《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第6章 De Rham理论 6.1 de Rham上同调群.pdf_大学文库

第 6 章 De Rham 理论本章利用微分形式的分析手段研究流形的拓扑性质. 我们知道，同调群是代数拓扑中用以刻画空间拓扑性质的重要拓扑不变量. 在代数拓扑中研究同调群的主要手段是 “对空间进行剖分”以及“求边缘”. 另一方面，“在流形的区域上对最高阶微分形式进行积分”这一操作事实上给出了空间区域跟微分形式之间的一种对偶关系，而根据 Stokes 公式，“对空间区域求边缘”的运算跟“对微分形式求外微分”的运算是对偶的. 于是在光滑流形上，可以不必通过对空间区域求边缘的几何✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ /组合方式研究同调群，而是通过对微分形式求外微分的分析方式研究其对偶即上同调群 ✿✿✿✿✿✿✿✿ . 6.1 de Rham 上同调群 6.1.1 de Rham 上同调群 ¶ 闭微分形式和恰当微分形式正如在同调论中“一个区域是否具有非空边缘”以及“一个区域是否是另一个区域的边缘”是研究同调群时的基本出发点一样，对于由微分形式定义的 de Rham 上同调群，“一个微分形式是否具有非零外微分”以及“一个微分形式是否是另一个微分形式的外微分”也是最基本的出发点：定义 6.1.1. (闭与恰当形式) ♣ 设 M 是光滑流形, ω ∈ Ω k (M) 是 M 上的 k 次光滑微分形式. (1) 若 dω = 0，则称 ω 是闭微分形式. (2) 若存在 η ∈ Ω k−1 (M) 使得 ω = dη, 则称 ω 是恰当微分形式. M 上全体 k 次闭微分形式记为 Z k (M)，全体 k 次恰当微分形式记为 Bk (M). 注 6.1.2. 设 dim M = m. 则根据定义，当 k > m 时 Bk (M) = Z k (M) = {0}. 当 k = 0 时 B0 (M) = {0}, 而 Z 0 (M) = {f ∈ C ∞(M) | df = 0} ' R K. 其中 K 是 M 的连通分支的数量. 当 k = m 时 Z m(M) = Ωm(M). 例 6.1.3. 考虑 M = R. 则显然 B 0 (R) = {0}, Z0 (R) ' R 以及 Ω 0 (R) = C ∞(R). 由于对 R 上的任意 1 形式 g(t)dt, 有 ω = g(t)dt ⇐⇒ ω = dG, 其中G(t) = ˆ t 0 g(τ )dτ. 所以 Ω 1 (R) = B1 (R) = Z 1 (R)

6.1 de Rham 上同调群 ¶ 例子：S 1 的 de Rham 上同调群下面计算 S 1 的 de Rham 上同调群 Hk dR(S 1 ). 根据注6.1.6，H0 dR(S 1 ) ' R，且 k ≥ 2 时 Hk dR(S 1 ) = 0，所以只需计算 H1 dR(S 1 ). 注意到在 S 1 = R/2πZ 上, 虽然“角度”变量 θ 不是一个整体定义的光滑函数, 但由 d 在 R 上的平移不变性可知微分形式 dθ 是 S 1 上整体定义的处处非零的 1 次微分形式 (因此 S 1 上的 1 次微分形式 dθ 是闭形式但不是恰当形式. 此外，dθ 是 S 1 上整体定义的光滑向量场 ∂θ 的对偶). 故 Z 1 (S 1 ) = Ω1 (S 1 ) = {f dθ | f ∈ C ∞(S 1 )} ' {f dθ | f ∈ C ∞(R), f是周期为2π的周期函数}. 另一方面，根据微积分基本定理， ω 是 1 次恰当微分形式 ⇐⇒ω = df, 其中 f 是周期函数，周期为 2π ⇐⇒ω = g(θ)dθ, 其中 g 是周期为 2π 的周期函数, 且 ˆ 2π 0 g(θ)dθ = 0. 所以 B 1 (S 1 ) = {gdθ | g ∈ C ∞(R), g 是周期为 2π 的周期函数, 且 ˆ 2π 0 g(θ)dθ = 0}. 考虑线性映射 ϕ : H1 dR(S 1 ) → R, [f dθ] 7→ ˆ 2π 0 f(θ)dθ. 下证它是线性同构，从而 H1 dR(S 1 ) ' R： ϕ 是良定的: [f1dθ] = [f dθ] =⇒ f1dθ − f dθ ∈ B 1 (S 1 ) =⇒ ˆ 2π 0 f1(θ)dθ = ˆ 2π 0 f(θ)dθ. ϕ 是单射: [f1dθ] 6= [f dθ] =⇒ f1dθ − f dθ 6∈ B 1 (S 1 ) =⇒ ˆ 2π 0 f1(θ)dθ 6= ˆ 2π 0 f(θ)dθ. ϕ 是满射: 对任意 c ∈ R, 令 f(θ) := c 2π , 则 f dθ ∈ Z 1 (S 1 )，且 ϕ([f dθ]) = ˆ 2π 0 f(θ)dθ = c. 故 S 1 的所有 de Rham 上同调群为 Hk dR(S 1 ) '    R, k = 0, 1, {0}, k > 1. 特别地，χ(S 1 ) = 0. ¶ de Rham 上同调的函子性根据定义，对于任意光滑流形 M，其 k 阶 de Rham 上同调群 Hk dR(M) 是一个群 (事实上是线性空间). 事实上，Hk dR 可以被视为是“所有光滑流形的范畴”到“所有群 (或所有线性空间) 的范畴”的一个反变函子 (见第一章习题). 为此，对于每个光滑映射 (光滑流形范 157

6.1 de Rham 上同调群定义 6.1.11. （上同调类的上积） ♣ 定义上同调类 [ω] ∈ Hk dR(M) 和 [η] ∈ Hl dR(M) 的上积为 [ω] ∪ [η] := [ω ∧ η] ∈ H k+l dR (M). 注 6.1.12. 上积给出了 H∗ dR(M) = Mm k=0 Hk dR(M) 上的一个分次环结构，因而 ✿✿✿✿✿✿ (H∗ dR(M), +, ∪) 被称为 de Rham 上同调环. 对于任何光滑映射 ϕ : M → N，由 ϕ ∗ (α ∧ β) = ϕ ∗α ∧ ϕ ∗β 可知拉回映射 ϕ ∗ : H∗ dR(N) → H∗ dR(M) 实际上是环同态，且满足同样的函子性. 换而言之，H∗ dR 是从光滑流形范畴到分次环范畴的一个反变函子. 特别地，如果 ϕ 是微分同胚，则 ϕ ∗ : H∗ dR(N) → H∗ dR(M) 是环同构. 6.1.2 同伦不变性 ¶ de Rham 上同调的同伦不变性接下来证明一个更强的结果：如果两个流形是同伦等价的，那么它们有相同的 de Rham 上同调群. 首先回忆同伦等价的概念：对于拓扑空间 M 和 N，如果存在连续映射 ϕ : M → N 和 ψ : N → M 使得 ϕ ◦ ψ 与 IdN 同伦，ψ ◦ ϕ 与 IdM 同伦，则称 M 和 N 同伦等价. 同伦等价是比同胚或微分同胚弱得多的等价关系，同伦等价的空间可以具有不同的维数，例如 S m−1 同伦等价于 R m \ {0}，而 R m 中任意星形区域同伦等价于单点集 {x0}. 定理 6.1.13. (de Rham 上同调群的同伦不变性) ♥ 设 M, N 为光滑流形. 如果 M 和 N 同伦等价，则 Hk dR(M) ' Hk dR(N), ∀k. 显然，同伦不变性蕴含了推论 6.1.14. (de Rham 上同调群的拓扑不变性) ♥ 如果 M 和 N 同胚，则 Hk dR(M) ' Hk dR(N) 对于所有 k 成立. 注 6.1.15. 虽然在定义 Hk dR(M) 时需要使用 M 上的光滑结构 (例如定义算子 d 和以及空间 Ω k (M) 等)，但是由拓扑不变性可知 Hk dR(M) 只依赖于 M 的拓扑结构，而与其光滑结构无关！事实上，对于任意拓扑空间 X，可以定义它的奇异上同调群 Hk sing(X, R)，它只依赖于 X 的拓扑（事实上只依赖于 X 的同伦类). 著名的 de Rham 定理断言定理 6.1.16. (de Rham 定理) ♥ Hk dR(M) = Hk sing(M, R), ∀k. 该定理的证明参见??，第 5.5 节. 159