《信号与系统分析》第4章 Z变换

第四章、Z变换 本章要点 Z变换的基本概念和基本性质 Z变换的Z域分析 高散系统的系统函数 高散系统的频率响

1 第四章、Z变换 本章要点 Z变换的基本概念和基本性质 Z变换的Z域分析 离散系统的系统函数 离散系统的频率响应

在前面,已讨论过复指数信号是一切ITI 系统的特征函数 z→h(m)→>H(z)2”H(x)=∑m)z n=OO 当z=e时,即成为离散时间付氏变换 H(e)=∑h(m)em 本章讨论更一般的情况z=re/,则成为双 边z变换。它与连续时间下的拉氏变换对 2

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4.1双边z变换: 定义 x(e")=∑x(mlem X()=∑x(m)"z=reo是一个复数 二.z变换与离散时间傅立叶变换的关系。 X(=)=X(re)=2x(n)"e on=F[x(n)" n=-00 z变换是离散时间傅立叶变换的推广,他的适用范围 更广,收敛性更强。 当r=1时Z=e,z变换即成为离散时间付氏变换, 故DTFT是z变换的特例,(r=2z平面上半径为的圆), DTFT是在单位圆上的所作的z变换

3 二．z 变换与离散时间傅立叶变换的关系。 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] j n n n j n X z X re x n r e F x n r            z 变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围 更广，收敛性更强。 当 r=1 时 j Z  e ，z 变换即成为离散时间付氏变换， 故 DTFT 是 z 变换的特例，（r  Z ....Z平面上半径为r的圆）， DTFT 是在单位圆上的所作的 z 变换。      n j j n X e x n e   ( ) ( )

三.z变换与拉氏变换的关系: 设x(n)是对连续时间信号x()理 想抽样后而得到的序列。 xn(t)=∑x(n7)(t-m7) 1= x(n)=x2(n7) p()=∑6(t-m7)

4 三． z 变换与拉氏变换的关系： 设 x（n）是对连续时间信号x (t) a 理 想抽样后而得到的序列。 x (t) x (nT ) (t nT ) n p   a     x(n) x (nT)  a      n p(t)  (t nT)

对x)作拉氏变换有:X()=∑xm-m n=-00 对x(n)作z变换有:X()=∑x(m= X(OL=X(s) e 这表明:抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的z变换 之间,本质上是一种映射关系。即通过z=e将s平面的 X,(S)映射成z平面上的x(z) e3}=oT27 T =0→r=1…92轴→单位圆 σ单位圆内 σ>0→>r>1..右半面→单位圆外 2三7 Q=0→=0.S实轴→正实轴 Ω=±→>O=±丌……→>负实轴

5 对 x (t) p 作拉氏变换有： snT n p a X s x nT e    ( )   ( ) 对 x（n）作 z 变换有： n n a X z x nT z    ( )   ( ) X (z) X (s) p Z e  ST   这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的 z 变换 之间，本质上是一种映射关系。即通过 sT z  e 将 s 平面的 X (s) p 映射成 z 平面上的 x（z）。   j sT T j T z re z e e e     负实轴 实轴 正实轴 右半面 单位圆外 左半面 单位圆内 轴 单位圆                          ....... 0 0... 0 1..... 0 1..... 0 1......        T S r r r j

四。z变换与DFT的关系: 如果x(m)是有限长序列,长度为N,则其Z变换为: X(二) X()m=2x(m)W=∑x(me 对xXm)作N点DF有X(k)=2xm)W X(k)=X(=) w 这表明有限长序列的DFT就是该序列的z变换在单位圆 上以x等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆 上的z变换就是DTFT也即是ⅹ(n)的频谱。对z变换在单 位圆上均匀抽样,就是对DTFT即信号频谱抽样,这本自就 是DFT与频域抽样的关系

6 四。z 变换与 DFT 的关系： 如果 x(n) 是有限长序列，长度为 N，则其 Z 变换为：      1 0 ( ) ( ) N n n X z x n z            1 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) N n kn N j N n kn z W N X z k x n W x n e N  对 x(n) 作 N 点 DFT 有     1 0 ( ) ( ) N n kn n WN X k x k N j k N z W e X k X z 2 ( ) ( )      这表明有限长序列的DFT就是该序列的z变换在单位圆 上以 N 2 等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆 上的 z 变换就是 DTFT 也即是 x（n）的频谱。对 z 变换在单 位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就 是 DFT 与频域抽样的关系

4.2Z变换的收敛域 (1),x(2) X()=∑x(n)="=…x(2)2+x-)+x(0)+0+ 由于z变换是一个无穷级数,必然存在收敛问题。即: 并不是任何信号的z变换都存在,也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。 收敛域:能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合,称为该z变换的ROC

7 4.2 Z变换的收敛域               2 2 (1) (2) ( ) ( ) ( 2) ( 1) (0) z x z x X z x n z x z x z x n n 由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的z变换都存在，也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。 收敛域：能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合，称为该z变换的ROC

由于Z[x(m)=F[x(m)]因此当: x(n)r“<∞ 时 x(m)的z变换存在。可见z变换的ROC与 x()及=有关 先看几个例子

8 由于 [ ( )] [ ( ) ] n Z x n F x n r   因此当：       n n [x(n)r ] 时 x(n) 的 z 变换存在。可见 z 变换的 ROC 与 x(n)及 z  r 有关。 先看几个例子：

例1: (1)x(m)= (n) 右边序列 X()=∑ n=0 2 R R Rell > 2

9 例1： ( ) 2 1 (1) x(n) u n n        右边序列 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ) 1 0 1                 z z z X z z n n 2 1 1 Rx  2 1  z  2 1 1 Rx  2 1 j Im[z] Re[z] 2 1 z 

例2: (2)x(n)= (-n-1) 左边序列 1=-n X()=-∑ ∑ 2 ∑(2=) 2 2 2 Im[-] R Rell <一=R 收敛半径 圆内为收敛域, n2=-1<0包括Z=0 若 0 则不包括z=0点 10

10 例2： ( 1) 2 1 (2) ( )         x n   u n n 左边序列 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 (2 ) 1 2 1 2 1 ( )                                         z z z z z X z z z m m m m n n m n 1 0 0 2 1 2 2       n Z z Rx 包括 0 收敛半径 圆内为收敛域， 若 则不包括z=0点 0 n2  2 Rx 2 1 j Im[z] Re[z] 2 1 Z 