第 2 章 光滑映射的微分及其应用 上一章构建了“光滑范畴”，在该范畴中对象是光滑流形，而态射则是光滑映射。抽 象范畴论的基本思想之一是用对象之间的态射来研究对象本身。本章的目的就是深入研 究光滑映射，并利用光滑映射研究光滑流形本身。 2.1 光滑映射的微分 本节旨在定义光滑映射的微分。对一个光滑映射在一个给定点取微分，本质上就是 在该点附近用线性映射逼近原映射，即“以直代曲”的线性化过程。为此，需要先定义 光滑流形在每点处的切空间，作为该线性化映射的承载空间。 2.1.1 切空间 ¶ 欧氏空间中光滑映射的微分 首先回顾一下欧氏空间开集间光滑映射的微分。设 U, V 为欧氏空间中的开集, 且 f : U → V 是一个光滑映射. f 在点 a ∈ U 处的微分（或称切映射）是一个线性映射 dfa : R n → R m. 它 (在典范基下的) 矩阵是 f 在 a 处的 Jacobi 矩阵, 即 dfa = Ü ∂f1 ∂x1 (a) · · · ∂f1 ∂xn (a) . . . . . . . . . ∂fm ∂x1 (a) · · · ∂fm ∂xn (a) ê . 在多变量微积分中已经所看到，线性映射 dfa 在研究光滑映射 f 时扮演了关键角色，因 为它本质上是 f 在 a 附近的“线性化”: limx→a kf(x) − f(a) − dfa(x − a)k kx − ak = 0. 关于微分的一个非常有用的事实是: 1 命题 2.1.1. （链式法则） ♠ 如果映射 f : U → V 在 x = a 处可微，而映射 g : V → W 在 x = f(a) 处可微， 那么复合映射 g ◦ f : U → W 在 x = a 处也可微, 并且 d(g ◦ f)a = dgf(a) ◦ dfa. ¶ 切向量定义背后的想法 设 M, N 是光滑流形，且 f : M → N 是光滑映射. 我们希望跟欧氏空间情形一样， 将 f 在点 p 处的微分 dfp 定义为对应切空间之间某个线性映射, 作为映射 f 在点 p 附近 的线性化. 为此，首先需要解决的问题是: 什么是光滑流形在一点处的切空间? 1考虑两个范畴，第一个范畴是以“欧氏空间中‘带点开集’(U, a)”为对象，以“光滑映射”为态射，第二 个范畴是以“线性空间”为对象，以“线性映射”为态射. 那么 d 可被视作是从第一个范畴到第二个范畴的 一个“函子”，而链式法则只不过是函子性质的一部分
2.1 光滑映射的微分 从熟悉的例子开始. 在数学分析以及古典微分几何中已经学过空间中“曲线的切线” 以及“曲面的切平面”的概念. 例如，若 f = (f1, f2, f3) : D → R 3 是空间里的一个曲面的（局部）参数方程，则该曲面在点 f(u, v) 处的切平面是由向量 ( ∂f1 ∂u , ∂f2 ∂u , ∂f3 ∂u ) T 和 ( ∂f1 ∂v , ∂f2 ∂v , ∂f3 ∂v ) T 所张成的平面，而该平面恰好是 f 在点 (u, v) 处的微 分 df(u,v) 的像集. 一般地，若 M 是 R N 中的一个具体流形(即将学到的 Whitney 嵌入定理说明这总是正确的), 那么总可以选择 p 附近的一个坐标卡 (ϕ, U, V ), 使得 ϕ −1 : V → U 是一个微分同胚（这 个映射可被视为是该流形的局部参数方程）. 将从 M 到 R N 的嵌入记为 ι : M ,→ R N , 就得到 欧氏空间中开集之间的一个光滑映射 ι ◦ ϕ −1 : V → R N , 从而可以跟空间中曲面情形类似，把切空间 TpM 定义为以下线性映射 d(ι ◦ ϕ −1 )φ(p) : R n → R N 的像集. 当然，需要验证用这种方式定义的空间 TpM 不依赖于坐标卡的选取，并且，因 为从 M 到欧氏空间的嵌入方式不唯一，还需要研究不同嵌入所得的切空间 TpM 之间的 关系. 因为目前我们并不先验地知道光滑流形是否可被嵌入欧氏空间，而且又没有一个简 洁优美的“几何图像”去实现一个抽象的流形，下面将仅使用 M 本身的信息去内蕴地定 ✿✿✿✿✿✿ 义切空间 TpM. 为了理解下文中将要给出的“光滑流形在每一点处切空间”的抽象定义， 我们先仔细考察欧氏空间的情况. 基本思路是: 在给定点 a 处的任意向量 ~v ∈ R n 都可被视作在 a 处的方向导数, 方向导数有一个纯代数的刻画，且该刻画可以被推广到光滑流形上. 于是，可以将切空间定义为由这些“用代数方法定义的方向导数”所构成的线性空间! ¶ 欧氏空间中方向导数的代数刻画 先回顾一下: 对于任意 ~v ∈ R n , n 元函数 f 在 x 处沿着方向 v 的方向导数是 Da ⃗v f := lim h→0 f(a + h~v) − f(x) h = d dt t=0 f(a + t~v)= dfa(~v). 因此对于每个给定的点 a 以及向量 ~v，都有一个算子 Da ⃗v : C ∞(R n ) → R. 在坐标表示下，如果 ~v = hv 1 , · · · , vn i T , 那么由链式法则可得 Da ⃗v f = Pv i ∂f ∂xi (a). 换句 话说，作为 C∞(R n ) 上的一个算子, 有 Da ⃗v = X i v i ∂ ∂xi x=a . 当然，Da ⃗v : C∞(R n ) → R 是一个非常特殊的算子: 它是一个线性算子 Da ⃗v (αf + βg) = αDa ⃗v f + βDa ⃗v g, ∀α, β ∈ R 29
2.1 光滑映射的微分 并且它满足（在 a 处的）Leibnitz 法则: Da ⃗v (fg) = f(a)Da ⃗v g + g(a)Da ⃗v f. 反之，这两个性质刻画了方向导数： 命题 2.1.2. （方向导数的代数刻画） ♠ 如果 D : C∞(R n ) → R 是线性的并且满足在 a 处的 Leibnitz 法则，即 D(fg) = f(a)D(g) + g(a)D(f), 那么存在 a 处的某个向量 ~v 使得 D = Da ⃗v . 证明 对于任意 f ∈ C∞(R n ), 有 f(x) = f(a) + Z 1 0 d dtf(a + t(x − a))dt = f(a) +Xn i=1 (x i − a i )hi(x), 其中 hi(x) = Z 1 0 ∂f ∂xi (a + t(x − a))dt. 另一方面，可以用 Leibnitz 法则计算 D(1)，其中 1 表示恒取常值 1 的函数： D(1) = D(1 · 1) = 2D(1) =⇒ D(1) = 0. 再结合线性性，对于任意常数 c 都有 D(c) = 0. 因此 D(f) = 0 +Xn i=1 D(x i )hi(a) +Xn i=1 (a i − a i )D(hi) = Xn i=1 D(x i ) ∂f ∂xi (a). 由此可得，作为 C∞(R n ) 上的算子, D = Xn i=1 D(x i ) ∂ ∂xi x=a . 于是只要令 ~v = hD(x 1 ), · · · , D(x n )i, 就有 D = Da ⃗v . □ 注 2.1.3. 一般地，人们把满足 Leibnitz 性质的线性映射叫做导子： 定义 2.1.4. （导子） ♣ 若 A 是域 k(例如 R) 一个代数（例如 C ∞(U)、C ∞(M)），B 是 A 上的一个双模（例如 R、C ∞(M) 等），且线性算子 d : A → B 满足 Leibnitz 法则 d(uv) = (du)v + u(dv), 则称 d 为 A 的一个（取值于 B 的）导子。 不难验证对于给定的 A 和 B，所有导子组成一个线性空间。本书后续章节中还将出现很 多对应于不同代数的导子，例如向量场、李导数等。 下面考虑“(几何) 向量-(代数) 导子”对应关系 ~v ⇝ Da ⃗v . 我们有 该对应是从 (由在 a 处的全部切向量构成的) 线性空间 R n 到“由在 a 点处的全部 30
2.1 光滑映射的微分 导子构成的线性空间 D”的线性映射: Da α⃗v+β ⃗w = αDa ⃗v + βDa ⃗w. 它是单射: 如果 ~v1 6= ~v2, 那么 Da ⃗v1 6= Da ⃗v2 (请读者尝试去证明它). 它是满射: 这正是命题2.1.2的结论. 因此“点 a 处的切向量 ~v 构成的线性空间”与“点 a 处的导子构成的线性空间”是线性 同构的，即可以将点 a 处所有切向量的向量空间等同于点 a 处所有导数的向量空间! ¶ 光滑流形在一点处的切空间 现在回到光滑流形的情形. 虽然在抽象框架里并没有“几何向量”，但仍然有全体光 滑函数构成的代数 C∞(M). 跟欧氏空间情形一样，可以代数地定义在一点处的导子，并 称之为该点处的切向量: 定义 2.1.5. （切向量） ♣ 令 M 为一个 n-维光滑流形. (1) 若 R-线性映射 Xp : C∞(M) → R 在点 p ∈ M 处满足 Leibnitz 法则 Xp(fg) = f(p)Xp(g) + Xp(f)g(p), ∀f, g ∈ C ∞(M), 则称 Xp 为 M 在 p 点处的一个切向量. (2) 称在 p 处的全体切向量所构成的线性空间 TpM 为 M 在 p 点处的切空间. 应用 Leibnitz 法则和线性性易得: 如果 f ≡ c 是一个常值函数, 那么 Xp(f) = 0. 更 一般地， 引理 2.1.6. （局部常值函数的导数） ♦ 如果在 p 点的某个邻域里有 f = c, 那么 Xp(f) = 0. 证明 取 M 上的鼓包函数 ϕ，使得 ϕ 在 p 的附近恒为 1, 且在集合 f 6= c 上恒为 0. 则 (f − c)ϕ ≡ 0. 因此 0 = Xp((f − c)ϕ) = (f(p) − c)Xp(ϕ) + Xp(f)ϕ(p) = Xp(f). □ 特别地，如果在 p 点的某邻域里有 f = g 2 , 那么 Xp(f) = Xp(g). 换而言之, Xp(f) 这个数由 f 在 p 的邻域里的值决定. 因此可以将定义2.1.5中的 C∞(M) 替换为 C∞(U), 其中 U 是任意包含 p 的开集： 命题 2.1.7. （切空间是局部的） ♠ 设 M 是一个光滑流形, U 是 p ⊂ M 任一开邻域, 那么作为线性空间， TpM ' TpU. 2注意对于不同的函数对，这里取的邻域可以不同。人们用芽的语言来描述这种局部性: 如果在 p 的✿✿某邻域内 有 f = g，则我们称 f 和 g 在 p 点处定义了相同的芽. 不难验证“在 p 点处定义了相同的芽”是了 C ∞(M) 上(或更一般地，在 C∞(M, N) 上)的一个等价关系. 当研究局部性质的时候，在芽上处理起来一般而言更加便利. 31
2.1 光滑映射的微分 2.1.2 光滑映射的微分 ¶ 光滑流形之间的光滑映射的微分 现在定义光滑流形之间光滑映射的微分. 我们知道，欧氏空间中开集之间的光滑映 射 f : U → V 在点 a 处的微分是一个线性映射 dfa : TaU = R n x → Tf(a)V = R m y , 其矩阵是 f 在 a 处的 Jacobi 矩阵 ( ∂fi ∂xj (a)). 为了将这个概念推广到流形之间的光滑映 射，需要仔细考察 TaU 的两种解释: 我们已经看到了可以将 a 点处 (几何的) 向量 ~v ∈ R n 等同于 a 处 (代数的) 导子 Da ⃗v = Pv i ∂ ∂xi |x=a. 注意到从几何上看， dfa(~v) = Å ∂fi ∂xj (a) ã ~v = ∞X j ∂f1 ∂xj (a)v j , · · · , X j ∂fm ∂xj (a)v j ∫T . 上式右侧的向量是 R m y 中的一个几何向量，它可以被代数地解释为在 V 里点 f(a) 处的 导子, 即把 g ∈ C∞(R m y ) 映为 X i X j v j ∂fi ∂xj (a) ∂g ∂yi = X j v j ∂ ∂xj x=a (g ◦ f) = Da ⃗v (g ◦ f) 的映射. 上面的计算表明向量 dfa(~v) 对应的导子恰好是在点 f(a) 处“将 g ∈ C∞(R m) 映射 到 Da ⃗v (g ◦ f)”的那个导子. 由此启发我们定义 定义 2.1.8. （光滑映射的微分） ♣ 对于任意光滑映射 f : M → N. 以及任意点 p ∈ M, f 在 p 处的 微分是一个线性 映射 dfp : TpM → Tf(p)N，其定义由下式给出： dfp(Xp)(g) = Xp(g ◦ f), ∀Xp ∈ TpM, g ∈ C ∞(N) 注 2.1.9. 对于 R，可以将 TtR 等同于 R， c d dt ∈ TtR ↭ c ∈ R. 这个对应还可以用下述方式如下理解： 取 g(t) = t，则 g ∈ C∞(R)，且跟向量 c d dt 所对应的实数 c 恰好就是向量 c d dt 作用在函数 g 上所得的结果。 特别地，对于任意光滑函数 f ∈ C∞(M) 以及任意 Xp ∈ TpM，在上述等同下，跟向量 dfp(Xp) 对应的实数就是 dfp(Xp)(g) = Xp(g ◦ f) = Xp(f). 于是我们得到了如下非常有用的公式： dfp(Xp) = Xp(f), ∀f ∈ C ∞(M), ∀Xp ∈ TpM, 32
2.1 光滑映射的微分 ¶ 微分的函子性 微分是研究光滑映射以及微分流形时最重要的工具，因为它把流形之间“非线性”的 光滑映射转化为了线性空间之间的线性映射。事实上，微分 d 是从“带点光滑流形范畴” (态射为光滑映射) 到线性空间范畴 (态射是线性映射) 的函子： 定理 2.1.10. （d 的函子性） ♥ 设 M, N, P 为光滑流形，p ∈ M。 (1) 对于恒等映射 f = IdM，有 dfp = IdTpM. (2) (链式法则) 设 f ∈ C∞(M, N)，g ∈ C∞(N, P)，那么 d(g ◦ f)p = dgf(p) ◦ dfp. 证明 对于任意 Xp ∈ TpM 和 h ∈ C∞(P), d(g ◦ f)p(Xp)(h) = Xp(h ◦ g ◦ f) = dfp(Xp)(h ◦ g) = dgf(p) (dfp(Xp))(h). □ 下面是函子性的标准运用： 命题 2.1.11. （从微分同胚到线性同构） ♠ 如果 f : M → N 是一个微分同胚，那么 dfp : TpM → Tf(p)N 是一个线性同构. 证明 对 f −1 ◦ f = IdM 和 f ◦ f −1 = IdN 应用链式法则，可以得到 (df −1 )f(p) ◦ dfp = IdTpM 和 dfp ◦ (df −1 )f(p) = IdTf(p)N . 于是 dfp 是一个线性同构. □ 特别地， 推论 2.1.12. （切空间的维数） ♥ 如果 dim M = n, 那么对于 p 处的任意局部坐标卡 (ϕ, U, V ), 有 TpM = span{∂1, · · · , ∂n}, 其中 ∂i := dϕ−1 ( ∂ ∂xi ). 特别地，TpM 是一个 n 维线性空间. 证明 令 (ϕ, U, V ) 为 p 附近的坐标卡，则 Tφ(p)V = span( ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xn ). 另一方面，由 例1.2.29，ϕ : U → V 是一个微分同胚. 由此可得 TpM = TpU = dϕ−1 (Tf(p)V ), 从而结论得证。 □ 在这样的坐标卡里，∂i 可以用以下具体的公式表示: ∂i : C ∞(U) → R, ∂i(f) = ∂(f ◦ ϕ −1 ) ∂xi (ϕ(p)). 注 2.1.13. 结合上述两个推论，可知微分同胚的光滑流形维数一定相同。在 §1.1 曾提 到过，拓扑版本“维数不变性”的证明需要用到比较深奥的拓扑工具，这里我们看到光 滑版本的证明却是如此简单，由此可见线性化的威力。 33