《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第5章流形上的微积分 5.1 张量与微分形式.pdf_大学文库

第 5 章流形上的微积分本章研究流形上的微分形式及其积分理论. 在多元积分中学过的涉及曲线、曲面积分的几个基本定理 (Green 公式，Gauss 公式，Stokes 公式)，将被统一推广到任意维数的流形. 不过，因为维数的升高，仅仅使用向量运算 (梯度、散度、旋度) 已经不够了. 为此，需要先引入多重线性代数的几个基本概念：张量、形式及其运算. 5.1 张量与微分形式 5.1.1 作为多重线性映射的张量 ¶ 多重线性映射先给出多重线性映射的概念，它是熟悉的线性映射以及双线性映射的推广：定义 5.1.1. （多重线性映射） ♣ 设 V1, · · · , Vk, W 为有限维线性空间. 若映射 T : V1 × · · · × Vk → W 对每一分量都满足线性性, 即对每一个 i 与任意固定的向量 v1 ∈ V1, · · · , vi−1 ∈ Vi−1, vi+1 ∈ Vi+1, · · · , vk ∈ Vk, 映射 Ti : Vi → V, vi 7→ T(v1, · · · , vi , · · · , vk) 是线性的, 则称 T 是多重线性映射. 注意如果 T1, T2 都是从 V1 × · · · × Vk 到 W 的多重线性映射, 那么它们的线性组合也同样是多重线性映射. 故所有从 V1 × · · · × Vk 到 W 的多重线性映射组成一个向量空间. 下面主要考虑 W = R(或其他数域，而 Vi 都是该数域上的线性空间) 的情形，此时多重线性映射被称为多重线性函数. 若 T 是 V1 × · · · × Vk 上的多重线性函数，而 S 是 Vk+1 × · · · × Vk+l 上的多重线性函数，则可以定义它们的张量积T ⊗ S 为 V1 × · · · × Vk+l 上由下式定义的多重线性函数， (T ⊗ S)(v1, · · · , vk+l) = T(v1, · · · , vk)S(vk+1, · · · , vk+l). 不难验证，多重线性函数的张量积运算是一个双线性映射，并且满足结合律: (T ⊗ S) ⊗ R = T ⊗ (S ⊗ R), 于是可以定义更多的多重线性函数的张量积. 例 5.1.2. 给定对偶空间的元素 f 1 ∈ V ∗ 1 , · · · , f k ∈ V ∗ k , 令 f 1 ⊗ · · · ⊗ f k : V1 × · · · × Vk → R, (v1, · · · , vk) 7→ f 1 (v1)· · · f k (vk). 显然 f 1 ⊗ · · · ⊗ f k 是一个多重线性映射. 注意由定义, 对每个 1 ≤ i ≤ k 与 λ ∈ R, 都有 f 1 ⊗ · · · ⊗ f i−1 ⊗ λfi ⊗ f i+1 ⊗ · · · ⊗ f k = λf 1 ⊗ · · · ⊗ f i−1 ⊗ f i ⊗ f i+1 ⊗ · · · ⊗ f k

5.1 张量与微分形式不出所料的是, 任意多重线性函数是这种特殊多重线性函数的线性组合: 定理 5.1.3. （多重线性函数空间的基） ♥ 设 {f 1 i , · · · , fn(i) i } 是 V ∗ i 的一组基. 那么下面这组多重线性函数 {f i1 1 ⊗ f i2 2 ⊗ · · · ⊗ f ik k | 1 ≤ ij ≤ n(j)} 构成了 V1 × · · · × Vk 上的多重线性函数空间的一组基. 证明对于 V ∗ i 中的基 {f 1 i , · · · , fn(i) i }，记 V 中对应的对偶基为 {e i 1 , · · · , ei n(i) }. 对任意多重指标 I = (i1, · · · , ik), 记 F I = f i1 1 ⊗ f i2 2 ⊗ · · · ⊗ f ik k . 注意到 F I (e 1 j1 , · · · , ek jk ) = δ i1,··· ,ik j1,··· ,jk , 所以这些多重线性函数 F I 都是线性无关的. 进一步, 对 V1 × · · · × Vk 上任意多重线性函数 T, 如果令 TI = T(e 1 i1 , · · · , ek ik ), 并考虑多重线性函数 S = T − X I TIF I , 那么对任意多重指标 J = (j1, · · · , jk) 均有 S(e 1 j1 , · · · , ek jk ) = 0. 由多重线性性可知 S ≡ 0. 换句话说, T = PTIF I 是 F I 的线性组合. □ ¶ 张量下面考虑所有 V1, · · · , Vk 均为某个有限维线性空间 V 或者其对偶空间 V ∗ 的情形，并把 V ∗ × · · · × V ∗ × V × · · · × V 上的所有多重线性函数所组成的空间记为 ⊗ l,kV = V ⊗ · · · ⊗ V | {z } l ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ | {z } k , 其元素称为 V 上的 (l, k)-型张量. 根据定理5.1.3，若 {e1, · · · , em} 为 V 的一组基而 {f 1 , · · · , fm} 为 V ∗ 中的对偶基，则空间 ⊗l,kV 的一组基为 {ei1 ⊗ · · · ⊗ eil ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f jk | 1 ≤ i1, · · · , il , j1, · · · , jl ≤ m}. 于是，dim ⊗l,kV = ml+k . 此外，可以自然定义张量积运算 ⊗ : ⊗ l1,k1 V × ⊗l2,k2 V → ⊗l1+l2,k1+k2 V. 特别地，记 ⊗ l,0V := ⊗ lV, ⊗ 0,kV = ⊗ kV ∗ . 注意根据定义，有 ⊗ 1,0V = V, ⊗ 0,1V = V ∗ . 当 k = 0 时，规定 ⊗0V = R. 注 5.1.4. 对于 (可能是无穷维的) 抽象向量空间而言, 不能将 V 当成 (V ∗ ) ∗，但是依然可以代数地定义张量积如下. 首先定义 V ⊗ W 为商空间 V ⊗ W = F(V × W)/ ∼, 128

5.1 张量与微分形式 5.1.2 线性 p-形式 ¶ 对称与交错张量下面固定一个线性空间 V , 并考虑一个 V 上的 (0, k)-张量空间 ⊗kV ∗ = ⊗0,kV . 令 Sk 为 k 个元素的对称群. 对于任意 σ ∈ Sk 以及 (0, k) 张量 T ∈ ⊗kV ∗，令 T σ (v1, · · · , vk) = T(vσ(1), · · · , vσ(k) ). 则 T σ 也是 V 上的 (0, k)-张量，且对所有 k-张量 T 以及所有 σ, π ∈ Sk, 都有 (T σ ) π = T π◦σ . 换而言之， σ ∈ Sk ⇝ (T ∈ ⊗kV ∗ 7→ T σ ∈ ⊗kV ∗ ) 给出了群 Sk 在 ⊗kV ∗ 上有一个自然的作用. 该群作用下的“不变元素”以及“交错元素”分别被称为对称张量与交错张量：定义 5.1.8. （对称张量与交错张量） ♣ 设 T ∈ ⊗kV ∗ 是一个 V 上的 (0, k)-张量. (1) 如果对 (1, 2, · · · , k) 的任意置换 σ ∈ Sk 都有 T σ = T，即 T(v1, · · · , vk) = T(vσ(1), · · · , vσ(k) ), 则称 T 是对称张量. (2) 如果对 (1, 2, · · · , k) 的任意置换 σ ∈ Sk 都有 T σ = (−1)σT，即 T(v1, · · · , vk) = (−1)σT(vσ(1), · · · , vσ(k) ), 则称 T 是 V 上的交错张量 (或线性 k-形式). 在上述定义中的 (−1)σ 是置换 σ 的符号，即当 σ 是偶置换1 时 (−1)σ = 1, 而当 σ 是奇置换时 (−1)σ = −1. 不难证明引理 5.1.9 ♦ T 是 V 上的交错张量当且仅当对所有 v1, · · · , vk ∈ V 与任意 1 ≤ i 6= j ≤ k, T(v1, · · · , vi , · · · , vj , · · · , vk) = −T(v1, · · · , vj , · · · , vi , · · · , vk), 例 5.1.10. 线性空间 V 上的任意内积是一个✿✿✿✿✿ 正定对称 2-张量. 行列式映射 det : R n × · · · × R n → R, (v1, · · · , vn) 7→ det(v1, · · · , vn) 是 R n 上的一个线性 n-形式. 显然 V 上的所有线性 k-形式组成一个向量空间，记为 Λ kV ∗ . 根据定义，Λ kV ∗ 是 ⊗kV ∗ 的线性子空间. 为简单起见，记 Λ 1V ∗ = ⊗1V ∗ = V ∗，并约定 Λ 0V ∗ = R. 1若一个置换 σ ∈ Sk 可以被表示成偶数个对换的乘积，则称它为偶置换，否则称之为奇置换. 130

5.1 张量与微分形式因为结合律成立，所以可以谈论三个或更多的线性形式的楔积. 例如, 如果 T ∈ Λ kV ∗ , S ∈ Λ lV ∗ 且 R ∈ Λ mV ∗ , 那么可以证明 T ∧ S ∧ R = (k + l + m)! k!l!m! Alt(T ⊗ S ⊗ R). 该结论不难推广到多个线性形式楔积的情形，例如，若 f 1 , · · · , f k ∈ V ∗ , 则 f 1 ∧ · · · ∧ f k = k!Alt(f 1 ⊗ · · · ⊗ f k ). 作为推论, 可以算出更多线性 1 形式的楔积: 命题 5.1.15. （行列式） ♠ 对任意的 f 1 , · · · , f k ∈ V ∗ 与 v1, · · · , vk ∈ V , (f 1 ∧ · · · ∧ f k )(v1, · · · , vk) = det(f i (vj )). 证明直接计算即可： (f 1 ∧ · · · ∧ f k )(v1, · · · , vk) = k! Alt(f 1 ⊗ · · · ⊗ f k )(v1, · · · , vk) = X σ∈Sk (−1)σ f 1 (vσ(1))· · · f k (vσ(k) ) = det((f i (vj ))). □ ¶ 线性 k-形式的空间有了这些准备，下面可以给出空间 Λ kV ∗ 的一组基：定理 5.1.16. （Λ kV ∗ 的基） ♥ 设 {f 1 , · · · , fn} 是 V ∗ 的一组基. 那么 k-形式的集合 {f i1 ∧ f i2 ∧ · · · ∧ f ik | 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n} 形成了 Λ kV ∗ 的一组基. 特别的, dim ΛkV ∗ = n k . 证明再次令 {e1, · · · , en} 为 V 中的对偶基. 对任意满足 i1 < · · · < ik 的多重指标 I, 令 Ω I = f i1 ∧ · · · ∧ f ik . 因为对任意满足 j1 < · · · < jk 的多重指标 J = (j1, · · · , jk), Ω I (ej1 , · · · , ejk ) = det((f ir (ejs ))1≤r,s≤k) = δ i1,··· ,ik j1,··· ,jk . 所以这些 Ω I 都是线性无关的. 进一步, 由于任意的 T ∈ Λ kV ∗ 是一个 k-张量, 可以记 T = P I TIF I , 其中 I = (i1, · · · , ik) 跑遍所有的 1 ≤ i1, · · · , ik ≤ n, 并且 F I 与定理 5.1.3的证明中的相同. 注意 Ω I = k!Alt(F I ). 这里, 指标 I 不需要是递增的, 但注意到“若 I 中的两个指标是相同的，则 Ω I = 0”以及“若 I 不包含相同的指标, 而 I ′ 是 I 的升序重排，则 Ω I = ±Ω I ′”, 可知 T = Alt(T) = X 所有的I TIAlt(F I ) = 1 k! X I 递增Ñ X I ′=I 作为集合 (±TI ′) é Ω I 是 Ω I 的一个线性组合，其中 I 只有递增指标. □ 132

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第5章 流形上的微积分 5.1 张量与微分形式

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