《信号与系统分析》第6章 离散时间信号与系统的频域分析

∥第6章离散时间信号与系统的频域分析 了本章将采用与讨论连续时间.完全相同 的思想方法,来研究离散时间周期信号 与非周期信号的频域分解问题 DFS与CFS之间既有许多类似之处,也有 些重大差别:主要是DFS是一个有限项 级数,具有周期性

第6章 离散时间信号与系统的频域分析 本章将采用与讨论连续时间….完全相同 的思想方法，来研究离散时间周期信号 与非周期信号的频域分解问题。 DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有 一些重大差别：主要是DFS是一个有限项 级数， 具有周期性

在采用相同方法研究如何从DFS引出离 散时间非周期信号频域描述时,相应的 DTFT与CTFT既有许多相类似的地方, 也同时存在一些重要区别。 抓住它们之间的相似之处与掌握其差别 将对掌握和加深对频域分析方法的理解 具有重要意义

▪在采用相同方法研究如何从DFS引出离 散时间非周期信号频域描述时，相应的 DTFT与CTFT既有许多相类似的地方， 也同时存在一些重要区别。 ▪抓住它们之间的相似之处与掌握其差别， 将对掌握和加深对频域分析方法的理解 具有重要意义

6.1离散时间LT系统的 特征函数 时域: h(n) y(n) y(n)=x(n)*h(n) *h(n) ∑h(k)=nk6 k 系统的特征函数 ∑h(k)2 H(二) 系统的特征值 H(=) H()=∑h(k) k

6.1 离散时间LTI系统的 特征函数 LTI h(n) y(n) n z 时域： y(n) = x(n)*h(n) z *h(n) n =  + =− − = k n k h(k)z  + =− − = k n k z h(k)z z H(z) n = n z 系统的特征函数 H (z) 系统的特征值 H (z) =  + =− − k k h(k)z

6.1离散时间LT系统的 特征函数 ∠1kk ∑akH(=) k=-00 k=-0 z为一个复数 2三7V=12=已 em也为离散时间L系统的特征函数,称为信号 频域的基本信号单元。 将信号展开为eon的线性组合即为信号的频域分解

6.1 离散时间LTI系统的 特征函数  + =− = k n k k x(n) a z  + =− = k n k k k y(n) a H(z )z z为一个复数， j j z = re ,r =1,z = e j n e  也为离散时间LTI系统的特征函数，称为信号 频域的基本信号单元。 将信号展开为 e jn 的线性组合即为信号的频域分解

6.2周期信号与离散时间傅立叶级数 n a 成谐波关系的复指数信号集 N为基波周期 q2(m)中只有N个是独立的 PR ( n)=prn(n) 将此有独立的复指数信号线性组合起来,表 示周期信号时,只需要N项 x(n)=∑4e“”=∑Ae k= 它们是以N为周期。表明可以用N个谐波分 量来表示周期序列,这就是DFS

6．2 周期信号与离散时间傅立叶级数       = e n N jk R n   2 ( ) 成谐波关系的复指数信号集 N 为基波周期 (n)  R 中只有 N 个是独立的 将此有独立的复指数信号线性组合起来，表 示周期信号时,只需要 N 项:   =  − • = • = = k N jk n k N k jk n k N N x n A e A e 2 2 1 0 ( ) 它们是以 N 为周期。表明可以用 N 个谐波分 量来表示周期序列，这就是 DFS (n) (n)  R  R+rN =

DES 若x(n)以N为周期 x(n)=∑Ae 称为x(n)的离散傅氏级数 k= 只有N个独立的成谐波关系的复指数分量 k只需取相继的N个整数如k0~N-1等等 如x(n)为实序列,可推得:A=A 实部---偶 模- 偶 虚部---奇 相角--奇 A也称为DFS的系数或频谱系数

二.DFS 若x(n) 以 N 为周期 A e n N j k k N k x n 2 ( ) =  =  称为 x(n)的离散傅氏级数 一、 只有 N 个独立的成谐波关系的复指数分量 二、 k 只需取相继的 N 个整数 如 k:0~N-1 等等 如 x(n)为实序列，可推得： Ak A k   − = * 实部------------偶 模-------------偶 虚部------------奇 相角----------奇 Ak  也称为 DFS 的系数或频谱系数

DFS的系数 x(n)=∑e 2丌 (k-r)n x(n ∑A k= > k= Nk=r ∑e j(k-r) 0,k≠r A=x∑xm)eN" n= n= x(n)= ∑A ke is k= AkN2rone'v k也在N个值范围内取 很容易得出:A=A40 表明离散时间周期序列的频谱是以N为周期的 通常A是复数,绘制频谱时要分别以A.和相角表 示,即幅度频谱和相位频谱一 比较CFS与DFS

⚫DFS 的系数 e A e k r n N j k N k rn N j x n ( ) 2 2 ( ) − =  − =     对 n 求和     =  − =  =  − =  =  − = = n N n N j k r k N k k N n N j k r n N n N rn N j x n e Ak e A e   2 ( ) 2 ( ) 2 ( )       =  = =  − k r N k r n N n N j k r e 0, , 2 ( )   =  −  = n N rn N j Ar x n e N 2 ( ) 1      = =   =  − =  n N k n N j k N n N j k A e A e x n k N k x n   2 2 ( ) 1 ( )  k 也在 N 个值范围内取 很容易得出： Ak Ak rN   + = 表明离散时间周期序列的频谱是以 N 为周期的 通 常Ak  是复数，绘制频谱时要分别以| A | k  和相角表 示，即幅度频谱和相位频谱  =  = k N jk n k N x n A e 2 ( ) 比较CFS与DFS

例:x(m)=sn0n 当a=m时,x(m)是周期的 若:O0=2则x(n)以N为周期 x(n=)(e'n-eN) A1=A1 A 当N=5时,频谱图 —分别画模特性和相位特性

例: j j j n j n j N N A A A x n e e x n N m x n x n n N N 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 ( ) ( ) : ( ) , ( ) ( ) sin 2 2 = = −  = = − = = =  − −        若 则 以 为周期 当 时 是周期的 当N = 5时,频谱图: 1 4 6 -1 -4 -6 分别画模特性和相位特性 Ak •

周期性矩形脉冲序列的频谱 N 令m=n+M1 e(N1+1)k e 2丌 e k k(N1+) k(N1+-) l N k k k

三. 周期性矩形脉冲序列的频谱 ... … 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 1 j k j k N j k N N N N j k j k j k N N N e e e N e e e       − + − + − −     −   =     −   2 1 1 1 1 2 ( 1) 2 2 1 1 1 j kN N j N k N j kn N N k j k n N N e e a e N N e     − + − − = − − = = −  n −N −N1 N1 N 1 令m = n+ N1 A

sink(2N+1) k SIn k k≠0.±N,±2N 2NV,+1 k=rN时 k N 显然4k的包络具有 Sin Bx 的形状 1sn(2N+1)2 2 k k 2

2 1 1 k N a N + = k rN = 显然 ak 的包络具有 的形状 sin sin x x  时 k N N     0, , 2 , | 2 1 2 sin ] 2 sin[( 2 1) 1 k N k N A N     = +   = A A 1 sin (2 1) 1 , sin k k N N a N k N   + =