第二章信号与系统的时域分析 520引言: 基本思路对T系统由于其具有叠加性齐次性时 不变性故而如能实现将仼意信号在时域分解为简单单元 信号的线性组合那么只要得到LT系统对基本信号的响应, 就可以利用系统的线性特性,将系统的输出响应表示成 系统对基本信号的响应的线性组合 即 x(t)=baxi(t) x(n)=2a,x, (n) 则由系统的线性特性有: ()=∑ay(t) (m)=∑ay,(n) 其中 x1(1)→y()x,(m)→>y(m)
第二章 信号与系统的时域分析 §2.0 引言: 基本思路:对LTI系统,由于其具有叠加性,齐次性,时 不变性,故而,如能实现将任意信号在时域分解为简单单元 信号的线性组合,那么只要得到LTI系统对基本信号的响应， 就可以利用系统的线性特性，将系统的输出响应表示成 系统对基本信号的响应的线性组合。 即: 则由系统的线性特性有: 其中: = i i i x(t) a x (t) x(n) a x (n) i i = i y(t) a y (t) i i = l = i i i y(n) a y (n) x (t) y (t) i → i x (n) y (n) i → i
对单元信号的要求: 1.本身要简 2能够构成相当广泛的一类信号具有普遍性 3.系统对单元信号的响应易于求得 问题的实质: 1研究信号的分解:即以什么样的信号作为构成任意信号的 基本信号单元,如何用基本信号单元的线性组合来构成任意 信号; 2如何得到T系统对基本单元信号的响应和对任意信号的响 应。 本章的内容 1用δ(t)表示连续时间信号x(t)用卷积积分求得响应 2用8m)表示离散时间信号x(n)用卷积和求得响应 3.在信号进行时域分解的的情况下研究系统的性质;
对单元信号的要求: 1. 本身要简 2.能够构成相当广泛的一类信号,具有普遍性 3.系统对单元信号的响应易于求得. 本章的内容: 1.用(t)表示连续时间信号x(t),用卷积积分求得响应; 2.用(n)表示离散时间信号x(n),用卷积和求得响应; 3.在信号进行时域分解的的情况下,研究系统的性质; 问题的实质： 1 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的 基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意 信号； 2 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应和对任意信号的响 应
第二章信号与系统的时域分析 §2.1信号的时域分解: 用8(t)表示连续时间信号: 定义:单位距形脉冲 0<t<Δ 6()={△ otherwise 0<t<△ △(t)= 0 otherwise △O(t-k△) k△<t<(k+1)△ 其它t k△(k+1)△t 将x(t)用一系列的距形脉冲近似
第二章 信号与系统的时域分析 §2.1 信号的时域分解: 一.用(t) 表示连续时间信号: 将x(t)用一系列的距形脉冲近似, 0 1 t (t) 单位距形脉冲 定义: 0 1 t ( − ) t k k (k +1) 1 0 ( ) 0 t t otherwise = 1 0 ( ) 0 t t otherwise = − = .0 .1 (t k ) t ( 1) 其它 k t k +
x(k△ 0△ k△(k+1)△ 第k个矩形可表示为:x(k△A)6(t-k△)△ 这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号X(1), x△()=∑x(k△)62(t-k△)△ -0
第 个矩形可表示为： 这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号 ， 即： x t( ) 0 k ( 1) k + t x k( ) x t( ) k x k t k ( ) ( ) − x t( ) ( ) ( ) ( ) k x t x k t k =− = −
x(O)=∑x(k△)6(-k△)△ k=-00 当→少0时,k△→>z,D(t-k△)→(t-),△→>lr, Σ「,于是: x(t)=x(o)8(t-r)dr 这一关系也可以根据δ(t)的性质直接推导而来 x()6(t-rdr=x(6(t-tdr=x(o&(t-r)dr=x(t 表明:任何连续时间信号x(t)都可以被分解为无数 多个移位加权的单位冲激信号的线性组合
当 时， ， ， ， ，于是： →0 k → ( ) ( ) t k t − → − →d → x t x t d ( ) ( ) ( ) − = − 表明：任何连续时间信号 都可以被分解为无数 多个移位加权的单位冲激信号的线性组合。 x t( ) − − − ( ) ( − ) = ( ) ( − ) = ( ) ( − ) = ( ) ( ) : x t d x t t d x t t d x t t 这一关系也可以根据 的性质直接推导而来 ( ) ( ) ( ) k x t x k t k =− = −
第二章信号与系统的时域分析 §21信号的时城分解: 用δ(t)表示连续时间信号: 结论以上讨论表明任何连续时间信号可以分解成无数 多个移位、加权的单位冲激之和,解决了连续时间信号时 城分解的问题 二用8(n)表示离散时间信号: 何以由线性组合构成即 (m)=∑(k)=∑6(n-k) k=-0 k=0 对任何离散时间信号x(mn)如果每次从其中取出 个点,就可以将整个信号拆开来,每次取出的 个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位 脉冲
第二章 信号与系统的时域分析 §2.1 信号的时域分解: 一.用(t) 表示连续时间信号: 结论:以上讨论表明,任何连续时间信号可以分解成无数 多个移位、加权的单位冲激之和,解决了连续时间信号时 域分解的问题. 二.用(n) 表示离散时间信号: 可以由 线性组合构成即： 0 ( ) ( ) ( ) n k k u n k n k =− = = = − u n( ) ( ) n 对任何离散时间信号 ，如果每次从其中取出 一个点，就可以将整个信号拆开来，每次取出的 一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位 脉冲。 x n( )
T72 1 x[1] [-1]0[n+ 1 x[26[n-2 2
于是有: x(m)=∑x(k)6(n-k) k=- 表明:任何信号x(m)都可以被分解成移位 加权的单位脉冲信号的线性组合
于是有： ( ) ( ) ( ) k x n x k n k =− = − 表明：任何信号 都可以被分解成移位 加权的单位脉冲信号的线性组合。 x n( )
第二章信号与系统的时域分析 §22连续时间信号LTI系统的时域分析: 卷积积分: 单位冲激响应:h(t 6(t) h(t) 单位冲激响应h的定义LTI系统对8t的响应 δ(1)->h() 由系统的时不变性:δ(t-△)→>h(-△) 由齐次性:x(k△)6(t-△△→x(kA)h(-△)△ 由叠加性:∑x(k△)6(t-△→∑x(k△)(-△)△ △→0k△→△→dr x()0(-dt→x((-m)d→y(t)=x(t)*h(t) x()→>y(t)
第二章 信号与系统的时域分析 §2.2连续时间信号LTI系统的时域分析: 一. 卷积积分: 单位冲激响应: 单位冲激响应h(t)的定义:LTI系统对(t)的响应 LTI (t) h(t) − → − − → − − → − → k k x k t x k t x k t x k h t t h t t h t : ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) 由叠加性 由齐次性 由系统的时不变性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x t y t x t d x h t d k d → − → − → → → − − y(t) = x(t)h(t) h(t)
第二章信号与系统的时域分析 §22连续时间信号LTI系统的时城分析 结论:只要知道了系统的单位冲激响 应h(t),就可以求得系统对 任何x(t所产生的响应y(t), y(t)=x(t)*h(t) 这表明:系统的单位冲激响应h(t)可以 完全表征一个T系统
§2.2连续时间信号LTI系统的时域分析: 结论：只要知道了系统的单位冲激响 应h(t)，就可以求 得系统对 任何x(t)所产生的响应y(t), 这表明:系统的单位冲激响应h(t) 可以 完全表征一个LTI系统。 第二章 信号与系统的时域分析 y(t) = x(t)h(t)