2.2 光滑映射的局部性态 2.2 光滑映射的局部性态 作为光滑映射的线性逼近，微分是研究光滑映射的重要工具。根据定义，线性映射 dfp 所“编码”的是映射 f 在点 p 附近的性态。本节的目的则是反过来，从 dfp 的性质 出发，“解码”出 f 在 p 附近的性态。 2.2.1 反函数定理 ¶ 局部微分同胚 根据命题2.1.11，若 f : M → N 是一个微分同胚，则 dfp 是一个线性同构。反之一 个自然的问题是: 如果线性化 dfx 是一个线性同构，那么 f 是否是一个微分同胚？ 例 2.2.1. 对于 M = N = R 2 − {0}，考虑映射 f : R 2 \ {0} → R 2 \ {0}, (x, y) 7→ (x 2 − y 2 , 2xy). 虽然在每一点 (x, y) ∈ R 2 \ {0} 处, df(x,y) = Ñ 2x −2y 2y 2x é , 是一个线性同构，但 f 不是微分同胚，因为它不可逆：f(x, y) = f(−x, −y). 幸运的是，f 与微分同胚相差并不是太远：如果用复坐标 C − {0} = R 2 − {0}，则 上述映射 f 事实上是 f(z) = z 2 . 于是对于任意 z = (x, y) ∈ C \ {0}, 总可以找到 z 的一个小邻域 Uz 和 z 2 的小邻域 Vz, 使得限制到 Uz 后 f|Uz : Uz → Vz 是一个微分同胚. 类似地，还可以把该映射限制在 S 1 上，即考虑 f : S 1 → S 1 , f(e iθ) = e 2iθ . 同样的，dfp 是线性同构，f 不是微分同胚，但限制在任何点的小邻域后是微分同胚。 事实上，只要存在开集 U ⊂ M 和开集 V ⊂ N 使得 f : U → V 是微分同胚，那么 对于任意 p ∈ U，dfp 当然还是线性同构。所以一开始问 f 是否是微分同胚根本就是错 误的提法，正确的提法应该是问 f 是否在 p 的某个小邻域中是微分同胚： 定义 2.2.2. （局部微分同胚） ♣ 设 f : M → N 是一个光滑映射，p ∈ M。如果存在包含 p 的一个开邻域 Up 和包 含 f(p) 的一个开邻域 Vf(p)，使得 f|Ux : Up → Vf(p) 是一个微分同胚，则称 f 在 p 点附近是一个局部微分同胚。 局部微分同胚依然具有很多好的性质，例如局部微分同胚都是开映射，局部微分同 34
2.2 光滑映射的局部性态 胚的流形具有相同的维数，两个局部微分同胚的复合依然是局部微分同胚等3。 例2.2.1表明，一个光滑映射可能在每一点处都是局部微分同胚，但是在整体上并不 是微分同胚，因为它未必可逆。这样的例子其实有很多，比如任何光滑覆叠映射都是局 部微分同胚（但反之未必）。事实上，跟习题 1 中局部同胚的情形类似，可逆性是一个 “处处局部微分同胚”成为整体微分同胚的唯一障碍: 命题 2.2.3. (从局部微分同胚到整体微分同胚) ♠ 假设光滑映射 f : M → N 在每一点 p ∈ M 附近都是一个局部微分同胚. 如果 f 还是可逆的，那么 f 是一个整体微分同胚. 证明 仅需证明 f −1 的光滑性，而 f −1 在任意一点 q = f(p) 处的光滑性仅依赖于 f −1 在 q 附近的行为. 因为 f 是从 p 的邻域到 q 的邻域的微分同胚，故 f −1 是从 q 的邻域 到 p 的邻域的光滑映射，从而 f −1 在 q 处光滑. □ ¶ 反函数定理 显然若光滑映射 f : M → N 在 p 点附近是一个局部微分同胚，则 dfp : TpM = TpU → Tf(p)V = Tf(p)N 是一个线性同构。反之，线性范畴中的同构蕴含了光滑范畴中的局部微分同胚： 定理 2.2.4. （流形上的反函数定理） ♥ 如果 f : M → N 是光滑映射，且 dfp : TpM → Tf(p)N 是一个线性同构，那么 f 在 p 点附近是局部一个微分同胚. 其证明依赖于如下欧氏情形的反函数定理，该定理是隐函数定理的特例，也可以通 过压缩映射原理证明，参见 [5] 的附录或者一般的数学分析教材。 定理 2.2.5. （欧氏情形的反函数定理） ♥ 如果 U, V 是 R n 中的开集，f : U → V 是光滑映射，并且 dfx 是一个线性同构， 那么 f 在 x 附近是一个局部微分同胚. 证明 [定理2.2.4的证明] 取 p 附近的一个坐标卡 (ϕ, U, V ) 和 f(p) 附近的一个坐标卡 (ψ, X, Y ) 使得 f(U) ⊂ X. 因为 ϕ : U → V 和 ψ : X → Y 是微分同胚, d(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )φ(p) = dψq ◦ dfp ◦ dϕ−1 φ(p) : Tφ(p)V = R n → Tψ(q)Y = R n 是线性同构. 由欧氏情形的反函数定理可知，存在 ϕ(p) 的邻域 V1 和 ψ(q) 的邻域 Y1 使 得 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 是一个从 V1 到 Y1 的微分同胚. 取 U1 = ϕ −1 (V1) 和 X1 = ψ −1 (Y1). 则 f = ψ −1 ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 ) ◦ ϕ 是从 U1 到 X1 的一个微分同胚. □ 3考虑“带点光滑流形”范畴，其中态射定义为“光滑映射芽”，则局部微分同胚恰好是这个范畴的“等价”。 35
2.2 光滑映射的局部性态 2.2.2 淹没、浸入和常秩映射 ¶ 淹没和浸入 如果 dfp 不是一个线性同构呢? 注意到线性同构既是满射也是单射. 研究那些微分 为满射或单射的光滑映射是很自然的: 定义 2.2.6. （淹没与浸入） ♣ 设 f : M → N 是一个光滑映射. (1) 若 dfp : TpM → Tf(p)N 是满射，则称 f 在 p 点处是淹没. 若 f 处处是淹没， 则称 f 是一个淹没映射. (2) 若 dfp : TpM → Tf(p)N 是单射，则称 f 在 p 点处是浸入. 若 f 处处是浸入， 则称 f 是一个浸入映射. 显然 如果 f 在一点处是淹没，那么 dim M ≥ dim N. 如果 f 在一点处是浸入，那么 dim M ≤ dim N. 显然任何局部微分同胚都同时是淹没和浸入. 下面是两个典范的例子： 例 2.2.7. （典范淹没）如果 m ≥ n, 那么投影映射 π : R m → R n , (x 1 , · · · , xm) 7→ (x 1 , · · · , xn ) 是淹没. 例 2.2.8. （典范浸入）如果 m ≤ n, 那么嵌入映射 ι : R m ,→ R n , (x 1 , · · · , xm) 7→ (x 1 , · · · , xm, 0, · · · , 0) 是浸入. 事实上，任何淹没/浸入从局部看都跟以上两种典范情形一致： 定理 2.2.9. （典范淹没定理） ♥ 设 f : M → N 是在点 p ∈ M 处的淹没, 那么 m = dim M ≥ n = dim N, 并且存 在 p 附近的坐标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 q = f(p) 附近的坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得 ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 = π|V1 . 定理 2.2.10. （典范浸入定理） ♥ 设 f : M → N 是在点 p ∈ M 处的浸入, 那么 m = dim M ≤ n = dim N, 并且存 在 p 附近的坐标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 q = f(p) 附近的坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得 ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 = ι|V1 . 这两个定理在处理淹没和浸入的时候非常有用. 我们不分别证明上述两个定理，而 是证明一个更一般的定理，即下面的常秩定理. 36
2.2 光滑映射的局部性态 ¶ 常秩定理 在叙述常秩定理之前，需要先定义 定义 2.2.11. （常秩映射） ♣ 设 f : M → N 是光滑映射，p ∈ M. 如果存在 p 的一个邻域 U 以及常数 r ∈ N 使 得对于任意 q ∈ U，线性映射 dfq 的秩为 r，则称 f 为 p 附近的一个（秩为 r 的） 常秩映射. 例 2.2.12. 如果 f在✿✿✿✿✿✿✿✿✿ p 点处是一个淹没/浸入, 则在 p 的坐标邻域里，dfp 对应的 Jacobi 矩阵有一个满秩子矩阵。由连续性，存在 p 的小邻域 Up 使得对于任意 q ∈ Up，对应的 子矩阵是满秩的。于是 f ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ 在 p 附近处处是淹没/浸入。换而言之，若 f 在 p 点处是一个 淹没或浸入，那么它在 p 附近是一个常秩映射. 例 2.2.13. （“典范”常秩映射）典范淹没和典范浸入的复合是常秩映射 R m = R r+m−r π−→ R r ι −→ R r+n−r = R n , 它将 (x 1 , · · · , xr , xr+1 , · · · , xm) ∈ R m 映射到 (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0) ∈ R n . 下面证明这样得到的常秩映射是典范的： 定理 2.2.14. （常秩定理） ♥ 设 f : M → N 是一个在 p 附近秩恒为 r 的常秩映射. 那么存在 p 附近的坐标卡 (ϕ1, U1, V1) 和 f(p) 附近的坐标卡 (ψ1, X1, Y1) 使得 ψ1 ◦ f ◦ ϕ −1 1 (x 1 , · · · x m) = (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0). 证明 先证明欧氏情形，然后把一般情形转化成欧氏情况. 步骤 1: 欧氏空间的情形. 首先假设 U ⊂ R m 是开集，f : U → R n 是光滑映射且对于任意 x ∈ U, dfx 的秩为 常数 r. 在对 f 的定义域与值域均复合上适当的平移（注意平移是微分同胚）后，可以假设 0 ∈ U 且 f(0) = 0. 因为 rank(df)0 = r, 通过调整定义域和值域中坐标的次序（注意调整 坐标次序是微分同胚) 不妨可以假设 Jacobi 矩阵 ( ∂fi ∂xj )1≤i≤n,1≤j≤m 的左上角 r × r 子矩阵在 x = 0✿✿处是非奇异的，从而在 x = 0✿✿✿✿✿ 附近也是非奇异的. 定义映射 ϕ : U → R m 为 ϕ(x) = (f1(x), · · · , fr(x), xr+1 , · · · , xm). 则 ϕ(0) = 0, 且微分 dϕ = ÑÄ ∂fi ∂xj ä 1≤i,j≤r ∗ 0 Idn−r é 在 x = 0 处是非奇异的. 由反函数定理, ϕ 是 0 附近的局部微分同胚，即存在 0 在 U ⊂ R m 中的邻域 U1 和 0 在 R m 中的邻域 V1 使得 ϕ : U1 → V1 是一个微分同胚. 记 f ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xm) = (g1(x), · · · , gn(x)), x ∈ V1. 37
2.2 光滑映射的局部性态 注意到由定义， f ◦ ϕ −1 (f1(x), · · · , fr(x), xr+1 , · · · , xm) = f ◦ ϕ −1 (ϕ(x)) = f(x) = (f1(x), · · · , fn(x)) 即在 0 附近有 f ◦ ϕ −1 (x) = (x 1 , · · · , xr , gr+1(x), · · · , gn(x)), 故 g1(x) = x 1 , · · · , gr(x) = x r，而当 i ≥ r + 1 时有 gi(0) = 0. 此外，由链式法则， dfφ−1(x) ◦ (dϕ−1 )x = Ñ Idr 0 ∗ Ä ∂gi ∂xj ä r+1≤i≤n,r+1≤j≤m é . 关键观察： 因为 (dϕ−1 )x 是一个线性同构, “在 0 附近有 rank(dfx) = r”蕴含着“在 0 附近有 rank(dfφ−1(x) ◦ (dϕ−1 )x) = r”, 因此在 0 附近必须有 ∂gi ∂xj = 0, ∀r + 1 ≤ i ≤ n, r + 1 ≤ j ≤ m. 由此可知，在 0 的一个小邻域中， gi(x) = gi(x 1 , · · · , xr ), ∀r + 1 ≤ i ≤ n. 换句话说，在 0 附近有 f ◦ ϕ −1 (x) = (x 1 , · · · , xr , gr+1(x 1 , · · · , xr ), · · · , gn(x 1 , · · · , xr )). 下面“消灭”这些多余的 gi：在 0 附近的一个小邻域里，令 ψ(y) = y 1 , · · · , yr , yr+1 − gr+1(y 1 , · · · , yr ), · · · , yn − gn(y 1 , · · · , yr ) , 从而 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (x 1 , · · · , xr , xr+1 , · · · , xn ) = (x 1 , · · · , xr , 0, · · · , 0). 最后只需验证 ψ 是一个局部微分同胚，而这是反函数定理的推论，因为由定义可得 dψ0 = Ñ Idr 0 ∗ Idn−r é . 步骤 2: 光滑流形的情形. 通过标准的技巧可以轻松从欧氏情形过渡到一般情形: 取 p 附近的一个坐标邻域 (ϕ, U, V ) 和 f(p) 附近的一个坐标邻域 (ψ, X, Y ), 使得 f(U) ⊂ X, 并且 dfq 在 U 上的秩 是常数. 因为 (dϕ−1 )x 和 dψf(φ−1(x)) 都是线性同构，而 d(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )x = dψf(φ−1(x)) ◦ dfφ−1(x) ◦ (dϕ−1 )x, 所以 ψ ◦ f ◦ ϕ −1 : V → Y 是常秩 r 的光滑映射, 于是由欧氏空间情形的结论可以得到一 般情形的结论. □ 特别地，常秩满射一定是一个淹没，常秩单射一定是一个浸入，而一般的常秩映射 在局部总能被写作一个淹没 s 和一个浸入 j 的复合 j ◦ s。 38