《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章光滑向量场 3.4 分布.pdf_大学文库

3.4分布注意若N1.N都是V的过点p的积分流形，则NiUN2也是V的过点p的积分流形。下面这个引理给出了可积分布中向量场的积分曲线跟该分布的积分流形的关系：引理3.4.3.（积分曲线与积分流形）设V是可积分布，X是属于V的光滑向量场。(1)对于V的任意积分流形N，存在N上的光滑向量场X使得dup(Xp)=Xp对于任意pEN成立：(2)对于任意pEN，设p为X的经过点p的积分曲线，则充分小时p((-e,e)位于V的经过点p的积分流形上A证明假设：N→M是V的积分流形且pEN根据积分流形的定义，对于任意pEN=(N)，存在XET,N使得X=dup(X,)取N的坐标邻域(,U,V)使得(U)是M的嵌入子流形，且取M上相容坐标卡使得U由rk+1=..=am=0给出。则向量场X在相应的N上的坐标向量场i，.·，Ok下的系数跟X在M的坐标向量场01，...，0m下的系数一致（其中X在Ok+1,...，m下的系数为0)。于是由X的光滑性可知X是N上的光滑向量场，即(1)成立。特别地，X在N中有唯一的过p点的极大积分曲线，而由定义该曲线也是X在M中过p点的积分曲线，从而由积分曲线的口唯一性可知（2）成立。分布可积性的例子例3.4.4。向量场，…·，张成Rm中的秩为k的分布V.它是可积的，其积分流形是由以下方程组定义的“超平面”r=ci(k+l≤i≤m).【根据局部Frobenius定理（见定理3.4.19），任意可积分布局部都能表示成这种形式.】例3.4.5.M上的任意非0向量场X可以生成一个秩为1的分布V，其中Vp=R·Xp.注意对于任意fECα(M)，fX是属于V的向量场，且对于任意恒非零的光滑函数f，fX也生成同一个分布V.该分布总是可积的：X的积分曲线的像集就是V的积分流形.例3.4.6.积分流形可以不是M的嵌入子流形.例如，考虑M=Sl×SlCR×R2固定任意无理数a,非0向量场X°=(22.0 -21 2u2010) +a(y?01-02ylQy?的积分流形是M上的“稠密曲线”，（它们都是浸入子流形.）显然，对于M上任意一个秩为1的分布V，存在M上的非0向量场X使得X生成的分布就是V.于是任意秩为1的分布一定是可积的。不过，秩大于1的分布有可能不是可积的：例3.4.7.考虑R3上由以下两个向量场张成的光滑分布V，0220Xi=+X2= 2r287

3.4 分布注意若 N1, N2 都是 V 的过点 p 的积分流形，则 N1 ∪ N2 也是 V 的过点 p 的积分流形。下面这个引理给出了可积分布中向量场的积分曲线跟该分布的积分流形的关系：引理 3.4.3. （积分曲线与积分流形） ♦ 设 V 是可积分布，X 是属于 V 的光滑向量场。 (1) 对于 V 的任意积分流形 N，存在 N 上的光滑向量场 X ‹ 使得 dιp(X ‹ p) = Xp 对于任意 p ∈ N 成立. (2) 对于任意 p ∈ N, 设 γp 为 X 的经过点 p 的积分曲线，则 ε 充分小时 γp((−ε, ε)) 位于 V 的经过点 p 的积分流形上. 证明假设 ι : N ,→ M 是 V 的积分流形且 p ∈ N. 根据积分流形的定义，对于任意 p ∈ N = ι(N)，存在 X ‹ p ∈ TpN 使得 Xp = dιp(X ‹ p). 取 N 的坐标邻域 (ϕ, U, V ) 使得 ι(U) 是 M 的嵌入子流形，且取 M 上相容坐标卡使得 U 由 x k+1 = · · · = x m = 0 给出。则向量场 X ‹ 在相应的 N 上的坐标向量场 ∂1, · · · , ∂k 下的系数跟 X 在 M 的坐标向量场 ∂1, · · · , ∂m 下的系数一致（其中 X 在 ∂k+1, · · · , ∂m 下的系数为 0）。于是由 X 的光滑性可知 X ‹ 是 N 上的光滑向量场，即 (1) 成立。特别地，X ‹ 在 N 中有唯一的过 p 点的极大积分曲线，而由定义该曲线也是 X 在 M 中过 p 点的积分曲线，从而由积分曲线的唯一性可知 (2) 成立。 □ ¶ 分布可积性的例子例 3.4.4. 向量场 ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xk 张成 R m 中的秩为 k 的分布 V. 它是可积的，其积分流形是由以下方程组定义的“超平面” x i = c i (k + 1 ≤ i ≤ m). 【根据局部 Frobenius 定理（见定理3.4.19），任意可积分布局部都能表示成这种形式.】例 3.4.5. M 上的任意非 0 向量场 X 可以生成一个秩为 1 的分布 V，其中 Vp = R·Xp. 注意对于任意 f ∈ C∞(M)，fX 是属于 V 的向量场，且对于任意恒非零的光滑函数 f， fX 也生成同一个分布 V. 该分布总是可积的: X 的积分曲线的像集就是 V 的积分流形. 例 3.4.6. 积分流形可以不是 M 的嵌入子流形. 例如，考虑 M = S 1 × S 1 ⊂ R 2 x × R 2 y . 固定任意无理数 a, 非 0 向量场 Xa = (x 2 ∂ ∂x1 − x 1 ∂ ∂x2 ) + a(y 2 ∂ ∂y1 − y 1 ∂ ∂y2 ) 的积分流形是 M 上的“稠密曲线”. (它们都是浸入子流形.) 显然，对于 M 上任意一个秩为 1 的分布 V，存在 M 上的非 0 向量场 X 使得 X 生成的分布就是 V. 于是任意秩为 1 的分布一定是可积的。不过，秩大于 1 的分布有可能不是可积的：例 3.4.7. 考虑 R 3 上由以下两个向量场张成的光滑分布 V， X1 = ∂ ∂x1 + x 2 ∂ ∂x3 , X2 = ∂ ∂x2 . 87

3.4 分布下证它没有经过原点的积分流形. 事实上，假设 V 是可积的，且记 V 的包含原点的积分流形为 N，则根据引理3.4.3，N 必然也包含向量场 X1 的经过原点的积分曲线, 从而 N ⊃ {(t, 0, 0) | |t| < ε. 类似地，对于任意 t，N 必然包含向量场 X2 的经过 (t, 0, 0) 的积分曲线，从而 N ⊃ {(t, s, 0) | |t|, |s| < ε.} 换句话说, N 包含了 x 1 -x 2 平面中原点的一个开邻域. 这说明当 t, s 充分小时，对于 p = (t, s, 0)，向量 ∂ ∂x1 (作为 N 的切向量) 也在 Vp 中，但这在 s 6= 0 时并不成立，矛盾。 ¶ Frobenius 条件和对合分布因为不是所有分布都可积，因此很自然要问：何时分布是可积的？一个必要条件是容易发现的. 直观上，如果 M 两个向量场都与 M 的子流形 N 相切，那么它们的 Lie 括号也应该和 N 相切. 于是不难得出定理 3.4.8. （可积分布中向量场的 Lie 括号） ♥ 如果分布 V 是可积的, 则对于任意 X, Y ∈ Γ∞(V), 均有 [X, Y ] ∈ Γ∞(V). 证明根据引理3.4.3，存在 X, ‹ Y ‹ ∈ Γ∞(T N) 使得对于任意 p ∈ N = ι(N)， Xp = dιp(X ‹ p) 且 Yp = dιp(Y ‹ p). 于是从习题可知对于任意 p ∈ N, [X, Y ] M p = dιp([X, ‹ Y ‹] N p ) ∈ Vp. 因此 [X, Y ] 也属于 V. □ 用代数的语言来说，就是对于可积分布 V 而言，Γ∞(V) 是 Γ∞(TM) 的 Lie 子代数。定义 3.4.9. （对合分布） ♣ 如果分布 V 满足 Frobenius 条件: 若 X, Y ∈ Γ∞(TM) 属于 V, 则 [X, Y ] 也属于 V ，那么称 V 是对合的。例 3.4.10. 任意秩为 1 的分布总是是对合的：若 V 在开集 U 上是由向量场 X 生成的分布，则 [fX, gX] = (fX(g) − gX(f))X 在 U 中依然在由 X 生成的分布 V 里. 虽然根据定义，要证明 V 是对合的，需要对于所有的 X, Y ∈ V 验证 Frobenius 条件，但下面的引理说明，只要在任意点附近对 V 中的一组局部光滑基中的向量场验证 Frobenius 条件即可。其证明留作习题： 88

3.4 分布引理 3.4.11. （对合性与基） ♦ 设 V 为 M 上秩为 k 的分布. 若对于每点 p ∈ M, 均存在 p 的邻域 U 和 k 个在 U 上逐点线性无关的光滑向量场 X1, · · · , Xk ∈ Γ∞(V)，使得对于所有 1 ≤ i, j ≤ k， [Xi , Xj ] 属于 V，则 V 是对合的. 例 3.4.12. R n 中由 ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xk 张成的分布是对合的，因为 [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = 0, ∀1 ≤ i, j ≤ k. 例 3.4.13. R n (n ≥ 3) 中由 X1 = ∂ ∂x1 + x 2 ∂ ∂x3 , X2 = ∂ ∂x2 张成的分布 V 不是对合的，因为 [X1, X2] = − ∂ ∂x3 不在 V 中. ¶ Frobenius 定理根据定理3.4.8，任意可积分布都是对合的. 本节的主要定理是证明反过来也成立，即任意对合分布都是可积的: 定理 3.4.14. （整体 Frobenius 定理） ♥ 设 V 为秩为 k 对合分布. 那么对于任意 p ∈ M, 都存在过 p 的 V 的唯一的极大连通积分流形(特别地, V 是可积的). 在证明之前给出几个例子。例 3.4.15. 令 f : M → N 为淹没. 对于任意 p ∈ M, 令 Vp = ker(dfp). 那么 V 是分布，这是由于对于所有的 p ∈ M，dim Vp = dim M − dim N 是常数. V 是对合的: 如果 X, Y 是属于 V 的向量场, 那么对于所有的 p ∈ M，dfp(Xp) = dfp(Yp) = 0. 于是对于任意 g ∈ C∞(N), X(g ◦ f)(p) = dfp(Xp)(g) = 0 对于所有 p 成立, 即 X(g ◦ f) = 0. 类似地 Y (g ◦ f) = 0. 于是 dfp([X, Y ]p)(g) = [X, Y ]p(g ◦ f) = Xp(Y (g ◦ f)) − Yp(X(g ◦ f)) = 0. V 是可积的: 经过 p ∈ M 的积分流形是子流形 f −1 (f(p)) 的连通分支. 例 3.4.16. 考虑 R 3 中由 M = R 3 − {x 1 = x 2 = 0} 上的向量场 X1 = x 1 ∂ ∂x2 − x 2 ∂ ∂x1 , X2 = ∂ ∂x3 张成的分布 V. 因为 [X1, X2] = 0, V 是对合的. 它的积分流形是什么? 首先计算 X1 和 X2 的积分曲线. X1 的经过点 (a 1 , a2 , a3 ) 的积分曲线是 x 3 -平面上以原点为圆心的圆周, 而 X2 的积分曲线是平行于 x 3 -轴的直线. 由于对于任意 t, s，点 ϕ X1 t (ϕ X2 s (a 1 , a2 , a3 )) 都在该分布的经过 (a 1 , a2 , a3 ) 的积分流形中，所有这些积分流形恰好是所有以 x 3 -轴为中心的圆柱面. 89

3.4 分布 3.4.2 Frobenius 定理的证明 ¶ 向量场在局部上的拉直首先证明以下有用的引理: 引理 3.4.17. （拉直一个向量场） ♦ 设 X 为 M 上的光滑向量场，且 Xp 6= 0. 那么存在 p 附近的局部坐标卡 (ϕ, U, V ) 使得在 U 上有 X = ∂1. 证明选择 p 附近的局部坐标卡 (U, y ‹ 1 , · · · , yn ) 使得 Xp = ∂ ∂y1 p . 在 U ‹ 上有 X = Pn i=1 ξi ∂ ∂yi , 其中 ξi 是 U ‹ 上的光滑函数. 必要时缩小 U ‹，可以假设在 U ‹ 上有 ξ1 6= 0. 考虑以下常微分方程组 dyi dy1 = ξi(y 1 ; y 2 , · · · , yn ) ξ1(y 1; y 2, · · · , yn) , 2 ≤ i ≤ n. 根据常微分方程组的基本理论，局部上对于任意初始值 (z 2 , · · · , zn ), 其中 |z| < ε, 以上方程组都有满足初值条件 y i (0; z 2 , · · · , zn ) = z i , 2 ≤ i ≤ n 的唯一解 y i = y i (y 1 ; z 2 , · · · , zn ), |y 1 | < ε, 且其中 y i 光滑地依赖于 y 1 和 z j . 考虑坐标变换 y 1 = z 1 , y i = y i (z 1 ; z 2 , · · · , zn ), 2 ≤ i ≤ n. 由于 Jacobi 矩阵 ∂(y 1 , · · · , yn ) ∂(z 1, · · · , zn) z 1=0 = 1, 局部可以进行从 (y 1 , · · · , yn ) 到 (z 1 , · · · , zn ) 坐标变换，即存在 p 的邻域 U ⊂ U ‹, 它的局部坐标为 (z 1 , · · · , zn )，且在新坐标卡下， X = Xξi ∂ ∂yi = ξ1 X ∂yi ∂z1 ∂ ∂yi = ξ1 ∂ ∂z1 . 最后，令 x 1 (z 1 , · · · , zn ) = R z1 0 dt ξ1(t,z2,··· ,zn) 并且对于 j ≥ 2 令 xj = zj , 那么 {x 1 , · · · , xn} 是 U 上的局部坐标函数，且在 U 上有 X = ∂ ∂x1 . □ 注 3.4.18. 更一般地，如果 {X1, · · · , Xk} 是处处线性无关的向量场，且 [Xi , Xj ] = 0 对于任意 1 ≤ i, j ≤ k 都成立，那么存在局部坐标卡使得 Xi = ∂i（1 ≤ i ≤ k）. 证明留作练习. 注意到条件 [Xi , Xj ] = 0 是必要的，因为在任意局部坐标卡中有 [∂i , ∂j ] = 0. ¶ 局部 Frobenius 定理: “拉直”对合分布在证明整体 Frobenius 定理之前，首先证明以下的局部版本: 任意可积对合分布在局部上是“平坦的”, 从而是可积的. 90

3.4 分布定理 3.4.19. （局部 Frobenius 定理） ♥ 令 V 为对合的 k-维分布. 那么对于任意 p ∈ M, 存在以 p 为中心的局部坐标系 (U, x1 , · · · , xn ) 使得对于任意 q ∈ U, Vq = span{∂1(q), · · · , ∂k(q)}. 证明由引理 3.4.17, 定理对 k = 1 成立. 下面假设定理对所有 k − 1 维对合分布成立. 令 V 为 k 维分布，它在 p 附近由光滑向量场 X1, X2, · · · , Xk 张成. 假设 V 是对合的，即 [Xi , Xj ] ≡ 0 mod (X1, · · · , Xk), 1 ≤ i, j ≤ k. 根据引理 3.4.17, 存在 p 附近的局部坐标卡 (U; y 1 , · · · , ym) 使得 Xk = ∂y k . 对于 1 ≤ i ≤ k − 1 令 X′ i = Xi − Xi(y k )Xk, 那么对于 1 ≤ i ≤ k−1 有 X′ i (y k ) = 0, 并且 Xk(y k ) = 1. 注意到向量场 X′ 1 , · · · , X′ k−1 , Xk 仍然张成了 V. 进一步，如果记 [X′ i , X′ j ] = aijXk mod (X′ 1 , · · · , X′ k−1 ), 1 ≤ i, j ≤ k − 1, 将两边都作用到函数 y k 上, 可以发现对于所有的 1 ≤ i, j ≤ k − 1，都有 aij = 0. 于是根据引理 3.4.11, k − 1 维分布 V ′ = span{X′ 1 , · · · , X′ k−1 } 是对合的. 从而由归纳假设, 存在 p 附近的局部坐标卡 (U, z1 , · · · , zm) 使得 V ′ 由 {∂z 1 , · · · , ∂z k−1 } 张成. 由于每个 ∂z i (1 ≤ i ≤ j) 都是 X′ j (1 ≤ j ≤ k − 1) 的线性组合, 依然有 ∂z i (y k ) = 0. 记 [∂z i , Xk] = biXk mod (∂z 1 , · · · , ∂z k−1 ). 将两边作用到函数 y k 上, 可知 bi = 0 对于所有的 1 ≤ i ≤ k − 1 成立. 因此存在 C i j 使得 [∂z i , Xk] = X k−1 j=1 C i j∂z j . 假设 Xk = Pm j=1 ξj∂z j . 将这个结果代入上式，得 ∂z i ξj = 0, 1 ≤ i ≤ k − 1, k ≤ j ≤ m. 换句话说, 当 j ≥ k 时有 ξj = ξj (z k , · · · , zn ). 令 X′ k = Xk − X k−1 j=1 ξj∂z j = Xm j=k ξj∂z j . 那么 {∂z 1 , · · · , ∂z k−1 , X′ k } 仍然张成了 V. 最后对 z k , · · · , zk 变量用引理 3.4.17, 可知存在从 (z 1 , · · · , zk , · · · , zn ) 到 (x 1 , · · · , xk , · · · , xn ) 的局部坐标变换（其中对于 1 ≤ i ≤ k−1, x i = z i），使得 X′ k = ∂xk . 由此完成了证明. □ 91

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章 光滑向量场 3.4 分布

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