《化工原理》课程教学资源（教程讲义）第一章 流体流动

第一章流体流动 §1流体流动现象 1-1由小区供水引出流体流动 某新建的居民小区,居民用水拟采用建水塔方案为居民楼供水,如图1-1所示。 qvI: qv2: qv3=? H= 水源 P=60000Pa 图1-1居民小区供水示意图 用泵将水送到高位水塔,水塔中的水源源不断的送到一、二、三楼的用户qn1、q2、q3 这里引出三个问题:第一个问题是,为了保证一、二、三楼有水,就要维持楼底水管中有 定的水压(60000Pa表压),为了维持这个表压,水塔应建多高?即图中的H=?当然 水塔高度的计算,有许多因素要考虑,水压仅是因素之一。第二个问题是,若水塔高度H确 定了,需要选用什么类型的泵?即图中泵的有效功率Pe=?第三个问题是,保持楼底水压 为60000Pa表压,那么一、二、三楼出水是均等的吗?即图中qn1:qn2:qn3=?当然, 图1-1的供水系统是实际供水系统简化又简化了的。学完流体流动这一章,就能系统解决 上述的三个问题了。 1-2几个物理名词 1.密度—单位体积流体所具有的质量,称为流体的密度。p="kgm-3 重度——工程单位制中,表示密度的单位,其数值与密度相同。kgfm-3 比重(相对密度)一物料密度与纯水(277K时)密度之比,其数值的一千倍

1 第一章 流体流动 §1 流体流动现象 1-1 由小区供水引出流体流动 某新建的居民小区，居民用水拟采用建水塔方案为居民楼供水，如图 1-1 所示。 图 1-1 居民小区供水示意图 用泵将水送到高位水塔，水塔中的水源源不断的送到一、二、三楼的用户 v1 v2 v3 q 、q 、q 。 这里引出三个问题：第一个问题是，为了保证一、二、三楼有水，就要维持楼底水管中有 一定的水压（60000 Pa 表压），为了维持这个表压，水塔应建多高？即图中的 H = ? 当然 水塔高度的计算，有许多因素要考虑，水压仅是因素之一。第二个问题是，若水塔高度 H 确 定了，需要选用什么类型的泵？即图中泵的有效功率 Pe = ?第三个问题是，保持楼底水压 为60000 Pa 表压，那么一、二、三楼出水是均等的吗？即图中 qv1 : qv 2 : qv 3 =？当然， 图 1-1 的供水系统是实际供水系统简化又简化了的。学完流体流动这一章，就能系统解决 上述的三个问题了。 1-2 几个物理名词 1． 密度——单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度。 3 kg m - = × V m r 重度——工程单位制中，表示密度的单位，其数值与密度相同。 3 kgf m - × 比重（相对密度）——物料密度与纯水（ 277 K 时）密度之比，其数值的一千倍

等于密度的数值。 比容密度的倒数,=1 2.压强—单位面积上所受流体垂直方向的作用力,称为流体的压强。P=-Pa 绝对压强—以绝对真空为基准的压强数值。 表压—某体系之绝对压强高出当地大气压之差值,称为该体系的表压 真空度—某体系之绝对压强低于当地大气压之差值,称为该体系的真空度。如 图1-2所示。 表压 食空度绝压 大气压 绝压 绝对零压 图1-2表压和真空度示意图 表压=绝压-当地大气压 真空度=当地大气压绝压 于是,真空度亦为负表压 3.流量—有体积流量与质量流量两种 体积流量(q)—单位时间流过导管任一截面的流体体积,m3s-; 质量流量(qn)—单位时间流过导管任一截面的流体质量,kgs-; 质量流量(qn)kgs=体积流量m3s-×流体密度=q,m3s- x p kg. m-3 流速(u)—流体质点于单位时间内在导管中流过的距离,ms 流邀()=体积流量() 导管截面积(A 需要记住以下常用数据: 1 atm]=101330Pa=1034米水柱=1.033工程大气压=760mmHg 空气p=1.293kgm-3,=00173cp=00173×103S单位 Cn=101kJkg-K-,管内流速取8~15 ms 水p=1000kg·m-3,=lcp=1×10-sI单位 Cn=4187kJ·kg-K-,管内流速取1~3ms-1

2 等于密度的数值。 比容——密度的倒数。 r 1 v = 2． 压强——单位面积上所受流体垂直方向的作用力，称为流体的压强。 Pa A F P = 绝对压强——以绝对真空为基准的压强数值。 表压——某体系之绝对压强高出当地大气压之差值，称为该体系的表压。 真空度——某体系之绝对压强低于当地大气压之差值，称为该体系的真空度。如 图 1-2 所示。 图 1-2 表压和真空度示意图 ∴表压=绝压-当地大气压 真空度=当地大气压-绝压 于是，真空度亦为负表压 3． 流量——有体积流量与质量流量两种 体积流量 ( ) v q ——单位时间流过导管任一截面的流体体积， 3 1 m s - × ； 质量流量 ( ) m q ——单位时间流过导管任一截面的流体质量， 1 kg s - × ； 质量流量( ) m q 1 kg s - × =体积流量 3 1 m s - × ´ 流体密度= 3 1 3 m s kg m - - × ´ r × v q 流速 (u) ——流体质点于单位时间内在导管中流过的距离， 1 m s - × 流速 ( ) ( ) ( ) A q u v 导管截面积 体积流量 = 需要记住以下常用数据： 1[atm] = 101330 Pa = 10.34 米水柱 = 1.033 工程大气压= 760 mmHg 空气 1.293 kg m 0.0173cp 3 = × = - r ，m 3 0.0173 10 - = ´ SI 单位， 1 1 1.01 kJ kg K - - = × × Cp ，管内流速取 1 8 ~ 15 m s - × 水 1000 kg m 1cp 3 = × = - r ，m 3 1 10- = ´ SI 单位， 1 1 4.187 kJ kg K - - = × × Cp ， 管内流速取 1 1 ~ 3 m s - ×

1-3牛顿粘性定律 首先应指出,这是个实验性定律,是通过实验得出的 站在长江大桥上,人们可以看到,江中心水急浪大,江岸两边,水流速度小,证明流 速存在一个流动分布,如图1-3所示。横渡过长江的人,体会更深刻 江心 图1-3江面流速分布示意图 在圆管中流动的流体,我们可以想象它们是由无数的速度不等的流体圆筒所组成,如 图1-4所示。 流向 u 图1-4粘度定律推导示意图 我们选相邻两薄圆筒流体(1,2)进行分析。设两薄层之间垂直距离为dy,两薄层 速度差为du,即(l2-u1),两薄层之间接触的圆筒表面积为A,两薄层之间的内摩擦力 为F。实验证明,对于一定流体,内摩擦力F与接触面积A成正比,与速度差du成反比, 此即牛顿粘度定律 F=u dy (A) A 称为剪应力(单位面积上所受的内摩擦力),Nm-2; A du称为速度梯度(垂直于流体运动方向的速度变化率),s-

3 1-3 牛顿粘性定律 首先应指出，这是个实验性定律，是通过实验得出的。 站在长江大桥上，人们可以看到，江中心水急浪大，江岸两边，水流速度小，证明流 速存在一个流动分布，如图 1-3 所示。横渡过长江的人，体会更深刻。 图 1-3 江面流速分布示意图 在圆管中流动的流体，我们可以想象它们是由无数的速度不等的流体圆筒所组成，如 图 1-4 所示。 图 1-4 粘度定律推导示意图 我们选相邻两薄圆筒流体（1，2）进行分析。设两薄层之间垂直距离为dy ，两薄层 速度差为du ，即（ 2 1 u - u ），两薄层之间接触的圆筒表面积为 A ，两薄层之间的内摩擦力 为 ' F 。实验证明，对于一定流体，内摩擦力 ' F 与接触面积 A 成正比，与速度差du 成反比， 此即牛顿粘度定律。 y u F A y u F A d d d ' d ' µ × Þ = m × × y u A F d d ' t = = m × ………………(A) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ A F ' ——称为剪应力（单位面积上所受的内摩擦力）， 2 N m - × ； ÷ ÷ ø ö ç ç è æ y u d d ——称为速度梯度（垂直于流体运动方向的速度变化率）， 1 s - ；

—比例系数,称为粘度或动力粘度。 式(A)即为牛顿粘度定律。用一句话表述牛顿粘度定律,就是流体内部所受的剪应 力与速度梯度成正比。 ∴F=ml=m 业山如 改写式(A)得:r AAdr K. dE F d( 式中 为单位面积的动量变化率称为动量通量,所以牛顿粘度定律另一说法是 A·dt 动量通量与速度梯度成正比 顺便介绍一下,服从牛顿粘度定律的流体,我们称为牛顿型流体。不服从牛顿粘度定 律的流体,我们称为非牛顿型流体。 非牛顿型流体有三种,其剪应力与速度的关系如图15所示。 ①塑性流体 T=t+u ②假塑性流体 n1) 涨塑性流体 假塑性流体 图1-5粘性定律示意图 许多高分子溶液、涂料、泥浆等属于非牛顿型流体。 粘度(4) 牛顿粘度定律中的比例系数,其单位为: m.s. m 物化手册中常常提到以厘泊表示的粘度 1厘泊=001泊=0.01 达因·秒 1×10-3N 0.01 =1×10-3 1×10-m 3

4 m ——比例系数，称为粘度或动力粘度。 式（ A ）即为牛顿粘度定律。用一句话表述牛顿粘度定律，就是流体内部所受的剪应 力与速度梯度成正比。 Q ( ) t mu t u F ma m d d d d = = = 改写式（A）得： ( ) y u A t mu A F d d d d ' = × × t = = m ……………(B) 式中 ( ) A t mu d d × 为单位面积的动量变化率，称为动量通量，所以牛顿粘度定律另一说法是， 动量通量与速度梯度成正比。 顺便介绍一下，服从牛顿粘度定律的流体，我们称为牛顿型流体。不服从牛顿粘度定 律的流体，我们称为非牛顿型流体。 非牛顿型流体有三种，其剪应力与速度的关系如图 1-5 所示。 ①塑性流体 y u y d d t = t + m ②假塑性流体 ( ) 1 d d ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = n y u K n t 图 1-5 粘性定律示意图 许多高分子溶液、涂料、泥浆等属于非牛顿型流体。 粘度(m) 牛顿粘度定律中的比例系数，其单位为： 1 1 2 2 m s m d d kg m s m - - - - × × × × × = y u t m 1 1 kg m s - - Þ × × 物化手册中常常提到以厘泊表示的粘度。 1厘泊 = 0.01泊 2 cm 0.01达因×秒 = 4 2 5 1 10 m 1 10 N s 0.01 - - ´ ´ × = 2 3 m N s 1 10 × = ´ - 1 10 Pa s 3 = ´ × -

粘度∥的物理意义.由F=A业知,当取A=1m2,如=1s时,在单位接 触面积上M=F。所以粘度的物理意义为:在单位接触面积上,速度梯度为1时,由流体 的粘度引起的内摩擦力的大小。在相同的流体条件下,流体的粘度越大,所产生的粘性力 (或内摩擦力)也越大,即流体阻力越大。例如用手指头插入不同粘度的流体中,当流体H 大时,手指头感受阻力大,当小时,手指头感受阻力小。这就是人们对粘度的通俗感受。 1-4流体流动类型 当我们拧水龙头时,若水压大,水流是大而急的,激起盆底水花飞溅,若水压小,水 流是小而慢的,水呈细流状。有的自然风景区,水流有“飞流直下三千尺”的架势,有的 小溪则是涓滑细流。贵阳市的花溪公园是典型的涓涓细流,贵州安顺的黄果树瀑布则是典 型的“飞流直下”。这都说明,日常生活中,水的流动是有差别的 如何将这些定性的感性认识提高到定量的理论高度呢?流动类型与哪些物理量有关 呢?雷诺( Reynolds)从事了专门的研究。 1883年,雷诺通过大量实验观察到,流体流动分为层流(滞流)、过渡流、湍流,且 流动型态除了与流速(u)有关外,还与管径(d)、流体的粘度()、流体的密度(p)有关 雷诺将l、d、、p组合成一个复合数群 R 此数群,后人称之为雷诺准数Re,无数的观察与研究证明,Re值的大小,可以用来 判断流动类型。Re4000,为湍流。Re在2000~4000之间为 过渡流 雷诺准数Re是个十分重要的数群。它不仅在流体流动过程中经常用到,而且在整个 传热、传质过程中也常用到。 层流特征:流体质点无返混,整个流动区都存在速度梯度,速度分布呈二次抛物线型 P1-P2 41l

5 粘度 m 的物理意义。由 y u F A d ' d = m × 知，当取 2 A = 1 m , 1 1 s d d - = y u 时，在单位接 触面积上 ' m = F 。所以粘度的物理意义为：在单位接触面积上，速度梯度为 1 时，由流体 的粘度引起的内摩擦力的大小。在相同的流体条件下，流体的粘度越大，所产生的粘性力 （或内摩擦力）也越大，即流体阻力越大。例如用手指头插入不同粘度的流体中，当流体m 大时，手指头感受阻力大，当m 小时，手指头感受阻力小。这就是人们对粘度的通俗感受。 1-4 流体流动类型 当我们拧水龙头时，若水压大，水流是大而急的，激起盆底水花飞溅，若水压小，水 流是小而慢的，水呈细流状。有的自然风景区，水流有“飞流直下三千尺”的架势，有的 小溪则是涓涓细流。贵阳市的花溪公园是典型的涓涓细流，贵州安顺的黄果树瀑布则是典 型的“飞流直下”。这都说明，日常生活中，水的流动是有差别的。 如何将这些定性的感性认识提高到定量的理论高度呢？流动类型与哪些物理量有关 呢？雷诺（Reynolds）从事了专门的研究。 1883 年，雷诺通过大量实验观察到，流体流动分为层流（滞流）、过渡流、湍流，且 流动型态除了与流速(u) 有关外，还与管径(d) 、流体的粘度(m) 、流体的密度(r) 有关。 雷诺将u、d、m、r 组合成一个复合数群。 m dur Re = 此数群，后人称之为雷诺准数Re ，无数的观察与研究证明，Re 值的大小，可以用来 判断流动类型。 Re 4000 ，为湍流。 Re 在 2000 ~ 4000 之间为 过渡流。 雷诺准数 Re 是个十分重要的数群。它不仅在流体流动过程中经常用到，而且在整个 传热、传质过程中也常用到。 层流特征：流体质点无返混，整个流动区都存在速度梯度，速度分布呈二次抛物线型， ( ) 1 2 2 2 4 R r l p p ur - - = m

图1-6层流表征图 平均速度是最大流速的一半,n1 ,如图1-6所示。 湍流特征:流体质点杂乱无章,仅在管壁处存在速度梯度,速度分布服从尼古拉则的 七分之次方定律:“=2应用范围是Re=1.1×105,平均流速是最大流速的08 倍,l=0.8,如图1-7所示。 图1-7澈流表征图 1-5层流速度分布式的推导 R 图1-8速度分布推导图 如图1-8所示,在半径为R的管内,取半径为r,长为L的圆柱流体讨论。 作用于流体柱左端面的力为:p丌r2 作用于流体柱右端面的力为:-p2丌r2 流体柱外表面受的内摩擦力为:-F 由牛顿粘性定律得:F=,,而y=R F=u(2mL)

6 图 1-6 层流表征图 平均速度是最大流速的一半， max 2 1 u = u ，如图 1-6 所示。 湍流特征：流体质点杂乱无章，仅在管壁处存在速度梯度，速度分布服从尼古拉则的 七分之一次方定律： 7 1 max ÷ ø ö ç è æ = R y u ur 应用范围是 5 Re = 1.1´10 ，平均流速是最大流速的 0.8 倍， max u = 0.8u ，如图 1-7 所示。 图 1-7 湍流表征图 1-5 层流速度分布式的推导 图 1-8 速度分布推导图 如图 1-8 所示，在半径为 R 的管内，取半径为 r ，长为 L 的圆柱流体讨论。 作用于流体柱左端面的力为： 2 1 p p ×r 作用于流体柱右端面的力为： 2 2 - p p ×r 流体柱外表面受的内摩擦力为：― ' F 由牛顿粘性定律得： y R r y u F = A ,而 = - d ' d m ( ) r y y r F rL d d d d 2 ' - \ = - \ = m p

在稳定流动条件下,上述合力为零,得: (p1-p2 (p, -p,)r du P1-P2 2Lu 当r=R时,l=0;r=r时,u=u,积分式(1)得 PI-p PI-p p,-p2 r-R P-p 2L 2 4LH P1-P2R2II 4L4 R 0时,l=um P1-P2 代入式(2)得 u=1 (3) R 将式(3)作图,如图1-9所示。 图1-9层流速度分布示意图 1-6层流平均流速与最大流速 在层流条件下,平均速度与最大速度u的关系如何呢? 7

7 在稳定流动条件下，上述合力为零，得： ( ) ( ) p p r r u L r u p p r r L 1 2 2 1 2 d d 0 2 d d - p × + 2p × × m = Þ m = - - r r L p p u d 2 d 1 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - \ = - m ………………(1) 当 r = R 时，u = 0； r = r 时，u = u ，积分式(1) 得： r L p p u r R u r d 2 d 1 2 0 × - = - ò ò m r R r L p p u 2 2 2 1 2 × - \ = - m ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 R r L r R p p L p p - - = - × - = - m m ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ - - \ = 2 1 2 2 1 4 R r R L p p u m ……………(2) 当 r = 0 时 1 2 2 max max 4 R L p p u u u m - ， = ，\ = 代入式（2）得： ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ = - 2 max 1 R r u u ……………(3) 将式（3）作图，如图 1-9 所示。 图 1-9 层流速度分布示意图 1-6 层流平均流速与最大流速 在层流条件下，平均速度u 与最大速度 max u 的关系如何呢？

R 图1-10管内流体速度分布示意图 如图1-10所示,设管内流体由速度不等的几个圆筒形流体组合而成,以第i个圆筒形 流体来分析,该圆筒流体的流量为:△qn,=2mXM×l1 总流量为:q,=∑n=∑2xrAr1 当n→∞时,(即A取足够小,圆筒数量取足够多时)M→d q 7.lI l= q 由于u=un1 R/代入上积分得: R 2丌·rd 2 dr R)R R R R =maxR) 2(R 所以,在层流条件下,平均流速是最大流速的一半。 §2流体质量衡算—连续性方程 1-7连续性方程的导出 8

8 图 1-10 管内流体速度分布示意图 如图 1-10 所示，设管内流体由速度不等的几个圆筒形流体组合而成，以第i 个圆筒形 流体来分析，该圆筒流体的流量为： v i i i i Dq , = 2pr ´ Dr ´ u å å = = = D = × ×D × n i i i i n i qv qv i r r u 1 1 总流量为： , 2p n r r dr 当 ® ¥时，（即D i取足够小，圆筒数量取足够多时）D i ® ò \ = × × R v q u r r 0 2p d 2 0 2 2 d R u r r R q u R v p p p × × \ = = ò 由于 ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ = - 2 max 1 R r u u ， 代入上积分得： 2 0 2 max 1 2 d R r r R r u u R p p × × ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ - = ò 2 2 2 d 2 d d 1 d 2 ÷ ø ö ç è æ ÷× × Þ × = × ø ö ç è æ ÷ = ø ö ç è æ R r r r r R R R r R r Q p ÷ × ×p ø ö ç è æ \ × × = 2 2 2 d d R R r r r 2 0 2 2 2 max 1 d R R r R r u R u R p p ò ÷ ø ö ç è æ ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ - \ = max 0 2 4 max 2 1 2 1 u R r R r u R = ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ ÷ - ø ö ç è æ = 所以，在层流条件下，平均流速是最大流速的一半。 §2 流体质量衡算——连续性方程 1-7 连续性方程的导出

图1-11连续性方程推导图 如图1-1所示,此导管由直径为d1d2,d3的三段直管所组成,流体流速为a1,u2,l3 我们取从截面1-1到截面22的范围作流体的质量衡算。 稳定流动qm=qn2kg·s q,!‘P1=q,2·P p2 由于液体是不可压缩的,所以P1=P2 l1d2=l2d2;同理可得:u1d2=2d2 l1d12=l2d2=ud2=常数 式(D)()称为不可压缩流体的稳定流动的连续性方程。 §3流体能量衡算—柏努利方程 1-8柏努利方程的导出 u2,P2 W 加热器 泵 W 基准面 图1-12柏努利方程推导图 如图1-12所示,设有mkg流体由1-截面流至2-2截面,流体流速分别为a12和2; 9

9 图 1-11 连续性方程推导图 如图 1-11 所示，此导管由直径为 1 2 3 d , d , d 的三段直管所组成，流体流速为 1 2 3 u ,u ,u 。 我们取从截面 1-1 到截面 2-2 的范围作流体的质量衡算。 稳定流动 1 ,1 ,2 kg s - = × qm qn ………………(I) 3 1 3 ,1 1 ,2 2 m s kg m - - × r = × r × ´ × qv qv ； 2 2 1 2 2 2 1 1 4 4 r p r p u × d × = u × d × 由于液体是不可压缩的，所以 r1 = r 2 \u1 d1 2 = u2 d2 2 ；同理可得： 2 3 3 2 1 1 u d = u d \ = = = 2 3 3 2 2 2 2 1 1 u d u d u d 常数 ……………(II) 式(I)(II) 称为不可压缩流体的稳定流动的连续性方程。 §3 流体能量衡算——柏努利方程 1-8 柏努利方程的导出 图 1-12 柏努利方程推导图 如图 1-12 所示，设有 m kg 流体由 1-1 截面流至 2-2 截面，流体流速分别为 1 u 和 2 u ；

流体具有的压强分别为p和P2。我们对1-1和22范围的流体作能量衡算 (1)势能—先取基准面。在11和22截面所具有的势能分别为:mg=1和mg2 其单位是:kgm·s.m→J (2)动能—在1-1和22截面具有的动能分别为: 和 2’共单位是: kg·m2·s2→J (3)压强能——压强能在普通物理中讲得不多。压强具不具有能量?生活中许多例 子可以说明。液压吊车,就是利用高压油(流体)推动活塞来做功的,其动力就是高压油 泵;洒水车,就是利用高压水清扫路面的;工厂中用高压空气清扫车间等等。这都是高压 流体释放能量的例子。 又例如我们为自行车内胎充气,我们通过对打气筒的活塞做功,使常压空气充到内胎 中,变成加压空气。这就是说,为了使流体具有高的压强,必须对流体做功,这是流体吸 收能量的例子 12 图1-13压强能的表达形式 压强能的表达形式如何呢?如图113所示,要将压强为P2,质量为m[kg]的流体 推出系统之外,做了多少功呢? 推力为:F=P2A N·m.m2→N 流体走过的距离为:l 所以做功为:F.1=P4m=mp 此即为mkg的流体在22截面具有的压强能。于是,在1-1和2-2截面,mkg流体 具有的压强能分别为:"和",其单位是:J (4)热能—外界对每千克流体提供的热能为QJ·kg。则mkg流体由外界获 得的热量为mQJ 10

10 流体具有的压强分别为 1 p 和 2 p 。我们对 1-1 和 2-2 范围的流体作能量衡算。 （1） 势能——先取基准面。在 1-1 和 2-2 截面所具有的势能分别为：mgz1和 mgz2 。 其单位是： kg m s m J × × -2 × Þ （2） 动能——在 1-1 和 2-2 截面具有的动能分别为： 2 2 2 2 2 mu1 mu 和 ，其单位是： kg m s J × 2 × -2 Þ （3） 压强能——压强能在普通物理中讲得不多。压强具不具有能量？生活中许多例 子可以说明。液压吊车，就是利用高压油（流体）推动活塞来做功的，其动力就是高压油 泵；洒水车，就是利用高压水清扫路面的；工厂中用高压空气清扫车间等等。这都是高压 流体释放能量的例子。 又例如我们为自行车内胎充气，我们通过对打气筒的活塞做功，使常压空气充到内胎 中，变成加压空气。这就是说，为了使流体具有高的压强，必须对流体做功，这是流体吸 收能量的例子。 图 1-13 压强能的表达形式 压强能的表达形式如何呢？如图 1-13 所示，要将压强为 2 p ，质量为 m [kg]的流体 推出系统之外，做了多少功呢？ N m m N 2 2 推力为：F = p2 × A × - × Þ 流体走过的距离为： m m m kg kg 2 3 Þ × = A m l r 所以做功为： N m J 2 = 2 × Þ × × = r r mp A p A m F l 此即为 m kg 的流体在 2-2 截面具有的压强能。于是，在 1-1 和 2-2 截面， m kg 流体 具有的压强能分别为： r r mp1 和 mp2 ，其单位是： J （4） 热能——外界对每千克流体提供的热能为 1 J kg - × Qe 。则 m kg 流体由外界获 得的热量为 J mQe