《信号与系统分析》第3章 拉普拉斯变换

第三章拉普拉斯变换 本章要点 拉氏变换的定义—从傅立叶变换到拉氏 变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质,收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应

1 第三章 拉普拉斯变换 本章要点 •拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏 变换 •拉氏变换与傅氏变换的关系 •拉氏变换的性质，收敛域 •卷积定理(S域) •系统函数和单位冲激响应

第六章拉普拉斯变换 60引言 第四章已经讨论过复指数信号e“是LTI系统的特征函数s=a+j2,并对 s=Ω的情况进行了研究,即傅立叶分析。本章对更一般的情况(s=σ+j) 进行讨论。 6.1双边拉氏变换。 如果系统冲激响应为h(t),则对e产生的响应为 st y(t )=H(S h(t) H(s)=MOkb→M(的双边拉氏变换。 y()=e"*h(1)=h(r)e s(t-T dr e" h(r)edr 2

2 第六章 拉普拉斯变换 6.0 引言 第四章已经讨论过复指数信号 st e 是 LTI 系统的特征函数s    j ，并对 s  j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s    j ） 进行讨论。 6.1 双边拉氏变换。 如果系统冲激响应为(t)，则对 st e 产生的响应为 st y(t)  H (s)e H(s) (t)e dt (t) st        的双边拉氏变换。 st e h(t) y(t)                  e h e d y t e h t h e d st s st s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

般地,对于信号x()有 X(S)=x()e"dt rx0×= edtX(o)=「x(t)eo FIx(t)e 表明X(s)就是对x(e所做的傅立叶变换。由于e的引入,就 可以通过适当选择σ,使原来傅立叶变换不收敛的信号,其拉氏变换 存在。因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强,应用范围更广它是傅 立叶变换地推广

3 一般地，对于信号 x(t)有 X s x t e dt st   ( )  ( ) x t e e dt  t  jt     ( ) [ ( ) ] t F x t e   表明 x(s) 就是对 t x t e  ( ) 能作地傅立叶变换。由于 t e  的引入，就 可以通过适当选择 ，使原来傅立叶变换不收敛的信号，其拉氏变换 存在。因此拉氏变换比傅立叶变换收敛性强，应用范围更少，它是傅 立叶变换地推广。 X x t e dt j t      () ( ) 所做的 广 X (s)

如果X(在s=收敛,则即s可以取n X(A)=[x(emdm是x的付里叶变换 X(9)=X(S)表明傅立叶变换是位氏变换在Q轴上的特例 由傅立叶反变换得到拉斯反变换 x(S)=1xe1x(t)e即为Y(s)的付里叶反变换 x(t)e X￥(+j()g X(o+jQ2) 2 jQ2 dQ2=-ds X(s)e" ds 27g

4 如果 x(s) 在s  j收敛，则 即 s 可以取 j X j X t e dt  jt   ( )  ( ) 是 x(t)的拉氏变换      s j X ( j ) X (s) 表明傅立叶变换氏拉氏变换在 j轴上的特例 由傅立叶反变换得到拉斯反变换 ( ) [ ( ) ] t X S F x t e   x(t)e X (S) t的反变换即为          x t e X j e d t j t ( ) 2 1 ( )       x t  X  j  e e d t j t   ( ) 2 1 ( ) s   j ds j d 1  X s e ds j st j  j         ( ) 2 1 付里叶变换 x(t)e t即为X (s)的付里叶反变换 X (s) x t e dt  jt ( ) 是

X(s)=|x()e x(t) 1+x(s e as 2

5    X s  x t e dt st ( ) ( ) X s e ds j x t j j st          ( ) 2 1 ( )

62拉氏变换的收敛域 收敛域:使Ⅺ(s)存在的s取值范围称为Y(s)的 ROC。 由于X(s)=F[x(O)e],∴ROC与O有关。能 够使x()e绝对可积的那些O的取值范围, 表明ROC由Re决定 例一. x(t=eu(t) X(she'e sdt= e (S+1)t s+ O

6 6.2 拉氏变换的收敛域 一．收敛域：使 X(s)存在的 s 取值范围称为X(s) 的 ROC。 由于 ( ) [ ( ) ] t X s F x t e   ，ROC 与 有关。能 够使 t x t e  ( ) 绝对可积的那些 的取值范围， 表明 ROC 由Re[s] 决定。 例一． x(t) e u(t) t  1 1 ( ) 0 ( 1) 0            s X s e e dt e dt t st s t (  1) -1 j 

j 例 x()=-e-l(-t) X(S)=-」e -(S+1)t dt s+1 (a<-1) 两个不同的信号具有相同的拉氏变换式,仅是ROC不 同表明拉氏变换式连同ROC才能与信号一一对应

7 例二． x(t) e u( t) t     X s e dt s t      0 ( 1) ( ) 1 1   s (  1) 两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，仅是 ROC 不 同表明拉氏变换式连同 ROC 才能与信号一一对应。  j 1

例三:x() u(-t)+el() X(s)=e"e"dt+I s-a sta C 当a>0时,这两部分地收敛域有共同部分 2 此时X(s) s+a s-a s-a 存在 当a<0时这两个ROC无公共区域x(s)不存在。 表明拉氏变换虽然是付氏变换地推广, 但并非任何信号地拉氏变换都存在。 同时可以看到ROC通常氏一个平行于轴的带形域

8 例三: x(t) e e u( t) e u(t) a t at at     s a s a X s e e dt e e dt at st at st              1 1 ( ) 0 0 (  a,  a) 当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分 a   a 此时 X (s)  2 2 1 1 2 s a a s a s a       存在 当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。 表明拉氏变换虽然是付氏变换地推广， 但并非任何信号地拉氏变换都存在。 同时可以看到 ROC 通常氏一个平行于 j轴的带形域。 -a a  j

例四 x()=n()。l(0)=+gn X(s=e dt O>0 ROC图 例五 x(t)=8(1) X(s)=」(k"d ROC为整个S平面 ●当x(s)的ROC包含j轴时,X(o)存在,且 X(o)=X()l= 如:x(t)=e(t) X +1s+1=a>-1 ●当x(s)的ROC不包含j轴时,Y(o)可能不存 在,也可能存在,一般地说,如果不包含j轴, jO也不是ROC的边界时,X(o)不存在,例: (6s)=1…0<-1

9 ROC图   1 ( ) sgn() 2 1 2 1 u t   t j 

如果:Ⅹ(S)不包含j轴,j轴是ROC的边界 时,X()可以利用冲激函数表示为: X(O)=X(s)-m+z24(-o) k=1 假定X(s)有N个极点。4k是X(s)在极点处的留数, Ok为A(s)的极点,即X()分母的根。 例:x()=()x()=1a>0=0是ROC的 边界。X(s)=极点为0,极点的留数为1 所以:X(D)≈1+m6() 10

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