第五章连续时间信号与系统的频域分析 本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 连续时间LTI系统的频域分析 抽样和抽样定理
1 第五章 连续时间信号与系统的频域分析 本章提要 •傅里叶级数和傅里叶级数的性质 •傅里叶变换和傅里叶变换的性质 •周期信号和非周期信号的频谱分析 •连续时间LTI系统的频域分析 •抽样和抽样定理
傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示” 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在 “热的分析理论” 书中
2 傅里叶生平 • 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表在 “热的分析理论” 一书中
傅立叶的两个最主要的贡献 ·“周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”—傅里叶的第 一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点
3 傅立叶的两个最主要的贡献—— • “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”——傅里叶的第 一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
§4.0引言 在第三章我们讨论了时域分析方法的基础: ●信号在时域的分解δ(t)δ(m)→>h(t)h(n) ●利用LT系统的线性、时不变性→>y(t);y(n) 从分解信号的角度出发,基本信号单元必须: ●本身简单 ●具有普遍性,能够用以构成相当广泛。 ●系统对基本单元信号的响应易于求得。 频域分析的思路是一样的:任意信号分解成复指 数信号的线性组合(e)通过研究系统对e的响应 利用线性和时不变性取得系统的响应其响应就是系 统对复指数单元信号响应的线性组合
4 §4.0 引言 • 在第三章我们讨论了时域分析方法的基础 ： • ●信号在时域的分解 • ●利用LTI系统的线性、时不变性 • 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须： • ●本身简单。 • ●具有普遍性，能够用以构成相当广泛。 • ●系统对基本单元信号的响应易于求得。的信 频域分析的思路是一样的:任意信号分解成复指 数信号的线性组合 (est) ,通过研究系统对e st的响应, 利用线性和时不变性取得系统的响应,其响应就是系 统对复指数单元信号响应的线性组合. (t) (n) → h(t); h(n) → y(t); y(n)
§4.1连续时间LTI系统的特征函数 由时域分析有: st y(t) y(1)=e*h(t)= eeob hes(t-t o h(t)edt H(S H(s)=h(t)e-stdt 这表明L∏系统对复指数信号的响应,仍然是同样的复指数信号,只是 幅度有一个H(S)的加权这表明 L∏系统对复指数输入信号的作用仅仅改变了它的幅度 (可以是复数) H(S)由h决定的,是S的函数称H(S)为LT系统的系统函数,由于H(S) 与h(t)之间具有一一对应的关系,它们是一对拉斯变换关系可以断言 H(S)一定可以刻画一个LT系统
5 §4.1 连续时间LTI系统的特征函数 由时域分析有: 这表明:LTI系统对复指数信号的响应,仍然是同样的复指数信号,只是 幅度有一个H(S)的加权,这表明 • LTI系统对复指数输入信号的作用仅仅改变了它的幅度 (可以是复数). H(S)由h(t)决定的,是S的函数,称H(S)为LTI系统的系统函数,由于H(S) 与h(t)之间具有一一对应的关系,它们是一对拉斯变换关系,可以断言 • H(S)一定可以刻画一个LTI系统。 st e y(t) h(t) = = − − y t e h t h e d st s(t ) ( ) ( ) ( ) = − − e h e d st s ( ) st = H(s) e − − H s = h t e dt st ( ) ( )
§4.1连续时间LTI系统的特征函数 特征函数如系统对某个信号所产生的响应仅仅是给输 后号乘上一个(复常数则该信号称为此系统的特征 速数其加权的复常数称为系统的与特征函数对应的特 征值 e是一切LT系统的特征函数而且是唯一能成为 切L∏系统特征函数的信号 应该强调指出,不同的L系统可能有不同的特征 喇数但是复指数信号是唯一能够成为一切LT统特 征函数的信号H(S)是与之对应的特征值
6 §4.1 连续时间LTI系统的特征函数 特征函数: 如系统对某个信号所产生的响应,仅仅是给输 入信号乘上一个(复)常数,则该信号称为此系统的特征 函数,其加权的复常数称为系统的与特征函数对应的特 征值. 是一切LTI系统的特征函数,而且是唯一能成为一 切LTI系统特征函数的信号. 应该强调指出,不同的LTI系统可能有不同的特征 函数,但是,复指数信号是唯一能够成为一切LTI系统特 征函数的信号,H(S)是与之对应的特征值. st e
例:对单位冲激响应h(t)=d()的L系统,其特征函数 相应的特征值是什么? 解 h()=(0的L∏系统是恒等系统,所以任何函数都是它的 特征函数,其特征值为1。 例:如果一个LT系统的单位冲激响应为,()=6(-7) 找出一个信号,该信号不具高的形式,但却是该系统的 特征函数,且特征值为1。 解:(1)=6(t-7),x()→x(t-7) 如果x()是系统的特征函数,且特征值为1,则应有: y(t)=x()*h(1)=x(t-)=x(t)1 满足这一要求的冲激序列为x()20(-k)
7 例:对单位冲激响应 的LTI系统，其特征函数， 相应的特征值是什么? h(t) = (t) 例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， 找出一个信号，该信号不具有 的形式，但却是该系统的 特征函数，且特征值为1。 。 解： h t t ( ) ( ) = 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的 特征函数，其特征值为 1。 h t t T ( ) ( ) = − st e 解： h t t T ( ) ( ) = − ， x t x t T ( ) ( ) → − 。 如果 x t( ) 是系统的特征函数，且特征值为 1，则应有： 满足这一要求的冲激序列为 ( ) ( ) k x t t kT =− = − 。 y(t) = x(t)*h(t) = x(t −T) = x(t) •1
§41连续时间LTI系统的特征函数 无法显示该图片 若 x()=∑ae 则:y(t)=(Se9 可见,只要能实现将信号分解成为e的线性 组合则系统对x(的响应就迎刃而解了
8 §4.1 连续时间LTI系统的特征函数 若: 则: 可见,只要能实现将信号分解成为 的线性 组合,则系统对x(t)的响应就迎刃而解了. = = i s t i i i s t i i i y t a H s e x t a e ( ) ( ) ( ) s t i e
本章先讨论S=j9情况, 频域分析: 傅里叶变换,自变量 为jg2 第六章讨论更一般的情况,S=σ+js2 复频域分析: 拉氏变换,自变量为 S=o+iQ
9 本章先讨论s= j 情况, • 频域分析：－－－傅里叶变换，自变量 为 j 第六章讨论更一般的情况,S = +j • 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j •
§42周期信号与连续时间付里叶级数 eA2是周期信号基波频率2基波周期T=27 第二章介绍过成诸波关系的复指数信号集: k=92M1每个信号的频率都是基波频率的整数倍 若:x()=∑4Q则(0必定是以T0=27 k: 为周期的该级数就是付里叶级数这表明成谐波关系的 复指数信号的线性组合可以表示周期信号即:连续时间 周期信号可以分解成成谐波关系的复指数户的线性组
10 §4.2 周期信号与连续时间付里叶级数 是周期信号,基波频率 ,基波周期 第二章介绍过成谐波关系的复指数信号集: 每个信号的频率都是基波频率的整数倍 若: 则x(t)必定是以 为周期的,该级数就是付里叶级数,这表明成谐波关系的 复指数信号的线性组合可以表示周期信号.即:连续时间 周期信号可以分解成成谐波关系的复指数户的线性组 合. j t e 0 0 0 0 2 T = { } 0 jk t k e = = =− k jk t k x t A e 0 ( ) 0 0 2 T =