6.2Mayer-Vietoris序列6.2Mayer-Vietoris序列Mayer-Vietoris序列是一种“利用特定子空间的同调群/上同调群计算全空间的同调/上同调群”代数工具.它跟用于计算基本群的Seifert-vanKampen定理非常类似.而且，因为上同调群（是阿贝尔群）比基本群更简单，Mayer-Vietoris序列比vanKampen定理的假设更弱，例如不需要道路连通性，从而更便于使用6.2.1Mayer-Vietoris序列正合列设（A,d)是上链复形，即一个序列→Ak-1dk-AkdkyAk+1dklAk+2其中A是线性空间，dk：Ak→Ak+1是线性映射，且满足Vk.dk0 dk-1=0,显然Im(ds）CKer(dk+1).于是类似于deRham上同调群，可以对任意上链复形（A,d)定义其上同调群H*(A, d) := ker(dk)/Im(dk-1).如果对所有k均有Hk(A,d)=0，即Vk.Im(dk-1) = ker(dk),则称复形（A,d）为正合列根据定义，如果一个正合列以0开始，0AA2A则d1：A1→A?是单射，而如果一个正合列以0结束，... d Ak-1 dk AkdkyAk+1 0,则d：Ak→Ak+1是满射.特别地，如果一个正合列形如0→AA2A30则称之为短正合列，此时di是单射，d2是满射，而且A? ~ ker(d2) Im(d2) ~ Im(di) Im(d2) ~ A* A3关于正合列的另一个有用的事实是：如果一个有限序列0→A→A2→→A-0是正合列，则（证明留作练习）(-1) dim A" = 0.162
6.2 Mayer-Vietoris 序列 6.2 Mayer-Vietoris 序列 Mayer-Vietoris 序列是一种“利用特定子空间的同调群/上同调群计算全空间的同 调/上同调群”代数工具. 它跟用于计算基本群的 Seifert-van Kampen 定理非常类似. 而 且，因为上同调群 (是阿贝尔群) 比基本群更简单，Mayer-Vietoris 序列比 van Kampen 定 理的假设更弱，例如不需要道路连通性，从而更便于使用. 6.2.1 Mayer-Vietoris 序列 ¶ 正合列 设 (A, d) 是上链复形 ，即一个序列 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ · · · −→ A k−1 dk−1 −→ A k dk −→ A k+1 dk+1 −→ A k+2 −→ · · · 其中 Ak 是线性空间, dk : Ak → Ak+1 是线性映射，且满足 dk ◦ dk−1 = 0, ∀k. 显然 Im(dk) ⊂ Ker(dk+1). 于是类似于 de Rham 上同调群，可以对任意上链复形 (A, d) 定义其上同调群 Hk (A, d) := ker(dk)/Im(dk−1). 如果对所有 k 均有 Hk (A, d) = 0，即 Im(dk−1) = ker(dk), ∀k. 则称复形 (A, d) 为正合列. 根据定义，如果一个正合列以 0 开始, 0−→ A 1 d1 −→ A 2 d2 −→ A 3 d3 −→ · · · , 则 d1 : A1 → A2 是单射, 而如果一个正合列以 0 结束, · · · dk−2 −→ A k−1 dk−1 −→ A k dk −→ A k+1 −→ 0, 则 dk : Ak → Ak+1 是满射. 特别地, 如果一个正合列形如 0−→ A 1 d1 −→ A 2 d2 −→ A 3 −→ 0, 则称之为短正合列，此时 d1 是单射, d2 是满射, 而且 A 2 ' ker(d2) ⊕ Im(d2) ' Im(d1) ⊕ Im(d2) ' A 1 ⊕ A 3 . 关于正合列的另一个有用的事实是：如果一个有限序列 0 → A 1 → A 2 → · · · → A k → 0 是正合列, 则（证明留作练习） X i (−1)i dim A i = 0. 162
6.2Mayer-Vietoris序列复形的短正合列设A,B,C是三个上链复形，且对任意k,0→AB→Ck→0是短正合列：则称A.B.C构成复形短正合列：并记作0→A→B→C→0.同调代数中有一个一般原理：给定这样一个复形短正合列，则可以构造上同调群的长正合列.. →Hk-1(C)→Hk(A) → H*(B) →Hk(C) →Hk+1(A)→..下面对于流形，给出“deRham上链复形短正合列”以及它生成的“deRham上同调群长正合列”的具体构造。设M是光滑流形，U,V是M中的开集且满足M=UUV.因为M,U,V和UnV都是光滑流形，所以可以得到四个deRham上链复形2*(M) :0 - 2(M) -2 (M) →22(M) → 23(M) -→ .. 2*(U) :0 → 2(U) → 2'(U) -→ 22(U) → 23(U) → +*2*(V) :0 -→ 2(V) → 21(V) → 22(V) → 23(V) → . :和2*(Unv) :0-→2(Unv) →2'(Unv)-2(Unv) →23(Unv)→*.事实上，这几个上链复形共同构成一个复形短正合列0 → 2*(M) → 2*(U) ④2*(V) → 2*(UnV) → 0为了看到这一点，考虑包含映射11:U-M,12:V→M和包含映射J1:Unv-U, J2:Unv-v.这些包含映射诱导了k次微分形式空间之间的线性映射（从而也诱导了相应的deRham上同调群之间的线性映射）ak : o(M) -→2*(U) 田2h(V), w H (iw,tw)和βk : nk(U)@2*(V) -→2(Un V), (w1,w2) - jiw1 - jw2由定义不难验证(证明留作练习)命题6.2.1.（deRham上链复形的短正合列）设U,V是M中的开集且满足M=UUV，则对任意k,序列0 2*(M) 2h(U) 由 2*(V) B 2*(UnV) 0是一个短正合列.163
6.2 Mayer-Vietoris 序列 ¶ 复形的短正合列 设 A, B, C 是三个上链复形，且对任意 k, 0 → A k → B k → C k → 0 是短正合列，则称 A, B, C 构成复形短正合列，并记作 0 → A → B → C → 0. 同调代数 中有一个一般原理：给定这样一个复形短正合列，则可以构造上同调群的长正合列 · · · → Hk−1 (C) → Hk (A) → Hk (B) → Hk (C) → Hk+1(A) → · · · . 下面对于流形，给出“de Rham 上链复形短正合列”以及它生成的“de Rham 上同调群 长正合列”的具体构造。 设 M 是光滑流形, U, V 是 M 中的开集且满足 M = U ∪ V . 因为 M, U, V 和 U ∩ V 都是光滑流形, 所以可以得到四个 de Rham 上链复形 Ω ∗ (M) : 0 → Ω 0 (M) → Ω 1 (M) → Ω 2 (M) → Ω 3 (M) → · · · moreandspaces Ω ∗ (U) : 0 → Ω 0 (U) → Ω 1 (U) → Ω 2 (U) → Ω 3 (U) → · · · moreandspaces Ω ∗ (V ) : 0 → Ω 0 (V ) → Ω 1 (V ) → Ω 2 (V ) → Ω 3 (V ) → · · · moreandspaces 和 Ω ∗ (U ∩ V ) : 0 → Ω 0 (U ∩ V ) → Ω 1 (U ∩ V ) → Ω 2 (U ∩ V ) → Ω 3 (U ∩ V ) → · · · spaces 事实上，这几个上链复形共同构成一个复形短正合列 0 → Ω ∗ (M) → Ω ∗ (U) ⊕ Ω ∗ (V ) → Ω ∗ (U ∩ V ) → 0. 为了看到这一点，考虑包含映射 ι1 : U ,→ M, ι2 : V ,→ M 和包含映射 1 : U ∩ V ,→ U, 2 : U ∩ V ,→ V. 这些包含映射诱导了 k 次微分形式空间之间的线性映射（从而也诱导了相应的 de Rham 上同 调群之间的线性映射） αk : Ωk (M) → Ω k (U) ⊕ Ω k (V ), ω 7→ (ι ∗ 1ω, ι∗ 2ω) 和 βk : Ωk (U) ⊕ Ω k (V ) → Ω k (U ∩ V ), (ω1, ω2) 7→ ∗ 1ω1 − ∗ 2ω2. 由定义不难验证 (证明留作练习) 命题 6.2.1. (de Rham 上链复形的短正合列) ♠ 设 U, V 是 M 中的开集且满足 M = U ∪ V ，则对任意 k, 序列 0 −→ Ω k (M) αk −→ Ω k (U) ⊕ Ω k (V ) βk −→ Ω k (U ∩ V ) −→ 0 是一个短正合列. 163
6.2Mayer-Vietoris序列从复形的短正合列到长正合列下面详细解释如何由该复形的短正合列构造相应的deRham上同调群长正合列.首先，上面定义的映射k和β诱导了映射QK : Har(M) → Har(U) Har(V), [w] -→ ([iw], [w])和βk : Har(U) Har(V) → Har(UnV), ([wi],[w2]) - [iw1 - jw2].为了得到所需的长正合列，还要定义一个线性映射（称为连接同态）:Har(UnV)-Hat(M)如何定义8呢？要从k形式得到k+1形式，当然要用外微分.下面是其具体构造：取定M上一个关于覆盖[U,V)的单位分解(pU,Pv).对任意wEzk(UnV),令d(pvw)，在U上,n=-d(puw)，在V上并定义8k([w]) := [n].引理6.2.2.（连接同态的良定性）上述连接同态SK是从HR（UnV）到Hk+'（M）的良定的线性映射口证明设wEZk(UnV).需要逐步验证以下多个事实：eywEQ(U)：由pvEC(M）及supp(pv）nUcUnV可得同理puwEa(V)。nEo+(M):因为pu+pv=1，且在UnV上有dw=0，所以在UnV上有d(pvw)=-d(puw),故是M上的良定义的光滑（k+1）次微分形式·nEZk+i(M):由定义，在U和V上都有dn=0.所以nEzk+1(M)。[nl与eu和ex的选取无养：设pu和pv是从属于覆盖{U,V的另一族单位分解并设n是用（pu，pv）所构造出的（k+1）次微分形式.令E = (pv - pv)w.因为pv-pv=pu-pu的支集落在UnV中，所以则ε是M上的光滑次微分形式，而且根据构造，在U和V上（从而在M上）都有-n=dE。[ml与wl中代表元的选取无关：设=w+dc并记所得的（k+1)次形式为：则d(pvdc)=dpv^dc=d(-dpv^)，在U上n-n-d(pud)=-dpu^dc=d(dpu^)，在V上.由于-dpy=dpu且支在UnV中，故若令s=-dpv^S，则s是M上的光滑形式，且 d=-所以 [] =[m]-口·是线性映射：这是显然的.164
6.2 Mayer-Vietoris 序列 ¶ 从复形的短正合列到长正合列 下面详细解释如何由该复形的短正合列构造相应的 de Rham 上同调群长正合列. 首 先，上面定义的映射 αk 和 βk 诱导了映射 αk : Hk dR(M) → Hk dR(U) ⊕ Hk dR(V ), [ω] 7→ ([ι ∗ 1ω], [ι ∗ 2ω]) 和 βk : Hk dR(U) ⊕ Hk dR(V ) → Hk dR(U ∩ V ), ([ω1], [ω2]) 7→ [ ∗ 1ω1 − ∗ 2ω2]. 为了得到所需的长正合列, 还要定义一个线性映射（称为连接同态） δk : Hk dR(U ∩ V ) → H k+1 dR (M). 如何定义 δk 呢？要从 k 形式得到 k + 1 形式，当然要用外微分. 下面是其具体构造: 取 定 M 上一个关于覆盖 {U, V } 的单位分解 {ρU , ρV }. 对任意 ω ∈ Z k (U ∩ V ), 令 η = d(ρV ω), 在U上, −d(ρU ω), 在V 上 并定义 δk([ω]) := [η]. 引理 6.2.2. (连接同态的良定性) ♦ 上述连接同态 δk 是从 Hk dR(U ∩ V ) 到 H k+1 dR (M) 的良定的线性映射. 证明 设 ω ∈ Z k (U ∩ V ). 需要逐步验证以下多个事实： ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ρV ω ∈ Ω k (U): 由 ρV ∈ C∞(M) 及 supp(ρV )∩U ⊂ U∩V 可得. 同理 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ρU ω ∈ Ω k (V ). ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ η ∈ Ω k+1(M): 因为 ρU + ρV = 1，且在 U ∩ V 上有 dω = 0, 所以在 U ∩ V 上有 d(ρV ω) = −d(ρU ω), 故 η 是 M 上的良定义的光滑 (k + 1) 次微分形式. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ η ∈ Z k+1(M): 由定义，在 U 和 V 上都有 dη = 0. 所以 η ∈ Z k+1(M). ✿✿ [η]✿✿✿✿✿✿ 与ρU ✿✿✿✿✿ 和ρV✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 的选取无关: 设 ρ˜U 和 ρ˜V 是从属于覆盖 {U, V } 的另一族单位分解, 并设 η˜ 是用 (˜ρU , ρ˜V ) 所构造出的 (k + 1) 次微分形式. 令 ξ = (˜ρV − ρV )ω. 因为 ρ˜V − ρV = ρU − ρ˜U 的支集落在 U ∩ V 中，所以则 ξ 是 M 上的光滑 k 次微 分形式, 而且根据构造，在 U 和 V 上 (从而在 M 上) 都有 η˜ − η = dξ. ✿✿ [η]✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 与[ω] 中代表元的选取无关: 设 ω˜ = ω + dζ 并记所得的 (k + 1) 次形式为 η˜. 则 η˜ − η = d(ρV dζ) = dρV ∧ dζ = d(−dρV ∧ ζ), 在U上 −d(ρU dζ) = −dρU ∧ dζ = d(dρU ∧ ζ), 在V 上. 由于 −dρV = dρU 且支在 U ∩ V 中，故若令 ξ = −dρV ∧ ζ，则 ξ 是 M 上的光滑 k 形式，且 dξ = ˜η − η. 所以 [˜η] = [η]. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ δk 是线性映射：这是显然的. □ 164
6.2Mayer-Vietoris序列注6.2.3.【映射的定义解密】如何从UnV上的k形式w出发，得到M上的k+1形式？当然要用外微分，但不能直接用dw，因为w在a(UnV）附近可能不连续从而根本不是M上的光滑形式（即使w支在UnV内部，使得w可以零扩张为M上的光滑k形式，也不能用dw，因为后者的上同调类总是0).事实上，上述看似从天而降的8k，其构造来自所谓的“图表追踪法”出发点当然是图表0(M) (UnV)?0→2(U)④2*(V)dlalal→ 2k+1(M) αk+→ 2k+1(U) @2k+1(V) B0k+1(UnV) -→00从2(UnV）中的元素w出发，如何得到k+1(M）中的元素？从图表上看，很自然的备选对象(形式上）是（αk+1)-1od（βk)-1(w)：那么，什么是（βk)-1(w)？（注意答案不唯-)需要找到wiE2*(U)以及w2Ek(V)使得在UnV中有w=jiwi-jw2.把一个拆成两个，自然想到用从属于U和V的单位分解pU，PV.但是，PUw依然不是U上的光滑形式，因为它在a(UnV)nU附近可能不连续，好在天无绝人之路：因为直观上看，a(UnV)nU是aV的一部分，所以puw是V上的光滑k形式！于是可取(Bk)-1(w）为（pvw，一Pw)，从而d(Bk)-1(w）为(d(pvw)，-d(puw))最后，为了求出所需的(αk+1)-1odo（Bu)-1(w)，还需要(d(pVw)，-d(pUw))落在αk+1的像集里，这就需要d(pvw）与-d(puw)在UnV上相同，从而需要dw=O，即w是闭形式！Mayer-Vietoris定理下面给出计算deRham上同调群的主要工具之一：Mayer-Vietoris序列定理6.2.4.(Mayer-Vietoris序列）设 U,V 是 M 中的开集且满足 M =UUV,则有长正合列.S) Han(M) , Han(U)OHar(V) B, Hin(UnV) Ht(M) a+...证明需要证明(1) Im(Qk) = ker(β),(2) Im(βk) = ker(%),(3) Im(8) = ker(αk+1).这一共有6个包含关系.下面将证明其中一个，其余留作练习.证明Im(Bk)Cker(8k)设[w) eIm(βk)，则存在wiEZk(U),w2EZk(V)使得w = βr(w1, w2) = Jiw1 - Jw2 E2k(U n V).1该定理首先是由W.Mayer在1929年给出了一个特殊情形，后来L.Vietoris在1930年给出了一般情形最后由S.Eilenberg和N.Steenrod在1952年引人正合列的语言并表述成现代形式Mayer和Vietoris都是奥地利数学家，Mayer从1930年左右起成为爱因斯坦的数学助手，被昵称为“爱因斯坦计算器”，Vietoris则是著名的超级人瑞，他在2002年去世，时年110岁零309天；而且他的数学生命也长青不衰：在1994年他103岁那年还发表了有关三角和的（独立作者）论文！165
6.2 Mayer-Vietoris 序列 注 6.2.3. 【映射 δk 的定义解密】如何从 U ∩ V 上的 k 形式 ω 出发，得到 M 上的 k + 1 形式？当然要用外微分，但不能直接用 dω，因为 ω 在 ∂(U ∩ V ) 附近可能不连续， 从而根本不是 M 上的光滑形式 (即使 ω 支在 U ∩ V 内部，使得 ω 可以零扩张为 M 上的光滑 k 形 式，也不能用 dω，因为后者的上同调类总是 0). 事实上，上述看似从天而降的 δk，其构造来自 所谓的“图表追踪法”. 出发点当然是图表 0 Ω k (M) Ω k (U) ⊕ Ω k (V ) Ω k (U ∩ V ) 0 0 Ω k+1(M) Ω k+1(U) ⊕ Ω k+1(V ) Ω k+1(U ∩ V ) 0. αk d βk d d αk+1 βk+1 从 Ω k (U ∩ V ) 中的元素 ω 出发，如何得到 Ω k+1(M) 中的元素？从图表上看，很自然的 备选对象 (形式上) 是 (αk+1) −1 ◦ d ◦ (βk) −1 (ω). 那么，什么是 (βk) −1 (ω)？(注意答案不唯 一.) 需要找到 ω1 ∈ Ω k (U) 以及 ω2 ∈ Ω k (V ) 使得在 U ∩ V 中有 ω = j ∗ 1ω1 − j ∗ 2ω2. 把 一个拆成两个，自然想到用从属于 U 和 V 的单位分解 ρU , ρV . 但是，ρU ω 依然不是 U 上的光滑形式，因为它在 ∂(U ∩ V ) ∩ U 附近可能不连续. 好在天无绝人之路：因为直 观上看，∂(U ∩ V ) ∩ U 是 ∂V 的一部分，所以 ρU ω 是 V 上的光滑 k 形式！于是可取 (βk) −1 (ω) 为 (ρV ω, −ρU ω)，从而 d(βk) −1 (ω) 为 (d(ρV ω), −d(ρU ω)). 最后，为了求出所 需的 (αk+1) −1 ◦ d ◦ (βk) −1 (ω)，还需要 (d(ρV ω), −d(ρU ω)) 落在 αk+1 的像集里，这就需 要 d(ρV ω) 与 −d(ρU ω) 在 U ∩ V 上相同，从而需要 dω = 0，即 ω 是闭形式！ ¶ Mayer-Vietoris 定理 下面给出计算 de Rham 上同调群的主要工具之一：Mayer-Vietoris 序列1 . 定理 6.2.4. (Mayer-Vietoris 序列) ♥ 设 U, V 是 M 中的开集且满足 M = U ∪ V , 则有长正合列 · · · δk−1 −→ Hk dR(M) αk −→ Hk dR(U)⊕Hk dR(V ) βk −→ Hk dR(U∩V ) δk −→ H k+1 dR (M) αk+1 −→ · · · 证明 需要证明 (1) Im(αk) = ker(βk), (2) Im(βk) = ker(δk), (3) Im(δk) = ker(αk+1). 这一共有 6 个包含关系. 下面将证明其中一个，其余留作练习. 证明 Im(βk) ⊂ ker(δk) : 设 [ω] ∈ Im(βk)，则存在 ω1 ∈ Z k (U), ω2 ∈ Z k (V ) 使得 ω = βk(ω1, ω2) = ∗ 1ω1 − ∗ 2ω2 ∈ Ω k (U ∩ V ). 1该定理首先是由 W. Mayer 在 1929 年给出了一个特殊情形，后来 L. Vietoris 在 1930 年给出了一般情形， 最后由 S. Eilenberg 和 N. Steenrod 在 1952 年引入正合列的语言并表述成现代形式. Mayer 和 Vietoris 都 是奥地利数学家，Mayer 从 1930 年左右起成为爱因斯坦的数学助手，被昵称为“爱因斯坦计算器”. Vietoris 则是著名的✿✿✿✿✿✿✿ 超级人瑞，他在 2002 年去世，时年 110 岁零 309 天；而且他的数学生命也长青不衰：在 1994 年他 103 岁那年还发表了有关三角和的 (独立作者) 论文！ 165
6.2Mayer-Vietoris序列于是([w])=[n],其中d(pvw)=d(pvw-wi)，在U上,-d(puw)=-d(puw+w2)，在V上.注意到在UnV上，pvw-wi=puw-2w2所以如果令在U上，pyw-wi,在V上.puw-w2，口则是M上的光滑次微分形式，且n=dE,因此[m]=0.注6.2.5.与vanKampen定理的情况类似，一般而言知道所有Hhr(U)，Har(V）和HaR(UnV）还不足以确定Har(M).为了确定HaR(M)，还需要知道连接同态.6.2.2Mayer-Vietoris序列的应用应用1:球面的deRham上同调群定理6.2.6.（球面的deRham上同调群）R, k=0,n,对于 n≥ 1, Hir(Sn)~0, 1≤k≤n-1.O证明上一节已经证明了n=1的情形.下面证明(1) 对于 n≥2, Hir(Sn)=0(2)对于n≥2,k≥2,Har(Sn)~Hk-(Sn-1)显然这两个结论可以推出欲证的定理.对于n≥2,令U = sn_{(0. ...,0, -1)) 和 V= sn -{(0, ...,0,1))则.M=UUV,。U和微分同胚于Rn，。Unv同伦等价于sn-1为了证明(1)，观察Mayer-Vietoris序列的开头部分0→ Har(Sn) → HAR(U)HAr(V)→ Har(UnV) -→ HI(Sn) → HdR(U)Har(V),将U,V,UnV的相应deRham上同调群带入，得0 R R2 B R Har(S") -0.因为o是单射，dim ker(βo) = dim Im(Qo) = 1.166
6.2 Mayer-Vietoris 序列 于是 δk([ω]) = [η], 其中 η = −d(ρV ω) = −d(ρV ω − ω1), 在U上, −d(ρU ω) = −d(ρU ω + ω2), 在V 上. 注意到在 U ∩ V 上, ρV ω − ∗ 1ω1 = −ρU ω − ∗ 2ω2. 所以如果令 ξ = ρV ω − ω1, 在U上, −ρU ω − ω2, 在V 上. 则 ξ 是 M 上的光滑 k 次微分形式, 且 η = dξ, 因此 [η] = 0. □ 注 6.2.5. 与 van Kampen 定理的情况类似，一般而言知道所有 Hk dR(U), Hk dR(V ) 和 Hk dR(U ∩ V ) 还不足以确定 Hk dR(M). 为了确定 Hk dR(M)，还需要知道连接同态. 6.2.2 Mayer-Vietoris 序列的应用 ¶ 应用 1: 球面的 de Rham 上同调群 定理 6.2.6. (球面的 de Rham 上同调群) ♥ 对于 n ≥ 1, Hk dR(S n ) ' R, k = 0, n, 0, 1 ≤ k ≤ n − 1. . 证明 上一节已经证明了 n = 1 的情形. 下面证明 (1) 对于 n ≥ 2, H1 dR(S n ) = 0. (2) 对于 n ≥ 2, k ≥ 2, Hk dR(S n ) ' H k−1 dR (S n−1 ). 显然这两个结论可以推出欲证的定理. 对于 n ≥ 2, 令 U = S n − {(0, · · · , 0, −1)} 和 V = S n − {(0, · · · , 0, 1)}. 则 M = U ∪ V , U 和 V 微分同胚于 R n , U ∩ V 同伦等价于 S n−1 . 为了证明 (1), 观察 Mayer-Vietoris 序列的开头部分 0 → H0 dR(S n ) → H0 dR(U)⊕H0 dR(V ) → H0 dR(U∩V ) → H1 (S n ) → H1 dR(U)⊕H1 dR(V ), 将 U, V, U ∩ V 的相应 de Rham 上同调群带入，得 0 −→ R α0 −→ R 2 β0 −→ R δ0 −→ H1 dR(S n ) → 0. 因为 α0 是单射, dim ker(β0) = dim Im(α0) = 1. 166
6.2Mayer-Vietoris序列所以dim Im(Bo) = dim R2- dim ker(βo) = 1,即βo是满射.于是ker(8o)=R，即8o=0.但由正合性，0o是满射。因此Hdr(Sn)=0.为了证明（2)，考察Mayer-Vietoris序列的下面这一部分HR'(U)Har(V) HaR'(UnV) - Har(Sn) Har(U) Har(V),由UnV~Sn-1以及同伦不变性，得 B= Har'(Sn-1) = Hir(S") 0.口由正合性，映射8k-1既是单射也是满射，因此是线性同构这就证明了（2)作为推论，可得欧氏空间维数拓扑不变性的简单证明：推论6.2.7.（欧氏空间维数的拓扑不变性）如果mn，则Rn不同胚于Rm.福证明如果f:Rn→Rm是同胚，则f:Rn|[0}→Rm|(f(O))是同胚.所以Har(Rn \(O)) = HaR(Rm \(f(O)),Vk但Rn|[0]同伦等价于sn-1,而Rm|(f(0))同伦等价于Sm-1.所以Har(Sm-1)= Har(Sn-1),Vk.口这与m≠n的假设矛盾.应用2:对于许多光滑流形有dimHar（M）0) 及 Sn- =(rl,.-,an+1) [r<0)构成Sn的一个好覆盖.应用黎曼几何（更准确地说，使用所谓的测地凸邻域），可以证明对于任意光滑流形M的任意开覆盖，都存在一个好覆盖作为其加细.特别地，如果M是紧流形，则M有一个“由有限多个集合构成的好覆盖”，这样的覆盖称为有限好覆盖显然，好覆盖的任意子覆盖仍然是好覆盖167
6.2 Mayer-Vietoris 序列 所以 dim Im(β0) = dim R 2 − dim ker(β0) = 1, 即 β0 是满射. 于是 ker(δ0) = R, 即 δ0 ≡ 0. 但由正合性, δ0 是满射. 因此 H1 dR(S n ) = 0. 为了证明 (2), 考察 Mayer-Vietoris 序列的下面这一部分 H k−1 dR (U) ⊕ H k−1 dR (V ) βk−1 −→ H k−1 dR (U ∩ V ) δk−1 −→ Hk dR(S n ) αk −→ Hk dR(U) ⊕ Hk dR(V ), 由 U ∩ V ∼ S n−1 以及同伦不变性，得 0 βk−1 −→ H k−1 dR (S n−1 ) δk−1 −→ Hk dR(S n ) αk −→ 0. 由正合性, 映射 δk−1 既是单射也是满射, 因此是线性同构. 这就证明了 (2). □ 作为推论, 可得欧氏空间维数拓扑不变性的简单证明: 推论 6.2.7. (欧氏空间维数的拓扑不变性) ♥ 如果 m 6= n, 则 R n 不同胚于 R m. 证明 如果 f : R n → R m 是同胚, 则 f : R n \ {0} → R m \ {f(0)} 是同胚. 所以 Hk dR(R n \ {0}) = Hk dR(R m \ {f(0)}, ∀k. 但 R n \ {0} 同伦等价于 S n−1 , 而 R m \ {f(0)} 同伦等价于 S m−1 . 所以 Hk dR(S m−1 ) = Hk dR(S n−1 ), ∀k. 这与 m 6= n 的假设矛盾. □ ¶ 应用 2: 对于许多光滑流形有 dim Hk dR(M) 0} 及 S n i,− = {(x 1 , · · · , xn+1) | x i < 0} 构成 S n 的一个好覆盖. 应用黎曼几何 (更准确地说，使用所谓的测地凸邻域), 可以证明对于任意光滑流形 M 的任 意开覆盖，都存在一个好覆盖作为其加细. 特别地, 如果 M 是紧流形，则 M 有一个“由 有限多个集合构成的好覆盖”. 这样的覆盖称为有限好覆盖. 显然，好覆盖的任意子覆盖仍然是好覆盖. 167
6.2Mayer-Vietoris序列定理6.2.10（deRham上同调群的有限性）如果M上存在有限好覆盖，那么Hir(M）作为线性空间是有限维的0证明对M的有限好覆盖中的集合个数进行归纳.如果M有一个仅包含一个开集的好覆盖，则这个开集就是M自身，从而M微分同胚于Rn，此时定理结论自动成立下面假设定理对于“存在包含l-1个开集的好覆盖”的任意流形均成立.设[U1，·，Ui}是流形M的一个好覆盖．记U-UiU..UUi-1及V-Ur.则Unv有一个有限好覆盖{UinUi..，Ui-inUi).由归纳假设，U,V和Unv的所有deRham上同调群都是有限维的．考虑Mayer-Vertoris序列一H (UnV) = HR(M) HAr(U) H(V) -由dim Im(α) ≤ dim Har(U) Har(V)< 00和dim ker(αk) = dim Im(0k-1) ≤ dim Hk-'(U n V)< 00口可知dimHar(M)<o0，从而完成了证明.作为推论，立即可以得到推论6.2.11.（紧流形具有有限维deRham上同调群）若M是紧流形或同伦等价于一个紧流形，则对于所有k有dimHar(M)<0应用3Kunneth公式最后给出计算乘积流形deRham上同调群Kunneth公式及其证明概要：定理6.2.12.（Kummeth公式）设流形M 和 N存在有限好覆盖.则对于任意0≤k≤dimM +dimN,有Har(M × N) ~ Har(M) Har'(N).i=03证明概要设元M：M×N-→M和πN：M×N是标准投影映射可以验证映射重:2*(M)2*(N)-→2*(M×N)，W1w2MWiw2诱导了“全deRham上同调群”之间的映射:Har(M) Har(N) →Har(M × N), [wi] [w2] →[πMW1 ^πNw2],下面证明亚事实上是线性同构，为此对M的好覆盖所包含的集合个数1进行归纳若l=1，即M微分同胚于Rn，则由Rn×N同伦等价于N可知Kunneth公式成立.现假设Kunneth公式当“流形存在由不超过1-1个开集组成的好覆盖”时成立.设168
6.2 Mayer-Vietoris 序列 定理 6.2.10. (de Rham 上同调群的有限性) ♥ 如果 M 上存在有限好覆盖，那么 Hk dR(M) 作为线性空间是有限维的. 证明 对 M 的有限好覆盖中的集合个数进行归纳. 如果 M 有一个仅包含一个开集的好 覆盖，则这个开集就是 M 自身, 从而 M 微分同胚于 R n，此时定理结论自动成立. 下面假设定理对于“存在包含 l−1 个开集的好覆盖”的任意流形均成立. 设 {U1, · · · , Ul} 是流形 M 的一个好覆盖. 记 U = U1 ∪ · · · ∪ Ul−1 及 V = Ul . 则 U ∩ V 有一个有限好覆盖 {U1 ∩ Ul , · · · , Ul−1 ∩ Ul}. 由归纳假设, U, V 和 U ∩ V 的所 有 de Rham 上同调群都是有限维的. 考虑 Mayer-Vertoris 序列 · · · −→ H k−1 dR (U ∩ V ) δk−1 −→ Hk dR(M) αk −→ Hk dR(U) ⊕ Hk dR(V ) −→ · · · . 由 dim Im(αk) ≤ dim Hk dR(U) ⊕ Hk dR(V ) < ∞ 和 dim ker(αk) = dim Im(δk−1) ≤ dim H k−1 dR (U ∩ V ) < ∞ 可知 dim Hk dR(M) < ∞，从而完成了证明. □ 作为推论，立即可以得到 推论 6.2.11. (紧流形具有有限维 de Rham 上同调群) ♥ 若 M 是紧流形或同伦等价于一个紧流形，则对于所有 k 有 dim Hk dR(M) < ∞. ¶ 应用 3：Kunneth 公式 最后给出计算乘积流形 de Rham 上同调群 Kunneth 公式及其证明概要： 定理 6.2.12. (Kunneth 公式) ♥ 设流形 M 和 N 存在有限好覆盖. 则对于任意 0 ≤ k ≤ dim M + dim N, 有 Hk dR(M × N) ' M k i=0 Hi dR(M) ⊗ H k−i dR (N). 证明概要 设 πM : M × N → M 和 πN : M × N 是标准投影映射. 可以验证映射 Ψ : Ω∗ (M) ⊗ Ω ∗ (N) → Ω ∗ (M × N), ω1 ⊗ ω2 7→ π ∗ Mω1 ∧ π ∗ N ω2. 诱导了“全 de Rham 上同调群”之间的映射 Ψ : H∗ dR(M) ⊗ H∗ dR(N) → H∗ dR(M × N), [ω1] ⊗ [ω2] 7→ [π ∗ Mω1 ∧ π ∗ N ω2]. 下面证明 Ψ 事实上是线性同构. 为此对 M 的好覆盖所包含的集合个数 l 进行归纳. 若 l = 1, 即 M 微分同胚于 R n , 则由 R n × N 同伦等价于 N 可知 Kunneth 公式成立. 现假设 Kunneth 公式当“流形存在由不超过 l −1 个开集组成的好覆盖”时成立. 设 168
6.2Mayer-Vietoris序列M=UiU..UUi是一个好覆盖，并令U=UiU...Un-1和V=Un.为简单起见，记H*(M,N) := 6①Har(M)H-i(N)-0考虑图表H*(M,N) -→H(U,N)H(V,N)→H(UnV,N)→Hk+1(M,N)虹亚HAr(M×N)HAR(UxN)OHR(VxN)HAr(UnV)xN)Hat'(M×N)其中水平的映射α,β,是由上面定义的Qk,βkok以明显的方式诱导得到的：对于这个图表，可以证明。应用Mayer-Vietoris序列，可以证明图中水平的两行是正合列。。此外，可以证明该图是交换的，即有亚oα=αo亚，亚oβ=βo亚且亚o=o亚【前两个等式很容易证明，而最后一个等式的证明要复杂得多】]。由归纳假设，第二个和第三个亚是线性同构，口最后，由同调代数中著名的“五引理”即可得到要证的结论。引理6.2.13.（五引理）假设有以下交换图VirVV3?V?V724325Wi→ W2+W3→WA→ WsB1β2B3B4其中V和W，都是线性空间，每个映射都是线性映射.若水平的两行是正合列，垂直的映射1,2,4，%5是线性同构，则映射3也是线性同构口口证明这是“图表追踪”的一个标准练习作为Kunneth公式的一个简单推论，可以计算(R，k=0或2n,Har(s" × S")~/ R2, = n,0，其他k.类似地，可以对于m≠n计算Hhr(Sm×Sn）此外，还可以归纳地计算出n维环面T"的deRham上同调群（留作习题）命题6.2.14.（高维环面的deRham上同调群）对于n维环面Tn=sl×...xSlHaR(Tn) ~ R().169
6.2 Mayer-Vietoris 序列 M = U1 ∪ · · · ∪ Ul 是一个好覆盖，并令 U = U1 ∪ · · ·Un−1 和 V = Un. 为简单起见，记 H ‹k (M, N) := M k i=0 Hi dR(M) ⊗ H k−i dR (N). 考虑图表 H ‹k (M, N) H ‹k (U, N)⊕H ‹k (V, N) H ‹k (U∩V, N) H ‹k+1(M, N) Hk dR(M ×N) Hk dR(U×N)⊕Hk dR(V×N) Hk dR((U∩V )×N) H k+1 dR (M ×N) Ψ α Ψ β Ψ δ Ψ α β δ 其中水平的映射 α, β, δ 是由上面定义的 αk, βk, δk 以明显的方式诱导得到的. 对于这个 图表，可以证明 应用 Mayer-Vietoris 序列，可以证明图中水平的两行是正合列. 此外，可以证明该图是交换的，即有 Ψ ◦ α = α ◦ Ψ, Ψ ◦ β = β ◦ Ψ 且 Ψ ◦ δ = δ ◦ Ψ. [前两个等式很容易证明，而最后一个等式的证明要复杂得多.] 由归纳假设，第二个和第三个 Ψ 是线性同构. 最后，由同调代数中著名的“五引理”即可得到要证的结论. □ 引理 6.2.13. (五引理) ♦ 假设有以下交换图 V1 V2 V3 V4 V5 W1 W2 W3 W4 W5 α1 γ1 α2 γ2 α3 γ3 α4 γ4 γ5 β1 β2 β3 β4 其中 Vi 和 Wi 都是线性空间，每个映射都是线性映射. 若水平的两行是正合列，垂 直的映射 γ1, γ2, γ4, γ5 是线性同构, 则映射 γ3 也是线性同构. 证明 这是“图表追踪”的一个标准练习. □ 作为 Kunneth 公式的一个简单推论，可以计算 Hk dR(S n × S n ) ' R, k = 0 或2n, R 2 , k = n, 0, 其他k. 类似地，可以对于 m 6= n 计算 Hk dR(S m × S n ) . 此外，还可以归纳地计算出 n 维环面 T n 的 de Rham 上同调群 (留作习题). 命题 6.2.14. (高维环面的 de Rham 上同调群) ♠ 对于 n 维环面 T n = S 1 × · · · × S 1 , Hk dR(T n ) ' R( n k ) . 169