《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章光滑向量场 3.1 光滑向量场.pdf_大学文库

3.1光滑向量场流形上的光滑向量场光滑向量场在平面或者高维欧氏区域的分析理论中起到了非常重要的作用。根据定义，欧氏区域V上的一个光滑向量场指的是“在区域中每一点都指定一个向量，且这些向量光滑依赖于基点”1。此处，向量光滑依赖于基点的准确含义如下：如果将向量场表示为aai(r) rXr =那么每个系数函数ai(r）都光滑地依赖于EV.这里用“偏导数”取代欧式空间中向量ei表示向量场的优势在于：X不仅仅是一族“几何的箭头”，还是作用在Cα(V）的一阶微分算子（这再次说明了向量场在分析中的重要性)下面在流形上定义光滑向量场。显然，只要“光滑地”在每点pEM指定一个向量XET，M，得到的就是光滑向量场。如何“光滑地”指定呢？在欧氏空间情形，是用整体定义的坐标向量场为“标杆”定义光滑性。对于流形，并没有整体定义的坐标向量场，但这也无妨，因为光滑性本身就是局部性质，而在光滑流形上，局部确实有坐标向量场！于是，下面这个定义就是非常自然的：定义3.1.2.（流形上的光滑向量场）若对光滑流形M上每一点都指定了一个切向量X,ET,M，则称X为M上的一个向量场。若该指定还满足如下的光滑性条件，对于M上的任意坐标卡（o,U,V)，若记Xp = X'(p)1 ++ X"(p)an = x(p)ai则系数函数X,Xn都是U上的光滑函数，则称X为M上的一个光滑向量场M上全体光滑向量场的集合记为Tα(TM)，它有一个非常好的代数结构：Xi,X2ET(TM),fi,f2EC(M)→fiX1+f2X2ET(TM)这说明Tα(TM）不仅仅是一个（无穷维）向量空间，而且它还是代数Co（M）上的模上述定义中有一个潜在的问题：验证向量场的光滑性时，是否真的需要对每个坐标卡都验证光滑性条件，还是只要对一族覆盖M的坐标卡验证光滑性条件就够了？由两个坐标卡相交处转移映射的光滑性，不难验证坐标向量场之间的变换也是光滑的，于是下述命题是显然的：命题3.1.3.（光滑性判据1）若X是M上的一个向量场，且存在覆盖M的一族坐标卡，使得在每个坐标卡中X满足上述光滑性条件，则X是M上的光滑向量场。金以下在提到向量场时，如无例外说明，总是默认是光滑向量场1当然，也可以定义连续向量场甚至是不连续向量场.但是除非额外说明，在本书中只考虑光滑的对象69

3.1 光滑向量场 ¶ 流形上的光滑向量场光滑向量场在平面或者高维欧氏区域的分析理论中起到了非常重要的作用。根据定义，欧氏区域 V 上的一个光滑向量场指的是“在区域中每一点都指定一个向量，且这些向量✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 光滑依赖于基点”1。此处，向量光滑依赖于基点的准确含义如下：如果将向量场表示为 Xx = Xn i=1 ai(x) ∂ ∂xi x , 那么每个系数函数 ai(x) 都光滑地依赖于 x ∈ V . 这里用“偏导数”取代欧式空间中向量 ei 表示向量场的优势在于: X 不仅仅是一族“几何的箭头”, 还是作用在 C∞(V ) 的一阶微分算子 (这再次说明了向量场在分析中的重要性). 下面在流形上定义光滑向量场。显然，只要“光滑地”在每点 p ∈ M 指定一个向量 Xp ∈ TpM，得到的就是光滑向量场。如何“光滑地”指定呢？在欧氏空间情形，是用整体定义的坐标向量场 ∂ ∂xi 为“标杆”定义光滑性。对于流形，并没有整体定义的坐标向量场，但这也无妨，因为光滑性本身就是局部性质，而在光滑流形上，局部确实有坐标向量场！于是，下面这个定义就是非常自然的：定义 3.1.2. （流形上的光滑向量场） ♣ 若对光滑流形 M 上每一点都指定了一个切向量 Xp ∈ TpM，则称 X 为 M 上的一个向量场。若该指定还满足如下的光滑性条件，对于 M 上的任意坐标卡 (ϕ, U, V )，若记 Xp = X1 (p)∂1 + · · · + Xn (p)∂n = X i Xi (p)∂i , 则系数函数 X1 , · · · , Xn 都是 U 上的光滑函数, 则称 X 为 M 上的一个光滑向量场. M 上全体光滑向量场的集合记为 Γ∞(TM)，它有一个非常好的代数结构: X1, X2 ∈ Γ ∞(TM), f1, f2 ∈ C ∞(M) =⇒ f1X1 + f2X2 ∈ Γ ∞(TM). 这说明 Γ∞(TM) 不仅仅是一个 (无穷维) 向量空间, 而且它还是代数 C∞(M) 上的✿✿模. 上述定义中有一个潜在的问题：验证向量场的光滑性时，是否真的需要对每个坐标 ✿✿✿✿ 卡都验证光滑性条件，还是只要对一族覆盖 M 的坐标卡验证光滑性条件就够了？由两个坐标卡相交处转移映射的光滑性，不难验证坐标向量场之间的变换也是光滑的，于是下述命题是显然的：命题 3.1.3. (光滑性判据 I) ♠ 若 X 是 M 上的一个向量场，且存在覆盖 M 的一族坐标卡，使得在每个坐标卡中 X 满足上述光滑性条件，则 X 是 M 上的光滑向量场。以下在提到向量场时，如无例外说明，总是默认是光滑向量场. 1当然，也可以定义连续向量场甚至是不连续向量场. 但是除非额外说明，在本书中只考虑光滑的对象. 69

3.1光滑向量场3.1.2光滑向量场的多副面孔作为切丛光滑截面的光滑向量场回忆一下，如果把所有点处的切空间都放在一起，所得的集合TM上可被赋予光滑流形的结构，使得典范投影:TM→M, (p,Xp)=p是一个淹没映射。TM就是流形M的切丛。另一方面，注意到“赋予每点pEM一个向量X，ET,M”等价于说“给定一个满足元oX=Id的映射X：M→TM”，一般地定义3.1.4.（切丛的截面）若映射X：M→TM满足元。X=Id，则称X为切丛TM的一个截面.若X还是光滑映射，则称它为TM的一个光滑截面。品显然TM的截面就是流形M上的向量场。下面证明切丛TM的光滑截面跟M的光滑向量场是同义词，从而给出了向量场光滑性的另一个刻画（这也是记号T（TM）的真正含义）：命题3.1.5.（光滑向量场=切丛的光滑截面）X是M上的光滑向量场当且仅当它是切丛TM的光滑截面一证明设（,U,V）是M的一个局部坐标卡，则(T,元-1(U),V×R"）是TM的一个局部坐标卡，其中T由下式给出To(p, Xp) = (o(p), dep(Xp))其中当视作 R"中的向量时,dp(X,)应该被解释为 dp(X,)在基最下的系数：根1o(p)据定义dp(a）=最，从而由dpp的线性性可知0Xp=x(p)(0)p = dp(Xp)=Zx(o-(a) arie(p)因此，映射X在局部坐标系下的表达式是TooXo0-1(rl,...,rn) =(rl,...,r",X(-1()), ...,Xn(o-1()))口于是映射X：M→TM是光滑映射当且仅当所有的系数Xi是光滑的注3.1.6.注意即使向量场X是整体定义的（即处处有定义并且独立于局部坐标卡选取)，坐标向量场；和X在它们下的系数X都仅仅是局部定义的（即仅定义在U上并且依赖于坐标卡映射的选取）：虽然在每个坐标卡中都能将任意向量场X写成n个特殊向量场（例如坐标向量场）的线性组合，一般而言不存在恰好n个在M上的整体定义的向量场，使得任意向量场都能写成它们的线性组合：后者需要对M加上非常强的拓扑限制才能做到。70

3.1 光滑向量场 3.1.2 光滑向量场的多副面孔 ¶ 作为切丛光滑截面的光滑向量场回忆一下，如果把所有点处的切空间都放在一起，所得的集合 TM 上可被赋予光滑流形的结构，使得典范投影 π : TM → M, π(p, Xp) = p 是一个淹没映射。TM 就是流形 M 的切丛。另一方面，注意到“赋予每点 p ∈ M 一个向量 Xp ∈ TpM”等价于说“给定一个满足 π ◦ X = Id 的映射 X : M → TM”. 一般地, 定义 3.1.4. （切丛的截面） ♣ 若映射 X : M → TM 满足 π ◦ X = Id，则称 X 为切丛 TM 的一个截面. 若 X 还是光滑映射，则称它为 TM 的一个光滑截面。显然 TM 的截面就是流形 M 上的向量场。下面证明切丛 TM 的光滑截面跟 M 的光滑向量场是同义词，从而给出了向量场光滑性的另一个刻画（这也是记号 Γ∞(TM) 的真正含义）：命题 3.1.5. (光滑向量场 = 切丛的光滑截面) ♠ X 是 M 上的光滑向量场当且仅当它是切丛 TM 的光滑截面. 证明设 (ϕ, U, V ) 是 M 的一个局部坐标卡, 则 (T ϕ, π−1 (U), V × R n ) 是 TM 的一个局部坐标卡, 其中 T ϕ 由下式给出 T ϕ(p, Xp) = (ϕ(p), dϕp(Xp)), 其中当视作 R n 中的向量时, dϕp(Xp) 应该被解释为 dϕp(Xp) 在基 ∂ ∂xi φ(p) 下的系数. 根据定义 dϕ(∂i) = ∂ ∂xi , 从而由 dϕp 的线性性可知 Xp = XXi (p)(∂i)p =⇒ dϕp(Xp) = XXi (ϕ −1 (x)) ∂ ∂xi φ(p) . 因此，映射 X 在局部坐标系下的表达式是 T ϕ ◦ X ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xn ) = x 1 , · · · , xn , X1 (ϕ −1 (x)), · · · , Xn (ϕ −1 (x)) . 于是映射 X : M → TM 是光滑映射当且仅当所有的系数 Xi 是光滑的. □ 注 3.1.6. 注意即使向量场 X 是整体定义的 (即处处有定义并且独立于局部坐标卡选取), 坐标向量场 ∂i 和 X 在它们下的系数 Xi 都仅仅是局部定义的 (即仅定义在 U 上并且依赖于坐标卡映射的选取). 虽然在每个坐标卡中都能将任意向量场 X 写成 n 个特殊向量场 (例如坐标向量场) 的线性组合，一般而言不存在恰好 n 个在 M 上的整体定义的向量场，使得任意向量场都能写成它们的线性组合：后者需要对 M 加上非常强的拓扑限制才能做到。 70

3.1 光滑向量场 ¶ 作为导子的光滑向量场还可以用定义2.1.4中导子的语言理解向量场。因为代数 C∞(M) 是它自身的双模，所以根据该定义，任意满足 Leibniz 法则 D(fg) = (Df)g + f(Dg), ∀f, g ∈ C ∞(M) 的线性映射 D : C∞(M) → C∞(M) 是 C∞(M) 的取值于它自身的一个导子。另一方面，设 X 为光滑流形 M 上 (未必光滑) 的向量场. 对于任意 f ∈ C∞(M) 以及任意 p ∈ M，向量 Xp 作用在 f 上会给出了一个数 Xp(f) ∈ R. 因此 X 将 M 上的光滑函数 f 映为到函数 Xf : M → R, p 7→ Xf(p) := Xp(f). 显然，若 X 是光滑的，则 Xf 是光滑的。事实上，命题 3.1.7. (光滑性判据 II) ♠ 光滑流形 M 上的向量场 X 光滑当且仅当对任意 f ∈ C∞(M)，都有 Xf ∈ C∞(M). 证明练习. [提示: 如何得到向量 Xp 在局部坐标下的系数 X i ? 参见定理2.4.6的证明！] □ 于是 M 上的每个光滑向量场都给出了一个线性映射 X : C ∞(M) → C ∞(M), f 7→ Xf. 此外，根据切向量 Xp : C∞(M) → R 所满足的 Leibniz 法则, 立刻可知向量场 X 满足 Leibniz 法则 X(fg) = fX(g) + X(f)g, ∀f, g ∈ C ∞(M) 因此 M 上的光滑向量场 X 都是 C∞(M) 的取值于它自身的一个导子. 反之，命题 3.1.8. （光滑向量场 = 导子） ♠ X 是 M 上的光滑向量场当且仅当它是 C∞(M) 的取值于它自身的导子. 证明只需证明 C∞(M) 的取值于它自身的导子 D 都是 M 上的光滑向量场。为此，对于任意 p ∈ M, 定义 Xp : C ∞(M) → R, Xp(f) := Df(p). 不难验证 Xp 是 C∞(M) 上取值于 R 的一个导子，从而由定义2.1.5，Xp 是在 p 处的切向量. 由此可得 M 上的向量场 X, 它的光滑性可由命题3.1.7得到. □ 这可以作为光滑向量场的第三种 (等价的) 定义. ¶ 光滑流形上的微分算子在 U ⊂ R m 上的 n 阶微分算子 P 指的是以下形式的算子 P = X |j|≤n aj (x 1 , · · · , xm) Å ∂ ∂x1 ãj1 · · · Å ∂ ∂xm ãjm , 71

3.1 光滑向量场其中为了简单起见，总假设系数 aj 是光滑的，从而 P 是一个从 C∞(U) 到 C∞(U) 的一个线性算子。类似地，可以定义定义 3.1.9. （流形上的微分算子） ♣ 若线性映射 P : C∞(M) → C∞(M) 在局部上具有以上形式，即在任意局部坐标卡 (ϕ, U, V ) 中 P 可以被表示为 (其中为了方便起见依然假设 aj ∈ C ∞(U)) P = X |j|≤n aj (p) (∂1) j1 · · ·(∂m) jm , 则称 P 为光滑流形 M 上的 n 阶微分算子。. 因此根据定义，M 上的光滑向量场都是 M 上 (特殊) 的一阶微分算子. 一般地，如果 X1, · · · , Xn 是 M 上的光滑向量场, 那么复合映射 X1 ◦ · · · ◦ Xn 是 M 上的 n 阶微分算子. 反过来，应用单位分解不难证明，任意 n 阶微分算子在局部上可以被表示成“至多 n 个光滑向量场的复合”的线性组合 (其中我们视“乘以光滑函数”为“用 0 个向量场作用在光滑函数上”)。注 3.1.10. 注意到根据定义，任意微分算子满足下面的局部性: supp(P f) ⊂ supp(f), ∀f ∈ C ∞(M). Peetre 证明反方向也是正确的，光滑流形 M 上任意满足上述局部性的线性映射 P : C∞(M) → C∞(M) 都是 M 上的一个微分算子。这可被视为是流形上微分算子 (以及更一般的向量丛截面上的微分算子) 的内蕴定义。 3.1.3 光滑向量场的 Lie 括号 ¶ 向量场的可交换性在多元微积分中的一个非常重要的性质是任意两个偏导数都可交换，即 ∂ ∂xi ∂ ∂xj = ∂ ∂xj ∂ ∂xi , ∀i, j. 该性质对于流形上任意给定局部坐标系中的坐标向量场也成立：引理 3.1.11. （坐标向量场的可交换性） ♦ 对于任意坐标卡 (ϕ, U, V ) 以及任意 1 ≤ i, j ≤ m, 都有 ∂i∂j = ∂j∂i . 证明对于任意 f ∈ C∞(U), ∂i∂jf = ∂i ï ∂(f ◦ ϕ −1 ) ∂xj ◦ ϕ ò = ∂ h ∂(f◦φ−1 ) ∂xj ◦ ϕ ◦ ϕ −1 i ∂xi ◦ ϕ = ∂ 2 (f ◦ ϕ −1 ) ∂xi∂xj ◦ ϕ, 于是由欧氏空间结论可知引理成立。 □ 类似地，任给两个向量场 X, Y ∈ Γ∞(TM), 可以定义 XY 为如下的复合映射 XY : C ∞(M) → C ∞(M), f 7→ X(Y f). 然而，一般地，对于两个向量场而言，XY 与 Y X 是不同的： 72

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第3章 光滑向量场 3.1 光滑向量场

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