中南大学：《化工传递过程》 第二章 连续性方程与运动方程

第一篇动量传递 第二章连续性方程与运动方程

第一篇 动量传递 第二章 连续性方程与运动方程

连续性方程(微分质量) 0(2),o(p1y+a×p=0 )(m2) x 06 微分能量方程 DU +Pp D「aq/AO+a/)2+0(q/A2 De De OX az 运动方程(微分动量) De p Fg-Vp+uVu+our(v u

• 连续性方程（微分质量） • 微分能量方程 • 运动方程（微分动量） 0 ( ) ( ) ( ) =   +   +   +        z u y u x ux y z  +        +   +   + = − z q A y q A x q A D Dv P D DU x y z ( / ) ( / ) ( / )     ( . ) 3 2 1 F p u u D Du =  g − +  +    

微分质量衡算方程 〔Xy2z) 单组份系统: (输出的质量流率)—(输入的质量流率) 累积的质量速率=0 在x左侧面: 输入微元体积的质量流率=P1dhh 输出微元体积的质量流率 a(e O(m1) ou t )dydz ou x dz f=fo+rdx

微分质量衡算方程 单组份系统： （输出的质量流率）—（输入的质量流率） ＋累积的质量速率＝0 在x左侧面： 输入微元体积的质量流率 输出微元体积的质量流率 z x y dz dx dy (x,y,z) dy dz ρux dy dz u dydz =  x dx dx df f f dx dydz x u u x x = +   = + 0 ) ( ) (   dx x u u x x   + ( ) 

微分质量衡算方程 于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差: onu O(m1) Ddydz dydz dady 同理在y方向: ,"的)b- pu, drd a(puy)dh a(pu,) ou Z方 (P2+ da)dx

微分质量衡算方程 • 于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差： • 同理在y方向： • Z方向： dx dydz x u u x x ) ( ) (   +   dxdydz x u u dydz x x   − = ( )  dy dxdz y u u y y ) ( ) (   +   dxdydz y u u dxdz y y   − = ( )  dz dxdy z u u z z ) ( ) (   +   dxdydz z u u dxdy z z   − = ( ) 

微分质量衡算方程 (输出的质量流率)一(输入的质量流率)= a(pu, ),O(pu,) o(pu, )dxdydz az 累积的质量流率 (p dxdydz 06 质量衡算:出一入十累积=0 a(puto O(pu,) a( pu dxd dvds t ap l dxdydz=0 az 06 m1),O(m),a(m2),O(P + 06

微分质量衡算方程 （输出的质量流率）—（输入的质量流率）＝ 累积的质量流率＝ 质量衡算： 出—入＋累积＝0 dxdydz z u y u x ux y z ) ( ) ( ) ( ) (   +   +      dxdydz    ( ) dxdydz z u y u x ux y z ) ( ) ( ) ( ) (   +   +      0 ( ) =   + dxdydz   z u y u x ux y z   +   +  ( ) ( ) ( ) 0 ( ) =   +  

微分质量衡算方程 a(Pux) O(ply c(ou) O(p)=0 00 写成向量形式: ap) a+V·(m)=0 展开 (x)O()O(2),O(P),p),()Op +u +u 0 aX az a6 连续方程式一般形式

微分质量衡算方程 • 写成向量形式： • 展开： 连续方程式一般形式 z u y u x ux y z   +   +  ( ) ( ) ( ) 0 ( ) =   +   0 ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( =   +   +   +   +   +   +         z u y u x u z u y u x u x y z x y z ( ) 0 ) +  • =   u  

几种算法符号及意义 谢树艺,《工程数学—矢量分析与场论》,人民教育出版社,1978年,北京 哈米尔顿( Hamilton)算子:=20+70+k8 梯度Vu=( +k=) Odour au- aua 散度: u=(i+j+k(ui+u,j+u.k) y O

几种算法符号及意义 谢树艺，《工程数学—矢量分析与场论》，人民教育出版社，1978年，北京 • 哈米尔顿（Hamilton)算子： • 梯度 • 散度： z k y j x i   +   +    =    k z u j y u i x u u z k y j x u i         +   +   =   +   +    = ( ) z u y u x u u i u j u k z k y j x u i x y z x y z   +   +   + + =   +   +   • = ( )( )       

微分质量衡算方程的进一步分析 由于密度p是空间(x,y,z)和时间的 连续函数,及:p=fxyz,0) 将密度p进行全微分: d0+ op dx+ dy+dz 06 写成全导形式 0,a p dx ap dy ap dz de a0 ax de ay do az de

微分质量衡算方程的进一步分析 • 由于密度ρ是空间（x，y，z）和时间的 连续函数，及： ρ＝f(x,y,z,θ） • 将密度ρ进行全微分： • 写成全导形式 dz z dy y dx x d d   +   +   +   =                  d dz d z dy d y dx d x d   +   +   +   =

不同的导数 如_如女,如 de a8 ax de ay de 偏导数:C0某固定点处流体密度p随时间的变化率。 06 全导数:d流体密度由于位置和时间变化而产生的变 化率(观测者在流体中以任意速度运动) 随体导数:D观测者随流体随波逐流运动,即观测者在 流体中与流体流速完全相同的速度运动。此时: dz de de

不同的导数 • 偏导数： 某固定点处流体密度ρ随时间的变化率。 • 全导数： 流体密度由于位置和时间变化而产生的变 化率（观测者在流体中以任意速度运动）。 • 随体导数： 观测者随流体随波逐流运动，即观测者在 流体中与流体流速完全相同的速度运动。此时：           d dz d z dy d y dx d x d   +   +   +   =       d d   d dz u d dy u d dx ux = ; y = ; z =   D D

随体导数 de 00 Ox do ay do az d0 O OA dp dp +u +u +u az )0 +u +u +u de ae ax 对温度t、浓度c等也有类似表达式 dt at at +u L +u De 00 OX

随体导数           d dz d z dy d y dx d x d   +   +   +   = z u y u x u d d x y z   +   +   +   =        z u y u x u D D x y z   +   +   +   =        z t u y t u x t u t D Dt t c x y z   +   +   +   =   对温度 、浓度 等也有类似表达式