《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第6章 De Rham理论 6.3 紧支集de Rham上同调群.pdf_大学文库

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群 6.3 紧支集de Rham上同调群接下来的几节，我们将运用上一章所发展的积分工具来研究 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调理论，尤其是最高阶 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群，并给出一系列应用。注意在流形上的积分理论中，被积分的对象本质上是紧支的最高阶微分形式‮ 因此本节首先发展由紧支微分形式生成的紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调理论‮ 6.3.1 紧支集de Rham上同调 ¶ 紧支集de Rham上同调设M是m维光滑流形‮ 回忆一下，微分形式 ω ∈ k  M  的支集定义为 ⁳⁵⁰⁰ ω  ‽ {p ∈ M | ωp ̸‽ ‰}. 和通常一样，如果 ⁳⁵⁰⁰ ω  是 M 中的紧集，则称 ω 是紧支的，并记 k c  M  ‽ {ω ∈ k  M  | ω 是紧支集的} 为M上全体紧支光滑k次微分形式的集合‮ 显然  ‱  如果 ω‱, ω′ 是紧支集的k次微分形式，则 c‱ω‱ ‫ c′ω′ 也是紧支集的；  ′  如果 ω 是紧支集的，则 dω 也是紧支集的‮ 所以对任意k， k c  M  是一个线性空间(显然它是Ω k (M)的线性子空间，并且也是C ∞(M)模)，且在外微分作用下这些向量空间构成紧✿✿✿✿✿✿ 支⁤⁥✿✿✿✿✿✿✿ ⁒⁨⁡⁭✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 上链复形 ‰ → ‰ c  M  d −→ ‱ c  M  d −→ ′ c  M  d −→ ″ c  M  d −→ · · · d −→ m c  M  → ‰. 于是类似于通常的⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭理论，可以记 Z k c  M  ‽ {ω ∈ k c  M  | dω ‽ ‰}  其元素称为紧支闭 k 形式  以及 B k c  M  ‽ {ω ∈ k c  M  | 存在 η ∈ k−‱ c  M  使得 ω ‽ dη}  其元素称为紧支恰当 k 形式 ，并定义相应的上同调群：定义 6.3.1. (紧支集de Rham上同调) ♣ 设 M 是光滑流形，则称商空间 Hk c  M  ‽ Z k c  M  Bk c  M  为 M 的 k阶紧支集de Rham上同调群‮ 注 6.3.2.  ‱  类似于通常的 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群，只需考虑 ‰ ≤ k ≤ m‮  ′  显然如果 M 是紧流形，则对任意 k 有 k c  M  ‽ k  M ，从而 Hk c  M  ‽ Hk dR M , ∀k.  ″  根据定义， Z k c  M  ‽ Z k  M  ∩ k c  M ，所以“紧支闭”等价于“紧支且闭”‮ 然 ‱‶‷

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群而，一般来说“紧支且恰当”微分形式未必是“紧支恰当”的，即只能得到 B k c  M  ⫋ B k  M  ∩ k c  M . 例如，令g为定义在R上且满足“当x ≤ ‰时g x  ‽ ‰，当x ≥ ‱时g x  ‽ ‱”的光滑函数，并记f ‽ g ′，则f x dx ‽ dg ∈ B‱  R  ∩ ‱ c  R ，但由 ´ R f x dx ‽ ‱ ̸‽ ‰ 知 f x dx ̸∈ B‱ c  R ‮  ‴  对于 k ‽ ‰，根据定义 H‰ c  M  ‽ Z ‰ c  M  ‽ {f ∈ C ∞ M  | df ‽ ‰ 且 ⁳⁵⁰⁰ f  是紧集}. 显然df ‽ ‰ 当且仅当 f 是局部常值的，即 f 在每个连通分支上都是常值的‮ 另一方面，局部常值的紧支集函数在任意非紧连通分支上必定恒为零，所以 H‰ c  M  ≃ M 紧连通分支 R. 特别地，若 M 具有 Kc 个✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 紧连通分支，其中 Kc < ∞，则 H‰ c  M  ≃ R Kc ‮ ′  ‵  和通常的情况一样，可以对于同一个光滑流形各阶紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群之间定义上✿✿✿✿积运算 ∪ › Hk c  M  × Hl c  M  → Hk‫l c  M ,  ω, η  7→ ⁛ω ∧ η⁝ 使得 H∗ c  M  ‽ ⊕m k‽‰Hk c  M  是分次环‮ 事实上，还可以在通常 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群和紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群之间定义 ✿✿✿✿ 上积 ∪ › Hk c  M  × Hl dR M  → Hk‫l c  M  和 ∪ › Hk dR M  × Hl c  M  → Hk‫l c  M . 不难证明它们都是良定的‮ 它们在本章第 ‵ 节将发挥巨大作用‮ ¶ Hk c 的函子性跟 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调类似，很自然的考虑紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调 Hk c 的函子性‮ 此时立刻可以发现紧支⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调跟普通 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调的差别：设 φ › M → N 是光滑映射‮ 则根据定义， ⁳⁵⁰⁰ φ ∗ω  ⊂ φ −‱  ⁳⁵⁰⁰ ω  . 所以即使 ω ∈ k c  N ，也有可能 φ ∗ω ̸∈ k c  M ‮ 换而言之，光滑映射不一定将 N 的紧支同调类拉回为 M 上的紧支上同调类！于是，紧✿✿✿✿✿✿ 支⁤⁥✿✿✿✿✿✿✿ ⁒⁨⁡⁭ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 上同调Hk c ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 不再是从光滑流形 ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 范畴到线性空间范畴的函子！函子性的缺失，造成的后果是显而易见的：在 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调中运用函子性（即拉回映射）所证明的诸如同伦不变性、⁍⁡⁹⁥⁲‭⁖⁩⁥⁴⁯⁲⁩⁳ 序列等重要工具，对于紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 2注意无穷个线性空间的直和 ⊕ 与直积 ⊗ 的差别：直和表示“最多有限项非零”，而直积则没有该限制，故此处用直和，而注6.1.2 中用直积. ‱‶‸

6.3紧支集deRham上同调群上同调都不再成立.不过，事情还没有那么糟糕：如果对于光滑映射加上一个“小小的”限制，即假设：M→N是逆紧的，则紧支微分形式wE（N）的拉回*w仍然具有紧支集.不难验证此时映射* : H(N) → H(M)仍然是良定的线性映射，且对应关系*满足（反变)函子性，即(a) Id* = Id.(b）若：M→N和：N→N都是逆紧光滑映射，则o也是逆紧光滑映射，且(o)*=*o*换而言之，H是从“逆紧光滑范畴”（其中对象为光滑流形，而态射为光滑流形之间的逆紧光滑映射)到“线性空间范畴”的一个反变函子.由于微分同胚都是逆紧映射，所以从函子性立刻可得：微分同胚的光滑流形具有相同的紧支上同调群，稍微改造一下定理6.1.19的证明过程(主要是证明中用到的光滑映射性质改为相应的逆紧光滑映射性质)，就可以证明逆紧光滑映射所诱导紧支deRham同调群之间的映射具有逆紧同伦不变性：（留作练习）定理6.3.3.（紧支deRham上同调：逆紧映射的逆紧同伦不变性）如果逆紧光滑映射0,P1：M→N是逆紧同伦的，则它们具有相同的诱导映射Pt = P2 : Hk(N) -→ H(M).a即存在逆紧映射重：M×[0,1]→N是连接po和1的同伦O另一方面，可以证明连续映射Whitney逼近定理的如下变体：定理6.3.4.（逆紧连续映射Whitney逼近定理）光滑流形之间的逆紧连续映射一定逆紧同伦于某个逆紧光滑映射。由于任何同胚都是逆紧映射，所以结合以上事实可知紧支deRham上同调群仍然是拓扑不变量：推论6.3.5.（紧支deRham上同调的拓扑不变性）如果 M 同胚于 N,则对任意k,均有 H(M)~ H(N)d不过，跟deRham上同调情形不同的是，对于紧支deRham上同调而言，空间同伦不变性不再成立，因为同伦的两个空间之间互为“同伦逆”的映射未必是逆紧映射事实上，这不是因为工具不够强大，而是因为敌人太狡猬：由于不同维数的欧氏空间是同伦等价的，所以根据下面Rm的计算结果可知，紧支deRham上同调群根本就不是空间同伦不变量，169

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群上同调都不再成立‮ 不过，事情还没有那么糟糕：如果对于光滑映射加上一个“小小的” 限制，即假设 φ › M → N 是逆紧的‬ 则紧支微分形式 ω ∈ k c  N  的拉回 φ ∗ω 仍然具有紧支集‮ 不难验证此时映射 φ ∗ › Hk c  N  → Hk c  M  仍然是良定的线性映射，且对应关系φ ⇝ φ ∗满足(反变)函✿✿✿✿✿✿ 子性，即  ⁡  ⁉⁤∗ ‽ ⁉⁤‮  ⁢  若φ › M → N 和 ψ › N → N 都是逆紧光滑映射，则 ψ ◦ φ 也是逆紧光滑映射，且  ψ ◦ φ  ∗ ‽ φ ∗ ◦ ψ ∗ ‮ 换而言之，Hk c 是从“逆紧光滑范畴”(其中对象为光滑流形，而态射为光滑流形之间的逆紧光滑映射)到“线性空间范畴”的一个反变函子‮ 由于微分同胚都是逆紧映射，所以从函子性立刻可得：微分同胚的光滑流形具有相同的紧支上同调群‮ 稍微改造一下定理‶‮‱‮‱‹的证明过程(主要是证明中用到的光滑映射性质改为相应的逆紧光滑映射性质)，就可以证明逆紧光滑映射所诱导紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 同调群之间的映射具有逆紧同伦不变性： (留作练习) 定理 6.3.3. (紧支de Rham上同调：逆紧映射的逆紧同伦不变性) ♡ 如果逆紧光滑映射 φ‰, φ‱ › M → N 是逆紧同伦的a，则它们具有相同的诱导映射 φ ∗ ‱ ‽ φ ∗ ′ › Hk c  N  → Hk c  M . a即存在逆紧映射 Φ : M × [0, 1] → N 是连接 φ0 和 φ1 的同伦. 另一方面，可以证明连续映射⁗⁨⁩⁴⁮⁥⁹逼近定理的如下变体：定理 6.3.4. (逆紧连续映射Whitney逼近定理) 光滑流形之间的逆紧连续映射一定逆紧同伦于某个逆紧光滑映射。 ♡ 由于任何同胚都是逆紧映射，所以结合以上事实可知紧支⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群仍然是拓扑不变量：推论 6.3.5. (紧支de Rham上同调的拓扑不变性) ♡ 如果 M 同胚于 N，则对任意k，均有 Hk c  M  ≃ Hk c  N ‮ 不过，跟 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调情形不同的是，对于紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调而言，空间同伦不变性不再成立，因为同伦的两个空间之间互为“同伦逆”的映射未必是逆紧映射‮ 事实上，这不是因为工具不够强大，而是因为敌人太狡猾：由于不同维数的欧氏空间是同伦等价的，所以根据下面 R m 的计算结果可知‬ 紧支 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群根本就不是空间同伦不变量‮ ‱‶‹

6.3紧支集deRham上同调群6.3.2紧支集deRham上同调的计算T例：H(Rm)下面计算欧氏空间Rm的紧支集上同调H(Rm），其中m≥1且0≤k≤m.(1）首先计算H(IRm）.由B(Rm）=0可知H(Rm)=z(Rm)=(f EC(Rm)/df =0且 supp(f)是紧集).由于Rm上不存在非零的紧支常值函数，所以Ho（Rm）=0.(2）接着计算H(Rm），其中m>1.为此，需要借助如下工具：基本想法：将Rm微分同胚地映为Sm-N（例如通过球极投影的逆，参见例1.2.11)，其中N=（0,.，0,1)是Sm的“北极点”，然后将Rm的紧支微分形式通过零扩张对应为Sm上支在点N之外的微分形式，从而可以使用Sm的deRham上同调群的信息严格表述：令：Sm-N)→Rm为微分同胚，1：Sm-N)→Sm为包含映射.令L*：2(Sm-[N)）→2k（Sm）为标准的零扩张映射.对于任意wE2（Rm），令w=L**w.于是Rm上的每个紧支微分形式都唯一对应了一个Sm上支在点N之外的微分形式，且反之亦然注意零扩张映射跟拉回映射一样，也跟外微分可交换：d=d.于是若w,n是Rm上的紧支微分形式且dn=w(此处d是R"上的外微分)，则它们对应的Sm上的微分形式w，也满足同样的关系：W=l*p*=1**dn=d*pn=dm(最后两个d是S"上的外微分).特别地，w是Rm的闭形式当且仅当是Sm-[N]的闭形式任取wEZ(Rm)，并取N的某个连通开邻域U使得w对应的WEZ(Sm）的支集落在Sm-U中.因为HlrSm）=0,所以闭的1次微分形式是恰当的，即存在feCo(sm）使得w=dj.由于在U中有df=w=0，所以于在U上等于某个常值c.令fi=f-c.则fi在U中恒为o，且dfi=.最后令f1 =(p-1)*(t*)-1f1,则fiEC(Rm)，且dfi=w.故wEB(Rm)，即当m>1时H(Rm)=0.(3)将该方法稍微变通一下，可以计算H(Rm)，其中1<k<m.为此，任取wEzk(Rm）并考虑其对应的wEzk(sm），后者的支集落在某个形如sm-U的集合中.因为Hhr(Sm）=0，所以存在E2k-1(Sm）使得=dn核心观察：通过缩小N的邻域U，可以假设U是可缩的，从而HaR'(U)=[O].因为在U中=w=0，所以在U中是恰当的，即存在iEk-2(U)使得n=di.170

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群 6.3.2 紧支集de Rham上同调的计算 ¶ 例：Hk c (R m) 下面计算欧氏空间R m的紧支集上同调Hk c  R m ，其中m ≥ ‱且‰ ≤ k ≤ m‮  ‱  首先计算H‰ c  R m ‮ 由B‰ c  R m  ‽ ‰可知 H‰ c  R m  ‽ Z ‰ c  R m  ‽ {f ∈ C ∞ R m  | df ‽ ‰ 且 ⁳⁵⁰⁰ f  是紧集}. 由于R m上不存在非零的紧支常值函数，所以H‰ c  R m  ‽ ‰‮  ′  接着计算H‱ c  R m ，其中m > ‱‮ 为此，需要借助如下工具：基本想法: 将 R m 微分同胚地映为 S m − {N} (例如通过球极投影的逆，参见例1.2.11)，其中 N ‽  ‰, · · · , ‰, ‱  是 S m 的“北极点”，然后将 R m 的紧支微分形式通过零扩张对应为 S m 上支在点 N 之外的微分形式，从而可以使用 S m 的 ⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭ 上同调群的信息‮ 严格表述: 令 φ › S m − {N} → R m 为微分同胚，ι › S m − {N} ,→ S m 为包含映射‮ 令 ι∗ › k c  S m − {N}  → k  S m  为标准的零✿✿✿✿✿✿ 扩张映射‮ 对于任意 ω ∈ k c  R m ，令ωe ‽ ι∗φ ∗ω‮ 于是 R m上的每个紧支微分形式都唯一对应了一个 S m 上支在点 N 之外的微分形式，且反之亦然‮ 注意零扩张映射 ι∗ 跟拉回映射一样，也跟外微分可交换：dι∗ ‽ ι∗d‮ 于是若 ω, η 是 R m 上的紧支微分形式且 dη ‽ ω(此处d是R m上的外微分)，则它们对应的 S m 上的微分形式ω, e ηe 也满足同样的关系： ωe ‽ ι∗φ ∗ω ‽ ι∗φ ∗ dη ‽ dι∗φ ∗ η ‽ dηe (最后两个d是S m上的外微分)‮ 特别地，ω 是 R m 的闭形式当且仅当 ωe 是 S m − {N} 的闭形式‮ 任取 ω ∈ Z ‱ c  R m ，并取 N 的某个连通开邻域 U 使得 ω 对应的 ωe ∈ Z ‱  S m  的支集落在 S m − U 中‮ 因为 H‱ dR S m  ‽ ‰‬所以闭的‱次微分形式 ωe 是恰当的，即存在 ⁾f ∈ C∞ S m  使得 ωe ‽ d ⁾f‮ 由于在 U 中有 d ⁾f ‽ ωe ‽ ‰，所以 ⁾f 在 U 上等于某个常值 c‮ 令 ⁾f‱ ‽ ⁾f − c‬ 则 ⁾f‱ 在 U 中恒为‰，且 d ⁾f‱ ‽ ωe‮ 最后令 f‱ ‽  φ −‱   ∗  ι∗  −‱ ⁾f‱, 则 f‱ ∈ C∞ c  R m ，且 df‱ ‽ ω‮ 故 ω ∈ B‱ c  R m ，即当m > ‱时H‱ c  R m  ‽ ‰‮  ″  将该方法稍微变通一下，可以计算 Hk c  R m ，其中 ‱ < k < m‮ 为此，任取 ω ∈ Z k c  R m  并考虑其对应的 ωe ∈ Z k  S m ，后者的支集落在某个形如 S m − U 的集合中‮ 因为 Hk dR S m  ‽ ‰，所以存在 η⁾ ∈ k−‱  S m  使得 ωe ‽ dη⁾‮ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 核心观察：通过缩小 N 的邻域 U，可以假设 U 是可缩的，从而 H k−‱ dR  U  ‽ {‰}‮ 因为在 U 中 dη⁾ ‽ ωe ‽ ‰，所以 η⁾ 在 U 中是恰当的，即存在 µ⁾ ∈ k−′  U  使得 η⁾ ‽ dµ⁾‮ ‱‷‰

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群取 S m 上的一个鼓包函数 ρ，使得 ⁳⁵⁰⁰ ρ  ⊂ U, 且在 N 点附近有ρ ≡ ‱. 最后令 η⁾‱ ‽ ⁾η − d ρµ⁾  ∈ k−‱  S m ，则 η⁾‱ 在 N 附近恒为 ‰，且 dη⁾‱ ‽ dη⁾ ‽ ωe‮ 于是若令η‱ ‽  φ −‱   ∗  ι∗  −‱η⁾‱，则η‱ ∈ k−‱ c  R m ，且 dη‱ ‽ ω‮ 故 ω ∈ Bk c  R m ‮ 这说明当‱ < k < m时同样有Hk c  R m  ‽ ‰‮  ‴  然后计算H‱ c  R ，其方法类似于之前计算 S ‱ 的⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群的方法，即用最高阶形式的积分‮ 为此，考虑积分映射 ˆ R › Z ‱ c  R  ‽ ‱ c  R  → R, ω 7→ ˆ R ω. 显然这个映射是线性满射‮ 而且由微积分基本定理，该映射在 B‱ c  R  上为零，因此诱导了线性满射 ˆ R › H‱ c  R  → R. 进一步，如果 ´ R f t dt ‽ ‰，其中 f ∈ C∞ c  R ，则函数 g t  ›‽ ´ t −∞ f τ  dτ 是 R 上的紧支光滑函数，而且 dg ‽ f t dt‮ 换言之，f t dt ∈ B‱ c  R ，即在 H‱ c  R  中 ⁛f t dt⁝ ‽ ‰‮ 所以 ´ R 是 H‱ c  R  和 R 之间的同构，即H‱ c  R  ≃ R.  ‵  最后，综合上述两种方法，对于 m ≥ ′ 计算 Hm c  R m ‮ 跟m ‽ ‱情形类似，可得良定的线性满射 ˆ Rm › Hm c  R m  → R. 下证它是同构，即证：目标：若 ω ∈ m c  R m ‽ Z m c  R m  满足 ´ Rm ω ‽ ‰，则 ω ∈ Bm c  R m ‮ 和 ′ ‬ ″ 一样，依然把R m视为S m − {N}，并把 R m 中的紧支 m 形式 ω 对应成为 S m 中支在 N 点之外的 m 形式 ωe‮ 则 ˆ Sm ωe ‽ ˆ Sm ι∗φ ∗ω ‽ ˆ Sm−{N} φ ∗ω ‽ ˆ Rm ω ‽ ‰. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 核心观察：在 S m 上依然有良定的线性满射 ˆ Sm › Hm dR S m  → R. 由于 Hm dR S m  ≃ R，所以它事实上是同构‮ 于是由 ´ Sm ωe ‽ ‰ 可知 ⁛ωe⁝ ‽ ‰，即存在 η⁾ ∈ m−‱  S m  使得 ωe ‽ dη⁾‮ 接着重复之前的论证：取N在S m中的一个可缩开邻域U，使得 ωe 在 U 上为零‮ 然后将 η⁾ 调整为 η⁾‱ ‽ ⁾η −d ρµ⁾ ，其中 ρ 是鼓包函数，而 µ⁾ ∈ m−′  U 满足“在U上有 dµ⁾ ‽ ⁾η”，并令 η‱ ‽  φ −‱   ∗  ι∗  −‱η⁾‱‮ 则 η‱ ∈ m−‱ c  R m  且 dη‱ ‽ ω，从而 ω ∈ Bm c  R m ‮ 总结上述计算结果，可得 ‱‷‱

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群定理 6.3.6. (紧支de Rham上同调群的Poincar´e引理) ♡ Hk c  R m  ‽    R, k ‽ m, ‰, k ̸‽ m. 注意在计算 Hk c  R m  的过程中，使用了两种技术，即零扩张与积分‮ 它们分别可以发展到更一般情形，前者给出紧支⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群情形 ⁍⁡⁹⁥⁲‭⁖⁩⁥⁴⁯⁲⁩⁳ 序列的一个变体，而后者则是计算最高阶紧支⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群的工具‮ ¶ 紧支de Rham上同调群版本的Mayer-Vietoris 序列在构造 ⁍⁡⁹⁥⁲‭⁖⁩⁥⁴⁯⁲⁩⁳序列时，用的是 M 的开子集 U, V, U ∩ V ，此时不能用包含映射(对于开子集而言，它一般不是逆紧的)的拉回(对于开子集而言就是限制映射)，因为紧支微分形式限制在开子集上未必依然紧支。不过上述 Hk c  R m  的计算过程给我们指了另一条路：设 U 是M 的开子集， ι › U ,→ M 是包含映射，则可以通过“零扩张”将 U 上 k 次光滑紧支微分形式扩张为 M 上的 k 次光滑紧支微分形式，从而可以定义“推出”映射 ι∗ › k c  U  → k c  M . 不难发现 dι∗ ‽ ι∗d, 所以 ι∗ 诱导了线性映射 ι∗ › Hk c  U  → Hk c  M . 下设 U‬ V 是 M 的开覆盖‮ 利用推出可以很容易定义 β c k › Hk c  U ∩ V  −→Hk c  U  ⊕ Hk c  V  , βc k  ⁛ω⁝  ‽   ȷ‱ ∗⁛ω⁝ −  ȷ′ ∗⁛ω⁝  以及 αk › Hk c  U  ⊕ Hk c  V   −→ Hk c  M , αc k  ⁛ω‱⁝, ⁛ω′⁝  ‽  ι‱ ∗⁛ω‱⁝ ‫  ι′ ∗⁛ω′⁝. 由此可以构建连接同态 δk › Hk c  M  → Hk‫‱ c  U ∩ V   如下：取单位分解{ρU , ρV }‮ 对任意 ω ∈ Z k c  M ，有 ρU ω ∈ Z k c  U ‬ ρV ω ∈ Z k c  V  ‮ 因为 d ρU ω  ‽ −d ρV ω ，所以 d ρU ω  ∈ Z k‫‱ c  U ∩ V  ‮ 定义 δ c k  ⁛ω⁝  ›‽ ⁛d ρU ω ⁝. 可以验证 δ c k 是良定的‮ 并得到相应的 ⁍⁡⁹⁥⁲‭⁖⁩⁥⁴⁯⁲⁩⁳ 序列 ″：定理 6.3.7. (紧支 de Rham 上同调的 Mayer-Vietoris序列) ♡ 设 U‬ V 是 M 的开覆盖，则 · · · δ c k−1 −→ Hk c  U ∩ V   β c k −→ Hk c  U  ⊕ Hk c  V   α c k −→ Hk c  M  δ c k −→ Hk‫‱ c  U ∩ V   β c k+1 −→ · · · 是正合列‮ 3注意对于固定的 k，这个紧支集de Rham上同调群的 Mayer-Vietoris 序列与通常 de Rham 上同调群的 Mayer-Vietoris 序列具有“相反的方向”，因为此处用的是扩张而不是限制. ‱‷′

‶‮″ 紧支集⁤⁥ ⁒⁨⁡⁭上同调群特别地，结合定理‶‮″‮‶，可以很容易用归纳法证明定理 6.3.8. (有限好覆盖→有限维) ♡ 如果 M 有一个有限好覆盖，则对所有 k 都有 ⁤⁩⁭ Hk c  M  < ∞‮ 以及证明定理 6.3.9. (紧支 de Rham 上同调群的 K¨unneth 公式) ♡ 如果 M, N 都具有“有限好覆盖”，则H∗ c  M ×N  ‽ H∗ c  M ⊗H∗ c  N ‮ 换而言之，对所有‰ ≤ k ≤ ⁤⁩⁭ M ‫ ⁤⁩⁭ N‬ 有 Hk c  M × N  ≃ M k i‽‰ Hi c  M  ⊗ Hk−i c  N . ¶ 积分映射在计算Hm c  R m 时，主要的工具是积分映射‮ 下面把该工具发展到一般的定向流形上‮ 为此，设 M 是 m 维连通定向流形， ω ∈ m c  M  是具有紧支集的最高阶微分形式，则 ω 是闭的，且有积分映射 ˆ M › m c  M  → R, ω 7→ ˆ M ω. 如果进一步设 ω ∈ Bm c  M ，即存在 η ∈ m−‱ c  M  使得 ω ‽ dη，则可以取 M 中带有光滑边界的紧集 K，使得 K ⊃ ⁳⁵⁰⁰ η ‮ 根据 ⁓⁴⁯⁫⁥⁳ 公式，有 ˆ M ω ‽ ˆ M dη ‽ ˆ K dη ‽ ˆ ∂K η ‽ ‰. 所以 ´ M 诱导了线性映射 ˆ M › Hm c  M  → R, ⁛ω⁝ 7→ ˆ M ω. 命题 6.3.10. (积分映射是满射) ♠ 设 M 是 m 维连通定向光滑流形‬ 则上述积分映射 ´ M › Hm c  M  → R 是满射‮ 证明取定 M 上的体积形式 ω‮ 对任意 c，不难构造支集落在一个坐标卡 U 中的紧支光滑函数 f，使得 ´ fω ‽ c‮ □ 由此可以给出特定流形上恰当紧支最高阶微分形式的积分刻画：推论 6.3.11. (积分为零的最高阶形式是恰当的) ♡ 设 M 是 m 维连通定向光滑流形，ω ∈ m c  M ，且Hm c  M  ≃ R‮ 则 ω ∈ Bm c  M  当且仅当 ´ M ω ‽ ‰‮ 证明由 ´ M 是线性满射以及条件“Hm c  M  ≃ R”可知 ´ M 是线性同构‮ 所以 ´ M ω ‽ ‰当且仅当 ⁛ω⁝ ‽ ‰，即 ω 是恰当的‮ □ ‱‷″