2.7 横截性 2.7 横截性 对比一下“光滑范畴”与“线性范畴”，可以发现子流形在很多方面性质不够好，例 如光滑映射下子流形的原像未必是子流形，子流形的交集未必是子流形等等。本节引入 的横截性概念，用于剔除那些坏情形，因而在研究子流形时非常重要。 2.7.1 横截相交 ¶ 子流形的原像 令 f : M → N 为光滑映射，正则水平集定理（以及常秩水平集定理) 给出了 f −1 (q) 是 子流形的比较便于使用的判据。对于光滑子流形 X ⊂ N，一个自然的问题是 什么时候 f −1 (X) 是 M 的光滑子流形? 一方面，由子流形的定义可知，对于任意 q ∈ X，均存在邻域 V 以及由坐标卡映射所诱导 的光滑映射 g : V → R l（其中 l = dim N −dim X 是 X 在 N 中的余维数）使得 g −1 (0) = X ∩V 。 注意由 g 的构造可知 dg 是满射，于是 0 是 g 的正则值，且它的核为 ker(dgq) = TqX. 另一方面，注意到“f −1 (X) 是否是 M 中的光滑子流形”是一个局部问题: 只需对于任 意 p ∈ f −1 (X), 验证是否存在 p 在 M 中的邻域 U 使得 U ∩ f −1 (X) 是 M 的光滑子流 形. 不妨设 q = f(p) 并取 U = f −1 (V )，则可以将 U ∩ f −1 (X) 表示为 g ◦ f 的水平集: U ∩ f −1 (X) = f −1 ◦ g −1 (0) = (g ◦ f) −1 (0). 从而根据正则水平集定理，只要 0 是 g ◦ f 的正则值，f −1 (X) 就是 M 的光滑子流形. 现在尝试寻找 f 和 S 所满足的条件 (由于对于给定的 f 和 X, 映射 g 不是唯一的，故所求的 条件应该是与 g 无关的) ，使得 0 是 g ◦ f 的正则值. 换句话说，要找的条件应该是使得对于 任意 p ∈ (g ◦ f) −1 (0) = f −1 (X) ∩ U, 微分 d(g ◦ f)p 是满射. 根据链式法则, d(g ◦ f)p = dgq ◦ dfp. 因为 dgq 是核为 ker(dgq) = TqX 的满射，故为了让 d(g ◦ f)p 是满射，仅需要假设 Im(dfp) 包含某个“TqX 在 TqN 的补空间”. 为了更准确地描述上述性质，需要以下线性代数的引理: 引理 2.7.1 ♦ 设线性映射 L : V → W 为满射，且 V1 ⊂ V 为线性子空间，则 L(V1) = W 当且 仅当 V1 + ker(L) = V . 证明 若 V1 + ker(L) = V , 则 L(V1) = L(V1 + ker(L)) = L(V ) = W. 若 V1 + ker(L) 6= V , 取 v ∈ V 满足 v 6∈ V1 + ker(L). 则 L(v) 6∈ L(V1)(否则存在 v1 ∈ V1 使得 L(v1) = L(v), 即 v − v1 ∈ ker(L), 于是 v = v1 + (v − v1) ∈ V1 + ker(L), 矛盾). 故 L(V1) 6= W. □ 63
2.7 横截性 ¶ 光滑映射与子流形之间的横截相交 根据上述引理, 0 是 g ◦ f 的正则值当且仅当 Im(dfp) + Tf(p)X = Tf(p)N, ∀p ∈ f −1 (X). (2.7.1) 注意到这个条件仅依赖于 f 和 X, 不依赖于 g. 定义 2.7.2. （横截相交：映射与子流形） ♣ 令 f : M → N 为光滑映射, X ⊂ N 为光滑子流形. 若(2.7.1)成立，则称 f 与 X 横截相交, 并记为 f −⋔ X. 注 2.7.3. 有两种极端情况: 如果 f −1 (X) = ∅, 那么 f 与 X 横截相交，因为此时没有需要验证的条件. 如果 X ⊂ N 是光滑子流形，使得任意 q ∈ X 都是 f : M → N 的正则值, 那么 f 在每一点 p ∈ f −1 (X) 处都是淹没, 从而横截条件(2.7.1)自动成立. 特别地, 命题 2.7.4 ♠ 如果 f : M → N 是淹没, 那么 f 与 N 的任意光滑子流形都横截相交. 根据引理2.7.1之前的讨论，下述定理是自然的： 定理 2.7.5. （横截相交条件下子流形的原像） ♥ 设 f : M → N 为光滑映射, X ⊂ N 为光滑子流形，且 f −⋔ X. 则 f −1 (X) 是 M 中的光滑子流形，它的余维数等于 X (在 N 中) 的余维数, 并且 Tp(f −1 (X)) = df −1 p (Tf(p)X), ∀p ∈ f −1 (X). 证明 根据上述讨论，如果 f −⋔ X, 那么 0 是 g ◦ f 的正则值. 因此 f −1 (X) = (g ◦ f) −1 (0) 是 M 中的光滑子流形. f −1 (X) 的维数是 dim M − l, 其中 l = dim N − dim X. 因此 dim M − dim f −1 (X) = dim N − dim X, 即 codimf −1 (X) = codimX. 最后，由正则水平集定理，f −1 (X) 在 p 处的切空间为 Tp(f −1 (X)) = ker(d(g ◦ f)p) = (dgf(p) ◦ dfp) −1 (0) = df −1 p (dg−1 f(p) (0)) = df −1 p (Tf(p)X). 于是定理得证. □ ¶ 两个子流形/映射之间的横截相交 在文献中还有两种常见的横截相交，都可以视作 f −⋔ X 的特殊情况. 两个子流形的横截相交: 设 X1, X2 为 M 的光滑子流形，记 ι : X1 ,→ M 为典范嵌入. 则 ι −1 (X2) = X1 ∩ X2. 此外，由于 TpX1 = dιp(TpX1), 条件 ι −⋔ X2 等价于“对于每一 点 p ∈ X1 ∩ X2，均有 TpX1 + TpX2 = TpM”. 64
2.7 横截性 定义 2.7.6. （横截相交：子流形与子流形） ♣ 设 X1, X2 是 M 的光滑子流形。若对于任意 p ∈ X1 ∩ X2, TpX1 + TpX2 = TpM, 则称 X1 与 X2 在 M 中 横截相交，记作 X1 −⋔ X2. 注 2.7.7. 根据定义，如果 X1 ∩ X2 = ∅, 那么 X1 −⋔ X2. 因此如果 X1 −⋔ X2, 那么 ι −⋔ X2. 所以 X1 ∩ X2 = ι −1 (X2) 是 M 的光滑子流形，且 dim(X1 ∩ X2) = dim X1 − (dim M − dim X2) = dim X1 + dim X2 − dim M. 此外, X1 ∩ X2 在 p 处的切空间为 dι−1 p (TpX2) = TpX1 ∩ TpX2. 于是 推论 2.7.8 ♥ 令 X1 和 X2 为 M 中两个横截相交的光滑子流形, 那么 X1 ∩ X2 是 M 的光滑子 流形，其维数等于 dim X1 + dim X2 − dim M, 且对于任意 p ∈ X1 ∩ X2, Tp(X1 ∩ X2) = TpX1 ∩ TpX2. 注 2.7.9. 若 X1 −⋔ X2, 那么 X1, X2 和 X1 ∩ X2 在 M 中的余维数满足以下简单的关系 codimX1 ∩ X2 = codimX1 + codimX2. 从本质上来说，这表示在交点处，定义子流形 X1 的方程组跟定义子流形 X2 的方程组 是“无关”的，从而合在一起可以定义余维数更高的子流形。 两个映射的横截相交 更一般地，还可以定义两个映射之间的横截相交关系： 定义 2.7.10. （横截相交：映射与映射） ♣ 令 f1 : M1 → N 和 f2 : M2 → N 为光滑映射. 如果乘积映射 f1 × f2 : M1 × M2 → N × N 与“对角线子流形” ∆N = {(q, q) | q ∈ N} ⊂ N × N 横截相交，则称 f1 和 f2 横截相交, 并记为 f1 −⋔ f2. 在这个框架下, 定理2.7.5变为(验证) 推论 2.7.11 ♥ 如果 f1 −⋔ f2, 那么纤维积 F = (f1 × f2) −1 (∆N ) 是 M1 × M2 的子流形，它在 (p1, p2) ∈ F 处的切空间为 T(p1,p2)F = {(X1, X2) | Xi ∈ TpiMi ,(df1)p1 (X1) = (df2)p2 (X2).}. 注意如果 f2 为嵌入映射 ι2 : X ,→ N, 那么 f1 −⋔ f2 等价于 f1 −⋔ X. 65
2.7 横截性 2.7.2 横截相交的广泛存在性 ¶ 横截性定理 下面给出在寻找横截映射时非常有用的横截性定理(M 是带边流形时也成立): 定理 2.7.12. （横截性定理） ♥ 令 F : S × M → N 为光滑映射, X ⊂ N 为光滑子流形. 对于每个 s ∈ S, 令 fs : M → N, fs(p) = F(s, p). 假设 F −⋔ X. 那么对于以下投影映射的每个正则值 s ∈ S a π : F −1 (X) ⊂ S × M → S, π(s, p) = s, 有 fs −⋔ X. (于是根据 Sard 定理, 对于几乎所有的 s ∈ S, 都有 fs −⋔ X.) a注意到因为 F −⋔ X, F −1 (X) 的原像是 S × M 中的光滑子流形. 因此投影映射 π 是光滑映射. 证明 令 s 为 π 的任意正则值. 对于任意 p ∈ f −1 s (X), 需要证明 Im(dfs)p + TqX = TqN, 其中 q = fs(p). 因为 F −⋔ X, 对于任意 Yq ∈ TqN, 存在 (Zs, Zp) ∈ T(s,p) (S × M) 和 Zq ∈ TqX 使得 Yq = (dF)(s,p) (Zs, Zp) + Zq. 由于 s 是 π 的正则值, 对于 Zs ∈ TsS, 存在 Z ′ p ∈ TpM 使得 (Zs, Z′ p ) ∈ T(s,p)F −1 (X). 因 此 Yq = (dF)(s,p) (0, Zp − Z ′ p ) + (dF)(s,p) (Zs, Z′ p ) + Zq. 最后，因为 (dF)(s,p) (0, Zp − Z ′ p ) = (dfs)p(Zp − Z ′ p ) ∈ Im(dfs)p, 以及 (dF)(s,p) (Zs, Z′ p ) ∈ dF(s,p) T(s,p)F −1 (X) ⊂ TqX. 于是结论成立。 □ 作为推论，可以证明横截映射是广泛存在的: 推论 2.7.13 ♥ 给定任意光滑映射 f : M → R K 以及光滑子流形 X ⊂ R K，对于几乎所有的 v ∈ R K, “v-平移”映射 fv : M → R K, p 7→ fv(p) = f(p) + v 与 X 横截相交. 证明 定义光滑映射 F: F : M × R K → R K, (p, v) 7→ f(p) + v. 66
2.7 横截性 那么对于任意固定的点 p ∈ M, F(p, ·) 是淹没(事实上是微分同胚). 由此可得 F 是从 M × R K 到 R K 的淹没. 因此根据命题2.7.4, F 与 R K 中的任意光滑子流形 X 横截相 交. 由以上的横截定理可以得到结论. □ 特别地，如果取 f 为嵌入映射，则有 推论 2.7.14. （一般位置引理） ♥ 令 M, N 为 R K 的光滑子流形. 则对于几乎所有 a ∈ R K, M + a 与 N 横截相交. ¶ 同伦横截性定理 通过管状邻域定理，可以证明: 定理 2.7.15. （同伦横截性定理） ♥ 如果 f : M → N 为光滑映射, 并且 Y ⊂ N 为任意光滑子流形. 那么 f 同伦于某 个与 Y 横截相交的光滑映射 g : M → N. 此外，如果 X ⊂ M 是闭子流形并且 f 在 X 上与 Y 横截相交（即 (2.7.1) 对于 f −1 (Y ) ∩ X 中的点成立）, 那么可以选择 g 使得 g|X = f|X. 证明 将 N 嵌入到 R K，并令 πε : Nε → N 为 N 的 ε-邻域，其中 ε : N → R>0 取为光 滑函数 (例如取为 ε 邻域定理中连续函数 ε/2 的光滑 ε/2 逼近). 再取光滑函数 δ : M → R 使得 0 ≤ δ ≤ 1 且 A = δ −1 (0). 定义 F : B × M → N F(s, p) = πε(f(p) + δ(p)ε(f(p))s), 其中 B 是 R K 中的开单位球. 下证 F 与 Y 横截相交：对于任意 (s, p) ∈ F −1 (Y )， 若 p 6∈ X，则由映射 (s, p) 7→ f(p) + δ(p)ε(f(p))s 对于任意固定的 p 都是淹没映射 可知 F 在 (s, p) 处是淹没映射，从而 Im(dF(s,p) ) + TF(s,p)Y = TF(s,p)N. 若 p ∈ X，则由 f 在 X 上与 Y 横截相交可知 Im(dfp) + Tf(p)Y = Tf(p)N. 但此时 由定义可知 F(s, p) = f(p)，故 Im(dF(s,p) ) + TF(s,p)Y = TF(s,p)N. 于是由横截性定理，存在 s ∈ B 使得 g = fs = F(s, ·) 与 Y 横截相交。显然 F(rs, ·) 给 出了 g 与 f = f0 之间的同伦，且当 p ∈ X 时，g(p) = f(p). □ 作为推论，可以证明下述“直观上很显然”的结论： 推论 2.7.16. （余维数 2 不改变连通性） ♥ 设 M 为 m 维连通光滑流形，而 S ⊂ M 是维数 k ≤ m − 2 的光滑子流形. 那么 补集 M \ S 是连通的. 证明 设 x, y ∈ M \ S. 令 γ 为 M 中连接 x 和 y 任意的道路. 根据定理2.6.12，γ 同伦 于连接 x 和 y 的光滑曲线 γ ′ . 再由上述推论, γ ′ 同伦于连接 x 和 y 且与 M 横截相交的 光滑映射 γ ′′ . 通过计算维数, 就得到 Image(γ ′′) ∩ M = ∅，于是 γ ′′ 就是一条连接 x 与 y 的道路。 □ 类似地，还可以证明：如果从光滑流形中挖掉余维数至少为 3 的子流形，其基本群 不改变（留作习题）。 67