1.3 单位分解及其应用 1.3 单位分解及其应用 本节研究光滑流形上一类非常常用的函数—–鼓包函数，证明光滑流形上最重要的工 具之一—–单位分解，并给出单位分解在函数逼近方面的应用。 1.3.1 鼓包函数 对于任意 f ∈ C∞(M)，定义 f 的支集为如下集合 supp(f) = {p ∈ M | f(p) 6= 0}. 若 f 的支集是 M 的紧子集，则称 f 是紧支的. M 上全体紧支光滑函数的集合记为 C∞ 0 (M). 不难发现 C∞ 0 (M) 是代数 C∞(M) 的一个理想： 如果 f, g ∈ C∞ 0 (M), 那么 af + bg ∈ C∞ 0 (M). 如果 f ∈ C∞ 0 (M), g ∈ C∞(M), 那么 fg ∈ C∞ 0 (M). 注意到如果 M 是紧致的，那么 M 上任意一个光滑函数都是紧支的. 紧支光滑实值函数也被称为鼓包函数 (或者测试函数). 在很多具体问题中，往往会 假设鼓包函数具有一些特殊的性质，例如 是非负的， 值不超过 1， 在一个给定的紧集上等于 1，或者其积分值为 1 等. ¶ 欧氏鼓包函数 下面在 R n 上构造鼓包函数。首先考虑定义在 R 上的函数 f1(x) = e −1/x, x > 0 0, x ≤ 0 这个函数在 x 6= 0 出显然是光滑的。在 x = 0 出，注意到 e −1/x 的各阶导数都形如 e −1/xP(1/x)，其中 P 是多项式，于是函数 f1 在 x = 0 处也是光滑的。(当然，f1 在 x = 0 处不是解析函数，因为在该点处其各阶导数都是 0。) 由于 f1(x) 是非负光滑函数，且当 x ≤ 0 时 f1(x) = 0，故函数 f2(x) = f1(x) f1(x) + f1(1 − x) 也是非负光滑函数，其值域为 [0, 1]，且满足 当 x ≤ 0 时 f2(x) = 0, 当 x ≥ 1 时 f2(x) = 1. 最后，为了得到 R n 上的紧支光滑函数，定义 f3(x) = f2(2 − |x|). 由 f2 的性质易见 f3(x) 是 R n 上的一个光滑函数，其值域为 [0, 1]，且满足 当 |x| ≤ 1 时 f3(x) = 1, 当 x ≥ 2 时 f3(x) = 0. 这就是我们需要的鼓包函数。 20
1.3 单位分解及其应用 这三个函数 f1, f2 和 f3 (在 n = 1 时) 的图像如下所示： 图 1.6: f1 的图像 图 1.7: f2 的图像 图 1.8: f3 的图像 ¶ 光滑流形上的鼓包函数 借助欧氏空间中的鼓包函数，可以在任意光滑流形上构造鼓包函数，使得它的支集 落在任意事先给定的开集内，且在另一个给定的稍小的紧集上“值恒等于 1”. 定理 1.3.1. （特定鼓包函数的存在性） ♥ 令 M 是光滑流形，K ⊂ M 是一个紧集，而 U ⊂ M 是一个包含 A 的开子集，则 存在鼓包函数 ϕ ∈ C∞ 0 (M) 使得 0 ≤ ϕ ≤ 1, 在 A 上 ϕ ≡ 1 并且 supp(ϕ) ⊂ U. [证明思路：用有限个小区域覆盖紧集 K，其中每个小区域都包含于一个 (特别选取的) 坐标卡，然后将之 前构造的“欧氏空间中的鼓包函数”复制到这些小区域上. ] 证明 对于任意 x ∈ A, 存在 q 附近的坐标卡 (ϕq, Uq, Vq) 使得 Uq ⊂ U, 并且 Vq 包含于 R n 中半径为 3，球心为 0 的开球 B3(0). 令 U ‹ q = ϕ −1 q (B1(0)), fq(p) = f3(ϕq(p)), p ∈ Uq, 0, p /∈ Uq. 则在 U ‹ q 上 fq ≡ 1. 此外， fq ∈ C∞ 0 (M)：由定义，fq 在 ϕ −1 q (B2(0))c 上恒等于 0。由 B2(0) 的紧性以及 ϕ −1 q (视 为从 Vq 到 M 的映射，即复合上从 Uq 到 M 的包含映射) 的连续性知 ϕ −1 q (B2(0)) 是 M 的 紧子集。从而由 M 的 Hausdorff 性质可知 ϕ −1 q (B2(0)) 是 M 的闭子集2。于是 fq 在开集 ϕ −1 q (B2(0))c 上恒等于 0。由粘接引理可知 fq ∈ C∞ 0 (M)。 supp(fq) ⊂ Uq：由 Hausdorff 性质可知任意 p 6∈ ϕ −1 q (B2(0)) 都有一个开邻域跟 ϕ −1 q (B2(0)) 不交。于是 supp(fq) = ϕ −1 q (B2(0)) ⊂ ϕ −1 q (B2(0)) ⊂ Uq. 注意由 ϕ −1 q 的连续性，ϕ −1 q (B2(0)) ⊂ ϕ −1 q (B2(0)). 于是 supp(fq) = ϕ −1 q (B2(0)) 是紧集。 因为 {U ‹ q}q∈A 是 A 的一族开覆盖，而 A 是紧致的，所以存在一个有限子覆盖 {U ‹ q1 , · · · ,U ‹ qN }. 令 ψ = PN i=1 fqi，则 ψ 是 M 上的紧支光滑函数，在 A 上 ψ ≥ 1， 并且 supp(ψ) ⊂ U. 因此 ϕ(p) := f2(ψ(p)) 满足定理中的所有条件. □ 作为该定理的一个简单推论，不难发现鼓包函数非常多：只要 dim M > 0，向量空 间 C∞ 0 (M)(以及 C ∞(M)) 就是无穷维的. 2注意对于非 Hausdorff 的局部欧空间，例如有两个原点的直线，这种“开子集的紧/闭子集”未必是原空间 的闭集，从而所构造的函数未必连续。 21
1.3 单位分解及其应用 1.3.2 单位分解 ¶ 单位分解 在上述证明中用到的事实是：对于任意紧集 K ⊂ M, 总可以用有限个“好的坐标邻 域”去覆盖它，而每个好邻域中又可以构造出好的“局部”函数. 通过将这些 (有限个) 好的局部函数相加，最终可以得到一个在整个 M 上的整体定义的函数，使之在 K 上具 有良好性质. 事实上，还可以将相同的想法用在整个流形 M 上：我们完全可以从无穷个光滑函 数出发，这要这些函数满足局部有限性，即“在每一点✿✿✿✿ 附近只有有限个函数的值非 0”， 那就可以将它们相加并得到一个整体的光滑函数. 更重要地是，还可以利用这样一族函 数，将“局部定义”的几何/分析对象“粘合”成整体定义的对象. 定义 1.3.2. （(光滑) 单位分解） ♣ 令 M 为一个光滑流形，{Uα} 是 M 的一个开覆盖. 若 {ρα} 是一族定义在整个流 形 M 上光滑函数，且满足 (1) 对于任意 α, 0 ≤ ρα ≤ 1. (2) 对于任意 α, supp(ρα) ⊂ Uα. (3) 任意一点 p ∈ M 都存在一个只与有限个 supp(ρα) 相交的邻域. (4) 对于任意 p ∈ M, P α ρα(p) = 1. 则称 {ρα} 为一个从属于 {Uα} 的 (光滑) 单位分解(简记为 P.O.U.)a a本书在讨论 P.O.U. 的时候，始终默认是光滑单位分解. 关于仿紧空间上的连续函数的单位分解的理 论可以参考作者的拓扑学教材. 注 1.3.3. 局部有限性条件 (3) 有两个很重要的推论：若对于任意 p，取定一个仅与有 限多个 supp(ρα) 相交的开邻域 Wp，则 因为 {Wp}p∈M 构成了 M 的一个开覆盖，而 M 是第二可数的，所以存在可数个开 集 Wpi 构成 M 的开覆盖. 又因为每个 Wpi 都仅与有限个 supp(ρα) 相交，所以仅 有可数个 ρα 的支集是非空的. 换而言之，即使我们一开始选择的开覆盖 {Uα} 中 有不可数个开集，单位分解过程自动“删除了”它们中的绝大多数，使得仅有可数 个开集保留下来 (它们仍然构成了 M 的开覆盖). 对于任意一点 p, 在开集 Wp 上，(4) 中的求和式[这个求和看上去可能是一个不可数求和， 或者根据上一段，可以是一个可数无限求和] 事实上只是一个有限求和. 这个事实在应用单 位分解时往往是至关重要的. 本节的主要目的是证明： 定理 1.3.4. （单位分解的存在性） ♥ 对于任意光滑流形 M 以及 M 的任意一个开覆盖 {Uα}，均存在从属于 {Uα} 的 一个（光滑）单位分解. 22
1.3 单位分解及其应用 ¶ 单位分解存在性的证明 单位分解定理的证明依赖于以下来自点集拓扑的技术性引理： 引理 1.3.5. （两族加细覆盖） ♦ 对于拓扑流形 M 的任意开覆盖 U = {Uα}, 存在 M 的两族可数开覆盖 V = {Vj} 和 W = {Wj}，使得 (1) 对于任意的 j, V j 是紧致的，并且 V j ⊂ Wj . (2) W 是 U 的一个加细: 对于任意的 j, 存在一个 α = α(j) 使得 Wj ⊂ Uα. (3) W 是局部有限的: 任意 p ∈ M 均有一个邻域 Wp，使得仅有有限个 Wj 满足 Wp ∩ Wj 6= ∅. 下面先用这个引理证明定理1.3.4，然后再证明引理1.3.5。 证明 【定理1.3.4的证明】因为 V j 是紧集并且 V j ⊂ Wj , 根据定理1.3.1，存在非负函数 ϕj ∈ C∞ 0 (M) 使得 0 ≤ ϕj ≤ 1, 在 V j 上 ϕj ≡ 1, supp(ϕj ) ⊂ Wj . 因为 W 是一个局部有限覆盖，函数 ϕ := X j ϕj 是 M 上良好定义的光滑函数. 因为每个 ϕj 是非负的，而 V 是 M 的一个开覆盖, 故 ϕ 是 M 上的严格正函数，从而函数 ψj := ϕj ϕ 是光滑的，并且满足 0 ≤ ψj ≤ 1 和 P j ψj = 1. 下面通过对函数族 {ψj} 重新编号, 得到从属于开覆盖 {Uα} 的单位分解. 对于任意 的 j, 先固定一个指标 α(j)，使得 Wj ⊂ Uα(j) , 然后定义 ρα := X α(j)=α ψj . 注意上式右侧在每一点的附近都是一个有限求和，因此定义了一个光滑函数. 由 W 的局 部有限性， suppρα = [ α(j)=α suppψj = [ α(j)=α suppψj = [ α(j)=α suppψj ⊂ Uα, 其中第二个等号的原因是“局部有限集族的并集的闭包等于其闭包的并”(如果没有见过这 个结论，请尝试证明之。) 于是函数族 {ρα} 就是一个从属于 {Uα} 的单位分解. □ 23
1.3 单位分解及其应用 ¶ 引理1.3.5的证明 下面证明引理1.3.5. 这一证明是非常“几何”的. 首先证明 引理 1.3.6. （穷竭的存在性） ♦ 对于任意拓扑流形 M, 存在一个可数开集族 {Xi} 使得 (1) 对于任意 j, Xj 的闭包 Xj 是紧致的. (2) 对于任意 j, Xj ⊂ Xj+1. (3) M = ∪jXj . 这样一个子集族被称为 M 的一个穷竭. 证明 因为 M 是第二可数的，所以有一个可数的拓扑基. 在这个可数开集族中，选取 那些闭包是紧致集的开集，并将它们记为 Y1, Y2, · · · . 因为 M 是局部欧氏的，容易看到 Y = {Yj} 是 M 的一个开覆盖. 令 X1 = Y1. 因为 Y 是紧集 X1 的开覆盖，存在有限个 开集 Yi1 , · · · , Yik 使得 X1 ⊂ Yi1 ∪ · · · ∪ Yik . 令 X2 = Y2 ∪ Yi1 ∪ · · · ∪ Yik . 显然 X2 是紧致的. 重复这一过程，可得一列满足 (1) 和 (2) 的开集 X1, X2, X3, · · · . 它 还满足 (3) 是因为 Xk ⊃ ∪k j=1Yj . □ 最后我们完成证明： 证明 【引理1.3.5的证明】对于任意 p ∈ M, 存在 j 和 α(p) 使得 p ∈ Xj+1 \ Xj 和 p ∈ Uα(p) . 因为 M 是局部欧氏的，可以选取 p 的开邻域 Vp, Wp 使得 V p 是紧致的，且 V p ⊂ Wp ⊂ Uα(p) ∩ (Xj+2 \ Xj−1). 图 1.9: 邻域示意图 对于任意 j, 因为“环状区域”Xj+1\Xj 是紧致的，所以可以选取有限个点 p j 1 , · · · , p j kj 使得 V p j 1 , · · · , Vp j kj 是 Xj+1 \ Xj 的一个开覆盖. 将全体的 V p j k 记为 V1, V2, · · · , 并且将对 应的 W p j k 记为 W1, W2, · · · . 则 V = {Vk} 和 W = {Wk} 都是 M 的开覆盖，它们满足引 理1.3.5中的所有条件. 例如，W 的局部有限性来自于“仅有有限多个 Wk(对应于上文中 的 j − 2,j − 1,j 和 j + 1) 与 Xj+1 \ Xj−1 相交”. □ 24
1.3 单位分解及其应用 1.3.3 单位分解的应用 局部上每个流形看起来都像 R n , 从而可以在上面定义各种各样的数学结构. 单位分 解是用于把局部光滑对象“粘合”成整体光滑对象的强力工具. 后文将会见到很多这样 的例子，例如 通过光滑函数/映射去逼近连续函数/映射. 在局部坐标卡上定义微分形式的积分，然后应用单位分解建立流形上微分形式的积 分理论. (在后续的黎曼几何等课程中) 构造黎曼度量，线性联络，定义流形上的 Sobolev 空 间等. ¶ 光滑 Urysohn 引理 作为单位分解的一个直接应用，可以把定理1.3.1 推广到 A 是闭集的情形： 推论 1.3.7. （特定鼓包函数的存在性：闭集情形） ♥ 令 M 是光滑流形，A ⊂ M 是一个闭集，而 U ⊂ M 是一个包含 A 的开子集，则 存在鼓包函数 ϕ ∈ C∞ 0 (M) 使得 0 ≤ ϕ ≤ 1, 在 A 上 ϕ ≡ 1 并且 supp(ϕ) ⊂ U. 证明 显然 {U, M \A} 是 M 的一个开覆盖. 令 {ρ1, ρ2} 为一个从属于这个开覆盖的单位 分解，则函数 ϕ := ρ1 就是所需的鼓包函数：ρ1 是光滑函数，0 ≤ ρ1 ≤ 1, supp(ρ1) ⊂ U, 而且在 A 上 ρ1 = 1（因为在 A 上有 ρ2 = 0）. □ 注意到这个推论蕴含光滑版本的 Urysohn 引理：对于光滑流形 M 的任意不交闭集 A 与 B，存在光滑函数 f : M → [0, 1] 使得 f 在 A 上取值为 0，在 B 上取值为 1. 更进一步地，由光滑流形的可度量性可知光滑流形上的闭集都是 Gδ 集。于是跟点 集拓扑中的情形类似 (但稍微更复杂一点，因为需要处理各阶导数的收敛性)，可以证明 (细节留作习 题) 命题 1.3.8. （强光滑 Urysohn 引理） ♠ 对于光滑流形 M 的任意不交闭集 A 与 B，存在光滑函数 f : M → [0, 1] 使得 f −1 (0) = A, f −1 (1) = B. ¶ 函数的逼近 接下来考虑用流形上的光滑函数逼近连续函数这个重要问题。若 M 是紧致光滑流 形，则由上述构造的鼓包函数知 C∞(M) 是 C 0 (M) 的一个无处消失且分离点的子代数， 于是由紧 Hausdorff 空间的 Stone-Weierstrass 引理可知 C∞(M) 在 C 0 (M) 中（关于最 大值范数）稠密，即对于任意 δ > 0，以及 M 上的任意连续函数 g，存在 M 上的光滑 函数 f 使得 |f(p) − g(p)| < δ, ∀p ∈ M. 25
1.3 单位分解及其应用 上述论证不适用于非紧流形情形。下面应用单位分解定理统一处理光滑流形上连续 函数的光滑逼近问题： 定理 1.3.9. （连续函数的 Whitney 逼近定理） ♥ 设 M 是光滑流形. 则对于任意连续函数 g : M → R 和任意恒正连续函数 δ : M → R>0, 存在光滑函数 f : M → R 使得对所有 p ∈ M，均有 |f(p) − g(p)| 0, 存在光滑函数 f : M → R 使得 (1) 对于所有 p ∈ A，有 f(p) = g(p). (2) 对于所有 p ∈ M，有 |f(p) − g(p)| < δ(p). [证明思路：对于每点 p，可以找到一个包含 p 的非常小的开集 Up 使得 g 在 Up 上“几 乎是常数”. 那么在 Up 上可以用常值函数 f(·) ≡ g(p) (在 Up 上) 逼近 g. 然后将所有常 值函数通过从属于开覆盖 {Up} 的单位分解 ρp“粘合”.] 证明 根据定义，存在开集 U ⊃ A 和 U 上的光滑函数使得在 A 上有 g0 = g. 令 U0 = {p ∈ U : |g0(p) − g(p)| < δ(p)}. 那么 U0 在 M 中是开集并且 U0 ⊃ A. 接下来构造 M \A 的一个 (好的) 开覆盖. 对于任意 q ∈ M \A, 令 Uq = {p ∈ M \A : |g(p) − g(q)| < δ(p)}. 则 {Uq | q ∈ M \A} 是 M \A 的开覆盖. 由 M 的第二可数性知, 可以找到可数多个形如 Uqi , i = 1, 2, · · · , 的开集可以覆盖 M \A. 令 {ρ0, ρi} 为从属于 M 的开覆盖 {U0, Uqi : i = 1, 2, · · · } 的单位分解, 并且定义 f(p) = ρ0(p)g0(p) +X i≥1 ρi(p)g(qi). 因为求和是局部有限的，f 是 M 上的光滑函数. 同样根据定义, 在 A 上有 f = g0 = g. 26
1.3 单位分解及其应用 此外，对于任意 p ∈ M，有 |f(p) − g(p)| = ρ0(p)g0(p) +X i≥1 ρi(p)g(qi) − X i≥0 ρi(p)g(p) ≤ ρ0(p)|g0(p) − g(p)| + X i≥1 ρi(p)|g(qi) − g(p)| 0, 存在光滑映射 f : M → R K 使得 (1) 对于所有 p ∈ A，有 f(p) = g(p). (2) 对于所有 p ∈ M，有 |f(p) − g(p)| < δ(p). 定理1.3.11同样蕴含 Tietze 扩张定理的光滑版本: 定理 1.3.13. (光滑 Tietze 扩张定理) ♥ 设 A 是光滑流形 M 中的闭子集，而 f 是 A 上的一个光滑函数，则存在 g ∈ C∞(M) 使得在 A 上有 f = g. 证明 由拓扑学中的 Tietze 扩张定理，存在 M 上的连续函数 f1 使得在 A 上 f1 = f。 再应用定理1.3.11即得欲证。 □ 注 1.3.14. 上述定理中的条件“函数在一个闭子集上光滑”还可以被减弱： 定理 1.3.15. （Whitney 扩张定理） ♥ 令 A ⊂ R n 为闭子集，并且 {fα}|α|≤m 是一族定义在 A 上的函数。假 设它们在以下意义中是相容的: fα(x) = X |β|≤m−|α| fα+β(y) β! (x − y) β + o(|x − y| m−|α| ). 那么存在 f ∈ C m(R n ) 使得 (1) 对于任意 |α| ≤ m, 在 A 上有 ∂ αf = fα (2) f 在 Ac = R n \ A 上是实解析函数. 27