于是，任意XEg都给出了G中的一个单参数子群。反之，若是Lie群G中的一个单参数子群，令dlXg= Rp(t)9,dt/t=0则不难验证X是G上的一个左不变向量场.此外，XEg与p之间的对应关系是一个一对应.向量场X被称为单参数子群p的无穷小生成元：于是，我们得到了Lie群G的Lie代数的第三幅面目：G中的所有单参数子群的无穷小生成元.事实上这正是Lie最初发展Lie理论时所采用的视角，应用单参数子群，可以揭开例4.2.10中最后出现的Lie代数同态ad的真面目：命题4.2.15.（Lie代数伴随表示=Lie括号）设 G 是 Lie 群，则对于任意 X,Y E g，有 ad(X)(Y):=[X,Y].福一般的，对于抽象Lie代数g，人们也把ad : g → End(g), ad(X)(Y) := [X,Y]叫做g的伴随表示。用g的Jacobi恒等式，不难验证它是Lie代数同态。指数映射左不变向量场的完备性保证了X对所有的t是良定的微分同胚．特别地，它在t=1处有定义104
4.2 Lie 同态与指数映射 于是 Lie 群 G 上左不变向量场 X 所生成流在 G 上的作用就是右乘 φ X t = RϕX t (e) . 特别地，由流的群性质可知对于任意 g ∈ G， gφX s+t (e) = φ X t+s (g) = φ X t φ X s (g) = φ X t (gφX s (e)) = gφX s (e)φ X t (e). 于是 推论 4.2.14. （单参数子群） ♥ 设 G 是 Lie 群，则对于任意 X ∈ g，有 φ X s+t (e) = φ X s (e)φ X t (e). 换而言之，对于任意 X ∈ g，映射 ρ X : R → G, t 7→ φ X t (e) 是一个群同态。此外，不难证明映射 ρ X 是光滑映射 (事实上，映射 (t, X) 7→ ϕ X t (e) 是从 R × g 到 G 的光滑映射，见定理4.2.19的证明)，所以 ρ X 是一个从 R 到 G 的 Lie 群同态，被称为 Lie 群 G 的单参数子群。 于是，任意 X ∈ g 都给出了 G 中的一个单参数子群。反之，若 ρ 是 Lie 群 G 中的 一个单参数子群，令 Xg := d dt t=0 Rρ(t)g, 则不难验证 X 是 G 上的一个左不变向量场. 此外，X ∈ g 与 ρ X 之间的对应关系是一个 一一对应. 向量场 X 被称为单参数子群 ρ 的无穷小生成元. 于是，我们得到了 Lie 群 G 的 Lie 代数的第三幅面目：G 中的所有单参数子群的无穷小生成元. 事实上这正是 Lie 最初发展 Lie 理论时所采用的视角. 应用单参数子群，可以揭开例4.2.10中最后出现的 Lie 代数同态 ad 的真面目： 命题 4.2.15. （Lie 代数伴随表示 =Lie 括号） ♠ 设 G 是 Lie 群，则对于任意 X, Y ∈ g，有 ad(X)(Y ) := [X, Y ]. 一般的，对于抽象 Lie 代数 g，人们也把 ad : g → End(g), ad(X)(Y ) := [X, Y ] 叫做 g 的伴随表示。用 g 的 Jacobi 恒等式，不难验证它是 Lie 代数同态。 ¶ 指数映射 左不变向量场的完备性保证了 φ X t 对所有的 t 是良定的微分同胚. 特别地, 它在 t = 1 处有定义. 104
4.2Lie同态与指数映射定义4.2.16.（指数映射）称下述映射为Lie群G的指数映射exp:g→G, X→(e)在Riemann几何中也有一个指数映射的概念，事实上，如果G是一个赋有双不变度量的紧Lie群，那么它在Riemann几何意义下的指数映射就和这里Lie理论意义下的指数映射是相同的品根据引理3.2.9，不难看出啦=tX从而exp(tX) = *(e) = x(e)此外，推论4.2.14用指数映射的语言，可写成exp(tX) -exp(sX) = exp(t + s)X).【注意一般而言exp(tX)exp(tY)≠exp(t(X+Y)).】例4.2.17.对于G=R*，可以将TiG等同于R.即将ER等同于向量%ETiG对应的左不变向量场在aEG处的值时就是dXa=ardt通过解相应的常微分方程，可以得到X的从e=1出发的积分曲线为x(t)=et.于是，G上的指数映射就是熟悉的指数函数：exp() =(e)=(1) = e例4.2.18.类似地可以证明（留作习题）(1)对于 G=(SI,)而言,exp:iR = Tesl → sl, exp(ir)=eir(2)对于G=(Rn,+)而言,exp : R" = ToRn → R", exp(α) = r,(3)对于G=GL(n,R)而言,A2?A3exp : gl(n, R) → GL(n, R), exp(A) = eA = I + A+2！+3!指数映射的微分指数映射最有用的性质之一是命题4.2.19.（指数映射在单位元处的微分）指数映射 exp:g→ G 是光滑映射，且它在单位元处的微分（在典范同构 Tog ~ g 以及TG~g下）为恒等映射(dexp)o = Idg : Tog ~ g →g ~ T,G.证明考虑光滑流形G×g上的向量场X，它在点（9,X）处的切向量是X(g,x) = (Xg, 0).105
4.2 Lie 同态与指数映射 定义 4.2.16. （指数映射） ♣ 称下述映射为 Lie 群 G 的指数映射a exp : g → G, X 7→ φ X 1 (e). a在 Riemann 几何中也有一个指数映射的概念. 事实上，如果 G 是一个赋有双不变度量的紧 Lie 群, 那么它在 Riemann 几何意义下的指数映射就和这里 Lie 理论意义下的指数映射是相同的. 根据引理3.2.9，不难看出 φ X ts = φ tX s . 从而 exp(tX) = φ tX 1 (e) = φ X t (e). 此外，推论4.2.14用指数映射的语言，可写成 exp(tX) · exp(sX) = exp((t + s)X). 【注意一般而言 exp(tX) exp(tY ) 6= exp(t(X + Y )).】 例 4.2.17. 对于 G = R ∗ , 可以将 T1G 等同于 R. 即将 x ∈ R 等同于向量 x d dt ∈ T1G, 对应的左不变向量场在 a ∈ G 处的值时就是 Xa = ax d dt. 通过解相应的常微分方程, 可以得到 X 的从 e = 1 出发的积分曲线为 γ X e (t) = e tx . 于是， G 上的指数映射就是熟悉的指数函数： exp(x) = φ X 1 (e) = γ X e (1) = e x . 例 4.2.18. 类似地可以证明(留作习题) (1) 对于 G = (S 1 , ·) 而言, exp : iR = TeS 1 → S 1 , exp(ix) = e ix , (2) 对于 G = (R n , +) 而言, exp : R n = T0R n → R n , exp(x) = x, (3) 对于 G = GL(n, R) 而言, exp : gl(n, R) → GL(n, R), exp(A) = e A = I + A + A2 2! + A3 3! + · · · . ¶ 指数映射的微分 指数映射最有用的性质之一是 命题 4.2.19. （指数映射在单位元处的微分） ♠ 指数映射 exp : g → G 是光滑映射，且它在单位元处的微分 (在典范同构 T0g ' g 以及 TeG ' g 下) 为恒等映射 (d exp)0 = Idg : T0g ' g → g ' TeG. 证明 考虑光滑流形 G × g 上的向量场 X ‹，它在点 (g, X) 处的切向量是 X ‹ (g,X) = (Xg, 0). 105
4.2Lie同态与指数映射不难证明它是完备的，并且它的流是重: R×G×g→G×g, (t,g,X)→(g exp(tX),X).因此Φ是光滑的这说明exp是光滑映射，因为它可表示成以下光滑映射的复合鱼GxgGgRxGxg-X →(1,e,X)→(exp(X),X) →exp(X)【同理可知映射(t,X)→exp(tX）是从R×g到G的光滑映射.】对于任意X ETog ~g，由于exp(tX)=x(e)=(t)dexp(tX)= Xdtlt=0另一方面，dd(xt) = (dexp)oX.exp otX = (dexp)odtlt=0dt口因此(dexp)o在上述典范同构下等于恒等映射。特别地，(dexp)o是双射，从而推论4.2.20.（exp是局部微分同胚）指数映射 exp在 0 附近是一个局部微分同胚。?由例4.2.18可知，一般来说exp不是一个全局微分同胚一个自然的问题是：注4.2.21.指数映射exp：g→G是满射吗？显然为了使exp是满射，一个必要的条件就是G应当是连通的.事实上对于任意紧连通Lie群G，指数映射总是满射.然而，对于非紧连通Lie群而言，指数映射未必是满射Baker-Campbell-Hausdorff 公式作为指数映射微分的一个应用，下面证明命题4.2.22.（Lie群乘法v.s.Lie代数加法）任给 X,Y E g, 存在光滑映射 Z : (-e,e) → g 使得对任意的 t E (-E,e), 有exp(tX)exp(tY) = exp(t(X +Y) +t? z(t)证明由于exp是0 Eg附近的一个微分同胚，存在e>0使得映射p : (-e,e) → g, t (t) = exp-1(exp(tx)exp(tY))是光滑的，注意到映射可被写成复合映射(-e,e) x G ×G G exp g.根据推论4.1.11,dμe,e(X,Y)=X+Y.于是 (0) = (dexp)(% (0) +% (0)) = X +Y.由于(0)=0, 由(t)=(0)+t (ts)ds可得p(t) =t(X +Y)+t?z(t)106
4.2 Lie 同态与指数映射 不难证明它是完备的，并且它的流是 Φ : e R × G × g → G × g, (t, g, X) 7→ (g · exp(tX), X). 因此 Φe 是光滑的. 这说明 exp 是光滑映射，因为它可表示成以下光滑映射的复合 g −→ R × G × g Φe −→ G × g π1 −→ G, X 7−→ (1, e, X) 7−→ (exp(X), X) 7→ exp(X). 【同理可知映射 (t, X) 7→ exp(tX) 是从 R × g 到 G 的光滑映射.】 对于任意 X ∈ T0g ' g，由于 exp(tX) = φ X t (e) = γ X e (t), d dt t=0 exp(tX) = Xe. 另一方面, d dt t=0 exp ◦tX = (d exp)0 d(Xt) dt = (d exp)0X. 因此 (d exp)0 在上述典范同构下等于恒等映射. □ 特别地，(d exp)0 是双射, 从而 推论 4.2.20. （exp 是局部微分同胚） ♥ 指数映射 exp 在 0 附近是一个局部微分同胚。 注 4.2.21. 由例4.2.18可知，一般来说 exp 不是一个全局微分同胚. 一个自然的问题是: 指数映射 exp : g → G 是满射吗? 显然为了使 exp 是满射, 一个必要的条件就是 G 应当是连通的. 事实上对于任意紧连通 Lie 群 G, 指数映射总是满射. 然而, 对于非紧连通 Lie 群而言，指数映射未必是满射. ¶ Baker-Campbell-Hausdorff 公式 作为指数映射微分的一个应用, 下面证明 命题 4.2.22. （Lie 群乘法 v.s. Lie 代数加法） ♠ 任给 X, Y ∈ g, 存在光滑映射 Z : (−ε, ε) → g 使得对任意的 t ∈ (−ε, ε), 有 exp(tX) exp(tY ) = exp(t(X + Y ) + t 2Z(t)). 证明 由于 exp 是 0 ∈ g 附近的一个微分同胚, 存在 ε > 0 使得映射 ϕ : (−ε, ε) → g, t 7→ ϕ(t) = exp−1 (exp(tX) exp(tY )) 是光滑的. 注意到映射 ϕ 可被写成复合映射 (−ε, ε) γX e ×γ Y e −→ G × G µ −→ G exp−1 −→ g. 根据推论4.1.11, dµe,e(X, Y ) = X + Y . 于是 ϕ ′ (0) = (d exp)−1 0 ( ˙γ X e (0) + ˙γ Y e (0)) = X + Y. 由于 ϕ(0) = 0, 由 ϕ(t) = ϕ(0) + t R 1 0 ϕ ′ (ts)ds 可得 ϕ(t) = t(X + Y ) + t 2Z(t) 106
4.2Lie同态与指数映射口其中Z(t)=JJsp"(tus)duds是光滑函数.注4.2.23.神秘函数Z的具体表达式被称为Baker-Campbell-Hausdorff公式：t2(X,Y]+Z(t) =+ (X,[, -[,[X, ) + (,[,[X, Y .这个公式可被视为是“Lie代数的线性结构以及Lie括号结构”跟“Lie群的乘法结构”之间的桥梁。exp的自然性最后把指数映射与Lie群/Lie代数同态联系起来.命题4.2.24.（exp的自然性）给定任意Lie群同态p：G→H图表exPGexpHHG是交换的，即pexPG=exPH o(dp).证明对于任意XE9，poexPG:R→H, tpoexPG(tX)是H的单参数子群，并且dp o exp,(tX) = dpe(X).dtt=0口故oexpc(tX)=exPnot(dp)e(X)特别地，“Lie群同态在单位元附近的性态”跟“它生成的Lie代数同态”互相决定。由于连通Lie群由它在单位元处的任意小邻域生成，立刻得到推论4.2.25（从Lie 代数同态到Lie群同态）如果G是连通的，那么任何Lie群同态：G→H是由它诱导的Lie代数同态dp:g→h决定的3将exp的自然性分别应用于Lie群同态c(g):G→G和Ad:G→GL(g),立得命题4.2.26.（指数映射与伴随表示）设 G 是 Lie 群, 则对于任意 g E G,X E g 以及 t E R,(1) g(exptX)g-1 = exp(tAdgX)(2) Ad(exp(tX)) =exp(tad(X))其中最后一个exp为矩阵指数函数exp(A)=Ek为Ak，而其余三个exp为Lie群G 的指数映射.107
4.2 Lie 同态与指数映射 其中 Z(t) = R 1 0 R 1 0 sϕ′′(tus)duds 是光滑函数. □ 注 4.2.23. 神秘函数 Z 的具体表达式被称为 Baker-Campbell-Hausdorff 公式: Z(t) = 1 2 [X, Y ] + t 12 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + t 2 24 [X, [Y, [X, Y ]]] + · · · 这个公式可被视为是“Lie 代数的线性结构以及 Lie 括号结构”跟“Lie 群的乘法结构” 之间的桥梁。 ¶ exp 的自然性 最后把指数映射与 Lie 群/Lie 代数同态联系起来. 命题 4.2.24. （exp 的自然性） ♠ 给定任意 Lie 群同态 ϕ : G → H, 图表 g dφ −−−−→ h y expG y expH G φ −−−−→ H 是交换的, 即 ϕ ◦ expG = expH ◦(dϕ). 证明 对于任意 X ∈ g, ϕ ◦ expG : R → H, t 7→ ϕ ◦ expG(tX) 是 H 的单参数子群, 并且 d dt t=0 ϕ ◦ expg (tX) = dϕe(X). 故 ϕ ◦ expG(tX) = exph ◦t(dϕ)e(X). □ 特别地，“Lie 群同态在单位元附近的性态”跟“它生成的 Lie 代数同态”互相决定。 由于连通 Lie 群由它在单位元处的任意小邻域生成，立刻得到 推论 4.2.25. （从 Lie 代数同态到 Lie 群同态） ♥ 如果 G 是连通的, 那么任何 Lie 群同态 ϕ : G → H 是由它诱导的 Lie 代数同态 dϕ : g → h 决定的. 将 exp 的自然性分别应用于 Lie 群同态 c(g) : G → G 和 Ad : G → GL(g), 立得 命题 4.2.26. （指数映射与伴随表示） ♠ 设 G 是 Lie 群，则对于任意 g ∈ G, X ∈ g 以及 t ∈ R， (1) g(exp tX)g −1 = exp(tAdgX), (2) Ad(exp(tX)) = exp(tad(X)), 其中最后一个 exp 为矩阵指数函数 exp(A) = P k 1 k!Ak，而其余三个 exp 为 Lie 群 G 的指数映射. 107