《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第4章李群初步 4.1 Lie 群及其Lie代数.pdf_大学文库

第4章李群初步Lie群是一类特殊的光滑流形，上面不仅赋有用以发展分析的拓扑结构与光滑结构，还赋有一个基本的代数结构即群结构。正如群是数学中用于描述对称性的语言一样，Lie群不仅仅自身是带有良好性质的光滑流形，而且还是用于描述“一族光滑依赖于参数的对称性”的语言1，在包括几何、分析、方程、代数以及物理（尤其是量子物理）中扮演了极其重要的角色.本章将从流形的视角简要介绍Lie群及其对应的Lie代数的基础知识。4.1Lie群及其Lie代数4.1.1Lie群Lie群：定义与例子首先给出Lie群的定义。简单来说，Lie群就是“赋有光滑流形结构与群结构，且二者相容”的数学对象：定义4.1.1.（Lie群）设G是一个群。如果G上还赋有一个光滑流形结构，且群乘法μ:G×G→G, (91,92)→91 92是一个光滑映射，则称G是一个Lie群。品注意群运算中还有一个非常重要的“求”运算，所以在考虑相容性时，自然也应该要求它是光滑的。在上述Lie群的定义中并没有明确要求这一点，是因为在后面的命题4.1.10中将会证明：只要乘法运算是光滑的，那么求逆运算也将自动是光滑的2。Lie群不仅仅是微分流形的重要例子，更是研究微分流形时的重要工具3。从在某种意义上说，Lie群是数学中最优美的对象之一：它们位于代数，分析与几何的交界处．下面给出Lie群的一些基本例子：例4.1.2.(1R"，作为加法群.(2)R*=R-[0],作为乘法群.(3)SI，作为乘法群（4）S3（视作模长为1的四元数集合），作为四元数乘法群1Wiki:Lie群是由挪威数学家SophusLie（1842-1899）而得名的。他建立了连续变换群理论的基础。Lie引入Lie群的最初动机是为了描述微分方程理论中出现的连续对称，这在很大程度上跟Galois引入有限群以描述代数方程理论中出现的离散对称类似2作为对比，可以回忆一下习题1中拓扑群的概念：拓扑群是“赋有拓扑空间结构与群结构，且二者相容”的数学对象，在那里要求群乘法与求逆运算都是连续的，而且求逆运算的连续性不是群乘法连续性的推论。3从范畴的角度来看，Lie群的特殊性还在于它们是光滑流形范畴中的“群对象”（正如群是集合范畴的群对象、拓扑群是拓扑空间范畴的群对象一样）

第 4 章李群初步 Lie 群是一类特殊的光滑流形，上面不仅赋有用以发展分析的拓扑结构与光滑结构，还赋有一个基本的代数结构即群结构。正如群是数学中用于描述对称性的语言一样，Lie 群不仅仅自身是带有良好性质的光滑流形，而且还是用于描述“一族光滑依赖于参数的对称性”的语言1，在包括几何、分析、方程、代数以及物理 (尤其是量子物理) 中扮演了极其重要的角色. 本章将从流形的视角简要介绍 Lie 群及其对应的 Lie 代数的基础知识。 4.1 Lie 群及其 Lie 代数 4.1.1 Lie 群 ¶ Lie 群: 定义与例子首先给出 Lie 群的定义。简单来说，Lie 群就是“赋有光滑流形结构与群结构，且二者相容”的数学对象：定义 4.1.1. （Lie 群） ♣ 设 G 是一个群。如果 G 上还赋有一个光滑流形结构，且群乘法 µ : G × G → G, (g1, g2) 7→ g1 · g2 是一个光滑映射，则称 G 是一个 Lie 群。注意群运算中还有一个非常重要的“求逆”运算，所以在考虑相容性时，自然也应该要求它是光滑的。在上述 Lie 群的定义中并没有明确要求这一点，是因为在后面的命题4.1.10中将会证明：只要乘法运算是光滑的，那么求逆运算也将自动是光滑的 2。 Lie 群不仅仅是微分流形的重要例子，更是研究微分流形时的重要工具3。从在某种意义上说, Lie 群是数学中最优美的对象之一：它们位于代数，分析与几何的交界处. 下面给出 Lie 群的一些基本例子: 例 4.1.2. (1) R n，作为加法群. (2) R ∗ = R − {0}, 作为乘法群. (3) S 1 , 作为乘法群. (4) S 3 (视作模长为 1 的四元数集合)，作为四元数乘法群. 1Wiki: Lie 群是由挪威数学家 Sophus Lie (1842-1899) 而得名的. 他建立了连续变换群理论的基础. Lie 引入 Lie 群的最初动机是为了描述微分方程理论中出现的连续对称, 这在很大程度上跟 Galois 引入有限群以描述代数方程理论中出现的离散对称类似. 2作为对比，可以回忆一下习题 1 中拓扑群的概念：拓扑群是“赋有拓扑空间结构与群结构，且二者相容”的数学对象，在那里要求群乘法与求逆运算都是连续的，而且求逆运算的连续性不是群乘法连续性的推论。 3从范畴的角度来看，Lie 群的特殊性还在于它们是光滑流形范畴中的“群对象”(正如群是集合范畴的群对象、拓扑群是拓扑空间范畴的群对象一样)

4.1Lie群及其Lie代数例4.1.3.矩阵Lie群（其群元素都是矩阵，而其乘法运算是矩阵乘法）是Lie群的最重要的例子。矩阵Lie群有很多，最简单的矩阵Lie群有GL(n,R)=(XEM(n,R)IdetX≠O),(般线性群)SL(n,R)=(XEM(n,R)IdetX=1l，(特殊线性群）O(n)=(XEM(n,R)IXXT=In),(正交群)U(n)={X eM(n,C)I xX"= In), (酉群).事实上，李群的一个重要结果是：任意紧Lie群都可被实现为矩阵Lie群。注4.1.4.一个自然的问题是：Lie群的乘积、Lie群的子群等对象是否依然是Lie群？。如果Gi与G2都是Lie群，那么显然它们的乘积G1×G2（赋予乘积群结构以及乘积流形结构）也自动是Lie群.特别地，n维环面Tn=Sl×.×SI是一个Lie群.、。如果G是一个Lie群，H<G是G的一个子群，同时还是一个光滑子流形，那么显然H也是一个Lie群。然而，在本章后面将会说明：在研究Lie群的“子Lie群”时，不必假设子群是光滑子流形。从Lie群-Lie代数对应的角度看，所有具有浸入子流形结构的子群都是自然的研究对象。注4.1.5.1900年Hilbert在巴黎数学家大会上提出了23个问题，揭开了20世纪数学发展的大幕，其中第五问题就跟Lie群相关如所周知，Lie借助于连续变换群的概念....Lie假设了定义群的函数必须可微..．可微性假设是否确实必不可少呢？它会不会就是群概念本身和其它公理的推论？注意如果仅假设背景空间是拓扑流形，以及假设群运算（包括乘积运算与求逆运算）的连续性，那所得的仅仅是底空间是拓扑流形的拓扑群（见第一章习题）。所以用现代的语言来说，Hilbert第五问题就是在问：底空间是拓扑流形的拓扑群，是否具有光滑结构使之成为Lie群？该问题是最终在1950年代被A.Gleason以及D.Montgomery，LZippin解决，其答案是肯定的：设G为任意一个底空间是拓扑流形的拓扑群，那么G上存在一个光滑结构使得它成为一个Lie群.注4.1.6.不是每个光滑流形都能赋有一个Lie群结构例如，在所有球面Sn中，仅有So，Sl与S3可以带有Lie群结构.下面是所有Lie群都满足的一些简单拓扑性质：(1)Lie群的底空间必须是可定向的(2）连通Lie群G（或者更一般的连通拓扑群G)的基本群元1(G）一定是Abel群(3)Lie群的切丛TG都是平凡的：TG同构于G×Rm(其中m=dimG)下一章将看到TS2牛S?×R2，从而S2上没有Lie群结构.结合上述拓扑障碍可知，在所有二维闭流形中（即闭曲面)，唯一带有Lie群结构的是T?=S×Sl.94

4.1 Lie 群及其 Lie 代数例 4.1.3. 矩阵 Lie 群 (其群元素都是矩阵，而其乘法运算是矩阵乘法) 是 Lie 群的最重要的例子。矩阵 Lie 群有很多，最简单的矩阵 Lie 群有 GL(n, R) = {X ∈ M(n, R) | det X 6= 0}, (一般线性群) SL(n, R) = {X ∈ M(n, R) | det X = 1}, (特殊线性群) O(n) = {X ∈ M(n, R) | XXT = In}, (正交群) U(n) = {X ∈ M(n, C) | XX T = In}, (酉群). 事实上，李群的一个重要结果是：任意紧 Lie 群都可被实现为矩阵 Lie 群。注 4.1.4. 一个自然的问题是：Lie 群的乘积、Lie 群的子群等对象是否依然是 Lie 群？如果 G1 与 G2 都是 Lie 群, 那么显然它们的乘积 G1 × G2（赋予乘积群结构以及乘积流形结构）也自动是 Lie 群. 特别地，n 维环面 T n = S 1 × · · · × S 1 是一个 Lie 群.、如果 G 是一个 Lie 群，H < G 是 G 的一个子群，同时还是一个光滑子流形，那么显然 H 也是一个 Lie 群。然而，在本章后面将会说明：在研究 Lie 群的“子 Lie 群”时，不必假设子群是光滑子流形。从 Lie 群-Lie 代数对应的角度看，所有具有浸入子流形结构的子群都是自然的研究对象。注 4.1.5. 1900 年 Hilbert 在巴黎数学家大会上提出了 23 个问题，揭开了 20 世纪数学发展的大幕，其中第五问题就跟 Lie 群相关: 如所周知，Lie 借助于连续变换群的概念.Lie 假设了定义群的函数必须可微. 可微性假设是否确实必不可少呢？它会不会就是群概念本身和其它公理的推论？注意如果仅假设背景空间是拓扑流形，以及假设群运算（包括乘积运算与求逆运算）的连续性，那所得的仅仅是底空间是拓扑流形的拓扑群（见第一章习题）。所以用现代的语言来说，Hilbert 第五问题就是在问：底空间是拓扑流形的拓扑群，是否具有光滑结构使之成为 Lie 群？该问题是最终在 1950 年代被 A. Gleason 以及 D. Montgomery，L. Zippin 解决，其答案是肯定的：设 G 为任意一个底空间是拓扑流形的拓扑群, 那么 G 上存在一个光滑结构使得它成为一个 Lie 群. 注 4.1.6. 不是每个光滑流形都能赋有一个 Lie 群结构. 例如，在所有球面 S n 中，仅有 S 0 , S 1 与 S 3 可以带有 Lie 群结构. 下面是所有 Lie 群都满足的一些简单拓扑性质: (1) Lie 群的底空间必须是可定向的. (2) 连通 Lie 群 G (或者更一般的连通拓扑群 G)的基本群 π1(G) 一定是 Abel 群. (3) Lie 群的切丛 T G 都是平凡的: T G 同构于 G × R m(其中 m = dim G). 下一章将看到 T S2 6' S 2 × R 2，从而 S 2 上没有 Lie 群结构. 结合上述拓扑障碍可知，在所有二维闭流形中 (即闭曲面), 唯一带有 Lie 群结构的是 T 2 = S 1 × S 1 . 94

4.1 Lie 群及其 Lie 代数 4.1.2 Lie 群的 Lie 代数从命题4.1.7的证明可见，得益于“左乘”这样的微分同胚，Lie 群在一点的切空间可被迁移到各点处。换而言之，Lie 群在单位元 e 附近的局部性态就“决定”了它在各点附近的局部性态。于是，Lie 群在 e 处的切空间在 Lie 群理论中自然会起到根本性的作用。 ¶ 抽象 Lie 代数先给出 Lie 代数的抽象定义：定义 4.1.12. （Lie 代数） ♣ 若 V 是一个实向量空间a，上面带有一个二元括号运算 [·, ·] : V × V → V, 使得对任意的 u, v, w ∈ V 以及 a, b ∈ R，都有 (1) (反对称性) [u, v] = −[v, u], (2) (线性性) [au + bv, w] = a[u, w] + b[v, w], (3) (Jacobi 恒等式) [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0, 则称 (V, [·, ·]) 是一个 Lie 代数，称 [·, ·] 为该 Lie 代数的 Lie 括号. aLie 代数可以在更一般的域中定义，本书仅考虑实数域上的 Lie 代数. 例 4.1.13. 任意向量空间都有一个平凡 Lie 代数结构: [X, Y ] ≡ 0. 例 4.1.14. R 3 在向量叉乘运算下形成一个 Lie 代数. 例 4.1.15. 根据命题3.1.17, 光滑流形上全体光滑向量场 Γ∞(TM) 在向量场的 Lie 括号运算下形成一个 Lie 代数. 进一步地，若 V 是可积分布，则 Γ∞(V) 也是 Lie 代数。例 4.1.16. 由全体 n × n 实矩阵所组成的集合 M(n, R) 在“矩阵的交换子运算” [A, B] := AB − BA 下形成一个 Lie 代数。【一般的, 结合代数在换位子运算 [a, b] = ab − ba 下都是 Lie 代数.】 ¶ Lie 群上的左不变向量场下面对每一个 Lie 群 G，都关联一个典范的 Lie 代数. 假设 G 是一个 Lie 群. 利用左平移 La，可以从任意向量 Xe ∈ TeG 开始, 定义一个 G 上的光滑向量场 X 如下： Xa = (dLa)e(Xe). 一个并不令人吃惊 (但很重要) 的事实是：向量场 X 在任意左平移下仍是它自身: (dLa)b(Xb) = (dLa)b ◦ dLb(Xe) = dLab(Xe) = Xab. 具有该性质的向量场被称为左不变向量场： 97

4.1 Lie 群及其 Lie 代数定义 4.1.17. （左不变向量场） ♣ 若 Lie 群 G 上光滑向量场 X 满足 (dLa)b(Xb) = Xab, ∀a, b ∈ G, 则称它是 G 上的一个左不变向量场. 记 G 上的全体左不变向量场的集合为 g, 即 g = {X ∈ Γ ∞(T G) | X 是左不变的}. 显然 g 是 Γ∞(T G) 上的一个线性子空间. 于是 Lie 群在单位元 e 处的切向量 Xe ∈ TeG 决定了 G 上的一个左不变向量场 X ∈ g. 反之, G 上的任意左不变向量场 X ∈ g 被它在 e 处的“值”Xe 所唯一决定, 因为对于任意的 a ∈ G, 总有 X(a) = (dLa)Xe. 不难看出，对应关系 Xe ∈ TeG ↭ X ∈ g 是线性同构。于是作为线性空间，g 与 TeG 是同构的. 特别地, dim g = dim G. ¶ Lie 群 G 的 Lie 代数接下来证明 g 是一个 Lie 代数, 其 Lie 代数结构继承自 Γ∞(T G) 上的 Lie 代数结构: 命题 4.1.18. （Lie 括号保持左不变性） ♠ 如果 X, Y ∈ g, 那么 [X, Y ] ∈ g. 证明设 X 与 Y 都是 G 上的左不变向量场，下证 [X, Y ] 也是左不变的. 首先注意到 Y (f ◦ La)(b) = Yb(f ◦ La) = (dLa)b(Yb)f = Yabf = (Y f)(Lab) = (Y f) ◦ La(b) 对任意的光滑函数 f ∈ C∞(G) 均成立. 因此 Xab(Y f) = (dLa)b(Xb)(Y f) = Xb((Y f) ◦ La) = XbY (f ◦ La). 类似地 YabXf = YbX(f ◦ La). 于是 dLa([X, Y ]b)f = XbY (f ◦ La) − YbX(f ◦ La) = Xab(Y f) − Yab(Xf) = [X, Y ]ab(f). □ 于是 G 上的全体左不变向量场全体 g，在向量场的 Lie 括号运算 [·, ·] 下，构成了一个 Lie 代数（而且它是无穷维 Lie 代数 Γ ∞(T G) 的一个 m 维 Lie 子代数）. 定义 4.1.19. （Lie 群的 Lie 代数） ♣ Lie 代数 g 被称为 Lie 群 G 的 Lie 代数. 例 4.1.20. (欧氏空间 R n .) 显然它在向量加法运算下是一个 Lie 群, 因为群运算 µ((x1, · · · , xn),(y1, · · · , yn)) := (x1 + y1, · · · , xn + yn). 是光滑的. 不仅如此, 对任意的 a ∈ R n , 左平移 La 就是 R n 上通常的平移映射. 故左不 98

4.1 Lie 群及其 Lie 代数变向量场实际上就是常值向量场 Xv = v1 ∂ ∂x1 + · · · + vn ∂ ∂xn . 由于 ∂ ∂xi 与 ∂ ∂xj 两两可交换, 所以任意两个左不变向量场的 Lie 括号为零. 换而言之, 向量加法群 G = R n 的 Lie 代数就是 n 维平凡 Lie 代数 g = R n . 例 4.1.21. (圆 S 1 ) S 1 上左平移映射是旋转映射，因而左不变向量场就是 {a ∂ ∂θ }，它们两两可交换。于是 S 1 的 Lie 代数是 1 维平凡 Lie 代数 R 1 （带有平凡的 Lie 括号. (事实上, 从 Lie 代数的定义可知, 唯一的 1 维 Lie 代数是平凡 Lie 代数.) 例 4.1.22. (仿射群 R ∗ ⋉ R1 ) 赋予 R ∗ × R 通常的流形结构，以及群运算 µ((x1, y1),(x2, y2)) = (x1x2, x1y2 + y1). 它被称为是 R 1 的仿射群，是一个 2 维非交换 Lie 群. 对左乘求微分可得 dL(x1,y1) (v1 ∂ ∂x + v2 ∂ ∂y ) = x1v1 ∂ ∂x + x1v2 ∂ ∂y . 因此如果 a(x, y) ∂ ∂x + b(x, y) ∂ ∂y 是一个左不变向量场, 则对所有的 x, y, x1, y1 ∈ R，有 a(x1x, x1y + y1) = a(x, y)x1 与 b(x1x, x1y + y1) = b(x, y)x1. 特别地，X = x ∂ ∂x 与 Y = x ∂ ∂y 为两个左不变向量场. 由于这个 Lie 群是 2 维的, 所以 X, Y 构成它的 Lie 代数的一组基. 其 Lie 括号由 [X, X] = [Y, Y ] = 0 以及 [X, Y ] = [x ∂ ∂x, x ∂ ∂y ] = x ∂ ∂y = Y. 给出.(它是唯一的 2 维非平凡 Lie 代数.) 例 4.1.23. (一般线性群) GL(n, R) 是一个 n 2 维非紧 Lie 群. 它是不连通的, 而且恰有两个连通分支，即 GL+(n, R) = {X ∈ M(n, R) | det X > 0}, GL−(n, R) = {X ∈ M(n, R) | det X < 0}. 由于 GL(n, R) 是 M(n, R) ' R n 2 的一个开子集，所以 GL(n, R) 的 Lie 代数的底空间, 即 GL(n, R) 在 e = In 处的切空间, 就是集合 M(n, R) 自身, gl(n, R) = {A | A 是一个 n × n 矩阵}. 为了求出 Lie 括号运算, 任取矩阵 A = (Aij )n×n ∈ gl(n, R), 并记 GL(n, R) 上的全局坐标系为 (Xij ). 那么跟 A 相应的在 TInGL(n, R) 处的切向量是 PAij ∂ ∂Xij , 而它生成的左不变向量场在矩阵 X = (Xij ) 处的向量为 PXikAkj ∂ ∂Xij . 从而矩阵 A, B ∈ g 之间的 Lie 括号 [A, B] 是对应于向量场 ïXXikAkj ∂ ∂Xij , XXpqBqr ∂ ∂Xpr ò = XXikAkjBjr ∂ ∂Xir − XXpqBqrArj ∂ ∂Xpj = XXik (AkrBrj − BkrArj ) ∂ ∂Xij . 的矩阵. 换句话说,g 上的 Lie 括号运算就是矩阵换位子 [A, B] = AB − BA. 99

《微分流形》课程教学资源（英文讲义）第4章 李群初步 4.1 Lie 群及其Lie代数

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